02 國中數學

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02 國中數學

搭配 / 南一版第一冊第三章 一元一次方程式

幫  想讀，卻不知如何下手的 學生

幫  想讓學生做到課前預習的 老師

幫  想讓孩子自學的 家長

i 閱刊 - 數學閱讀

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數學閱讀

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作者團隊

楊凱琳副教授 現任國立臺灣師範大學數學系副教授 現任南一書局國中數學教科書作者

呂虹毅老師 現任臺北市中崙高中數學老師 現任南一書局國中數學教科書作者

蘇惠玉老師 現任臺北市西松高中數學老師 現任南一書局國中數學教科書作者

透過閱讀學習數學

文/ 楊凱琳

　　在成就測驗與素養表現的國際評比風潮下，國內數學教育已越來越重視將數學知識 及思考應用在解決真實問題的能力，並協助學生學習數學以享有更好的生活。因而，許 多教師和研究者以主動思考的學習活動為目標，傾心投入數學教材與教法的設計。

　　由於數學是一門非常倚賴符號、圖表和專有名詞等不同表徵之內與之間轉換的學問，

除了藉由不同表徵來溝通數學想法外，能透過閱讀符號、圖表和專有名詞等進行深入的 理解與思考，也是學習數學必要的能力。

　　鑑於學生數學閱讀能力也是數學能力之一，而閱讀不只是辨字識義的基本技能，也 是蘊含主動思考的學習活動；本刊的目標即提供學習者親身體驗主動思考的閱讀機會。

剛開始，會以數學教科書內容為主，再逐漸擴展到動態的或跨學科的數學閱讀。希望讀 者能藉由閱讀本刊物，除了發展有效的數學閱讀策略以提昇數學閱讀理解層次外，也更 增進讀者運用數學符號、圖表和專有名詞來表達所讀所思。

1

課文取自南一課本P.183 ～ 184

　　前面我們用數值代入方程式求解的方式，有如大海撈針，不易找到方程式 的解。不過有一種有效的方法，就是利用國小學過的等量公理，接著我們來復 習等量公理。

　　有一顆 x 公克的鐵球與兩個 5 公克的砝碼放在天平 的兩邊，且呈現平衡狀態，則此時表示 x＝10。

1. 等量加法公理與等量減法公理

x＝10 x＋3＝10＋3

　 天平原本平衡時，在兩邊同加或同減 3 公克砝碼後，天平依然會平衡。

2. 等量乘法公理與等量除法公理

x＝10 2×x＝2×10 　 天平原本平衡時，兩邊數量同時變成原本的 2 倍或一半，天平依然會平衡

　　當 a、b 兩數相等時，我們可以用 a＝b 表示。在等號兩邊同加、減、乘、

除一數 ( 除數不為 0 ) 後，兩邊數值依然相等，即：

等量公理　

2

x 5 5

兩邊同加一個 3 公克砝碼 (＋3 ) 兩邊同減一個 3 公克砝碼 (－3 )

x 5 5 x 3 5 5 3

兩邊數量變成原本的 2 倍 (×2 ) 兩邊數量變成原本的一半 (÷2 )

x 5 5 x x 5 5 5 5

。

等量公理：若 a＝b，則：

优 a＋c＝b＋c。　　　悠 a－c＝b－c。

忧 a×c＝b×c。　　　尤 a÷c＝b÷c ( c≠0 )。

第 3 章　一元一次方程式

182

思考1 看到標題的「等量公理」，接下來的內容可能是什麼？

思考2 請舉例說明你對等量公理內容的預測。

　　前面我們用數值代入方程式求解的方式，有如大海撈針，不易找到方程式 的解。不過有一種有效的方法，就是利用國小學過的等量公理，接著我們來復 習等量公理。

　　有一顆 x 公克的鐵球與兩個 5 公克的砝碼放在天平 的兩邊，且呈現平衡狀態，則此時表示 x＝10。

1. 等量加法公理與等量減法公理

x＝10 x＋3＝10＋3

　 天平原本平衡時，在兩邊同加或同減 3 公克砝碼後，天平依然會平衡。

2. 等量乘法公理與等量除法公理

x＝10 2×x＝2×10 　 天平原本平衡時，兩邊數量同時變成原本的 2 倍或一半，天平依然會平衡

　　當 a、b 兩數相等時，我們可以用 a＝b 表示。在等號兩邊同加、減、乘、

除一數 ( 除數不為 0 ) 後，兩邊數值依然相等，即：

等量公理　

2

x 5 5

兩邊同加一個 3 公克砝碼 (＋3 ) 兩邊同減一個 3 公克砝碼 (－3 )

x 5 5 x 3 5 5 3

兩邊數量變成原本的 2 倍 (×2 ) 兩邊數量變成原本的一半 (÷2 )

x 5 5 x x 5 5 5 5

。

等量公理：若 a＝b，則：

优 a＋c＝b＋c。　　　悠 a－c＝b－c。

第 3 章　一元一次方程式

182

同學們閱讀時，可以先從標題讀起，利用你的先備知識來預測接下來的內容可能是什麼？

接下來請仔細閱讀下列完整的課文片段，並試著澄清它和你所預測的內容有何異同。

課文

閱讀策略

2

　　　年　　　班　　座號　　　　姓名　　　　　　　　

思考3 ^請問1. 和 2. 的天平圖形說明了什麼？

思考4 這段課文說明的內容和你預測的哪裡一樣？

思考5 這段課文說明的內容有什麼是你沒預測到的？

思考6 看到這裡，想一想：等量公理可以用來做什麼？如果沒想到，可以回頭看看標 題下的那一段，答案就在那裡喔！

思考7 ^再看一下2. 的天平圖形，哪一個等式的兩邊同除以 2 是 x＝ 10 呢？

思考8 如果等式的兩邊同乘以一個負數，這個等式是否還是正確的呢？

右圖是柏安將橡皮擦與鉛筆放在天平兩 邊後，呈現平衡狀態的情況。若每個相 同物品的重量都一樣，則下列哪一個選 項也會呈現平衡？

訟 訠

訡 訢

判斷方程式的解

柏宇解方程式 3 ( x＋2 )－4＝17 的步驟如下：

試問 x＝5 是不是方程式 3 ( x＋2 )－4＝17，3 ( x＋2 )＝21 與 x＋2＝7 的解？

隨堂練習

探索活動

1. 先兩邊同加 4，得到 3 ( x＋2 )＝21。

2. 再將兩邊同除以 3，得到 x＋2＝7。

3. 最後將兩邊同減 2，得到 x＝5。

訠。

都是。

3-2　一元一次方程式的列式與求解 183

思考9 ^{上述活動中的步驟}1 ～ 3 各是用了哪一種運算的等量公理呢？

思考10 請回答探索活動中的問題，並想一想為什麼？

思考11 你覺得這個活動的目的為何？

思考12 ^{先將原方程式去括號得}3x＋2＝17，同減 2 後再除以 3，得到的 x 會一樣嗎？

思考13 你從探索活動所學的知識可以用來做什麼？

接下來，先閱讀下列的探索活動步驟1.，猜想這個探索活動想要探索什麼呢？

如果你有想法，可以先試試你的想法。如果還沒有，就繼續閱讀步驟2. 和 3. 吧！

右圖是柏安將橡皮擦與鉛筆放在天平兩 邊後，呈現平衡狀態的情況。若每個相 同物品的重量都一樣，則下列哪一個選 項也會呈現平衡？

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訡 訢

判斷方程式的解

柏宇解方程式 3 ( x＋2 )－4＝17 的步驟如下：

試問 x＝5 是不是方程式 3 ( x＋2 )－4＝17，3 ( x＋2 )＝21 與 x＋2＝7 的解？

隨堂練習

探索活動

1. 先兩邊同加 4，得到 3 ( x＋2 )＝21。

2. 再將兩邊同除以 3，得到 x＋2＝7。

3. 最後將兩邊同減 2，得到 x＝5。

訠。

都是。

3-2　一元一次方程式的列式與求解 183

3

解題

閱讀策略

請先閱讀下面的題目：　　當我們解應用問題時，要檢驗最後的計算結果是否有符合題意情境。

檢驗解的合理性

7

裕凱說：「目前我的遊戲卡數量是弟弟的 2 倍，我和弟弟再各買 50 張 後，我的遊戲卡數量將是弟弟的 3 倍。」試問裕凱的說法正確嗎？

設目前弟弟有 x 張遊戲卡，

裕凱有 2x 張，再各買 50 張後，

弟弟有 ( x＋50 ) 張，

裕凱有 ( 2x＋50 ) 張。

依據題意可以列式為 2x＋50＝3 ( x＋50 ) 　　　　　　　　　 2x＋50＝3x＋150 　　　　　　　　　 2x－3x＝150－50 　　　　　　 －x＝100 　　　　　　　 x＝－100

雖然 x＝－100 是方程式 2x＋50＝3 ( x＋50 ) 的解，

但是遊戲卡的張數應為正整數，故裕凱的說法不正確。

某網路店家賣每塊手工香皂 120 元，不論買幾塊，運費一律 100 元。孟儒 上網購買手工香皂，加上運費後共須付 900 元，試問老闆有沒有算錯？

解 弟弟 裕凱

目前 x 2x 多買 50 張後 x＋50 2x＋50

隨堂練習

設孟儒購買 x 塊手工香皂，因為每塊手工香皂 120 元，所以共要 120x 元。

再加上運費 100 元，得知孟儒共須付 ( 120x＋100 ) 元。

依據題意可以列式為 120x＋100＝900，120x＝800，x＝6 23 。

雖然 x＝6 23 是方程式 120x＋100＝900 的解，

但是手工香皂的個數應為正整數，故老闆算錯。

3-3　一元一次方程式的應用 201

思考1 如果裕凱現在的遊戲卡有20 張，弟弟有幾張？再各買 50 張後，裕凱和弟弟各 有幾張遊戲卡？

思考2 如果裕凱現在的遊戲卡有20 張，可能符合他的說法嗎？

思考3 裕凱的說法有可能是正確的嗎？

思考4 如果要檢驗裕凱的說法是否正確，你認為可以先假設哪個資訊為x 呢？

思考5 了解題意之後，先試著自己解這個題目。如果還不知道，先想一想如何利用 裕凱說的第一句話，以x 表示兄弟各自的遊戲卡數量呢？如何利用裕凱說的 第二句話，以x 表示兄弟的遊戲卡數量之間的關係呢？

如果不太了解題意，可以先想一想下列的問題。

　　　年　　　班　　座號　　　　姓名　　　　　　　　

接著再來看看這個題目的解法：

　　當我們解應用問題時，要檢驗最後的計算結果是否有符合題意情境。

檢驗解的合理性

7

裕凱說：「目前我的遊戲卡數量是弟弟的 2 倍，我和弟弟再各買 50 張 後，我的遊戲卡數量將是弟弟的 3 倍。」試問裕凱的說法正確嗎？

設目前弟弟有 x 張遊戲卡，

裕凱有 2x 張，再各買 50 張後，

弟弟有 ( x＋50 ) 張，

裕凱有 ( 2x＋50 ) 張。

依據題意可以列式為 2x＋50＝3 ( x＋50 ) 　　　　　　　　　 2x＋50＝3x＋150 　　　　　　　　　 2x－3x＝150－50 　　　　　　 －x＝100 　　　　　　　 x＝－100

雖然 x＝－100 是方程式 2x＋50＝3 ( x＋50 ) 的解，

但是遊戲卡的張數應為正整數，故裕凱的說法不正確。

某網路店家賣每塊手工香皂 120 元，不論買幾塊，運費一律 100 元。孟儒 上網購買手工香皂，加上運費後共須付 900 元，試問老闆有沒有算錯？

解 弟弟 裕凱

目前 x 2x 多買 50 張後 x＋50 2x＋50

隨堂練習

設孟儒購買 x 塊手工香皂，因為每塊手工香皂 120 元，所以共要 120x 元。

再加上運費 100 元，得知孟儒共須付 ( 120x＋100 ) 元。

依據題意可以列式為 120x＋100＝900，120x＝800，x＝6 23 。

雖然 x＝6 23 是方程式 120x＋100＝900 的解，

但是手工香皂的個數應為正整數，故老闆算錯。

3-3　一元一次方程式的應用 201

思考6 解法中列出的一元一次方程式和你列的一樣嗎？

思考7 ^{解法中解出來x＝－}100，為什麼這個不是答案？

思考8 解法中第一步做了什麼？如果不這樣假設，還有沒有其他設未知數的方法？

解應用問題時，首先要自行閱讀理解題意，第一次看不懂 不要放棄，可以假設數字來瞭解題意。還是不懂時，透過 重讀思考什麼是已知和什麼是未知，如何建立兩者間的關 係。就像上述的代數文字題，只要理解數量關係並列出等 式，問題就可迎刃而解，是不是很有趣呢？

5

參考

答案

P.2

思考1 相等的兩數同加、減、乘以、除以一數後還是相等。

思考2 5＝5，5＋3＝5＋3。

P.3

思考3 兩邊同加一個等重的物體，天平一樣會平衡；兩邊數量同時變成2 倍，天平也一樣會平衡。

思考4 ^{有加、減、乘、除。}

思考5 加、減法等量公理利用同一個圖呈現，乘、除法等量公理利用同一個圖呈現。

思考6 ^{求解方程式。}

思考7 ^{2×x＝2×10。}

思考8 ^是。

思考9 ^{1. 兩邊同加一數；}

　　　　2. 兩邊同除以一數；

　　　　3. 兩邊同減一數。

思考10 ^略。

思考11 利用等量公理的過程未知數x 不會變。

思考12 ^會。

思考13 ^{求解方程式。}

P.4

思考1 ^弟弟有10 張；裕凱和弟弟各有 70 張和 60 張。

思考2 ^由思考1 的最後數量可知，裕凱的遊戲卡數量不會是弟弟的 3 倍，故不符合。

思考3 ^不可能。

思考4 裕凱、弟弟目前的數量或再各買50 張後，裕凱、弟弟的數量。

思考5 优 設弟弟目前有 x 張，裕凱有 2x 張，可列式為 2x＋50＝3 ( x＋50 )。

　　 悠 設弟弟最後有 x 張，裕凱有 3x 張，可列式為 2 ( x－50 )＝3x－50。

P.5

思考6 ^略。

思考7 要符合裕凱說法的話，數量是負的，但是遊戲卡數量不會有負數，故裕凱是錯的。

思考8 假設弟弟的遊戲卡張數；可設弟弟最後的數量為x。