第二章 相關文獻及基礎理論

第二章 相關文獻及基礎理論

第一節 Min-Max 搜尋演算法

下棋之決策過程都可以視為一顆決策樹，透過樹狀搜尋尋找對雙方都可以滿

意的下法。而這個算法稱為“最小-最大搜索”(Min-max Search)。最先由 John von

Neumann 完整描述[14]：

1. 假設能對棋局評分，來評估我方和敵手的勝負或者是和棋。正分代

表我方優勢，負分代表對方優勢，零分代表雙方持平。

2. 我方的任務是盡量提昇棋局的分數。

3. 敵方的任務是盡量減少棋局的分數。

4. 假設雙方都選擇最有利的著法。

假設有一簡單的遊戲如圖一：

圖一 一個簡單的遊戲樹

那麼在這遊戲中，雖然我方如果走著法 A 最高評分有 12 分，但敵方必然

不會選擇著法 C 而選擇對他最有利的著法 D，使得評分變為-2 分。所以，在這

著法則為 E，達到雙方都比較滿意的局面。

第二節 Alpha-Beta 搜尋演算法

Min-Max 搜尋演算法常伴隨著搜尋層數加深，而出現搜尋節點指數暴漲的

情形，以象棋來說，一般中局盤面平均有 35 種走法，如果搜尋 8 層大約要搜尋

150 萬個節點，搜尋 9 層大約要搜尋 5000 萬個節點。這樣的搜尋數量實在太大，

幸好 Alpha-beta 搜尋法的出現，在不犧牲精確度的情況下，還能大量減少搜尋節

點數。

現某些子樹並不會影響到搜尋結果，也就是不落在 Alpha 與 Beta 的區間內，那

我們便將其切捨(cut off)。如圖二，我們只要搜尋到 A21 就可以知道 A22 和 A23

其分數不論是多少，都不會影響到雙方的最佳決策。

圖二 alpha-beta 搜尋

第三節 NegaScout 搜尋演算法

上述的 Alpha-Beta 演算法中，上邊界 Beta 及下邊界 Alpha 所圍成的範圍，

我們稱之為一個搜尋窗口，如果搜尋的窗口越小，其發生剪裁的機會越大，搜尋

速度也就越快，此外走法的排序也影響到剪裁的機率，也就是說如果我們能夠優

先搜尋到好的走法，就越能剪裁掉後面不好的走法。所以 NegaScout 搜尋演算法

[11]就針對這兩個影響 Alpha-Beta 搜尋剪裁的重要因素進行改良，其假設，第一

個搜尋的走法通常都是最好的走法，所以第一個展開的子節點使用正常的

(alpha,beta)窗口展開，其餘子節點使用(beta-1,beta)的窗口展開，因為不可能有分

數介於 beta-1 與 beta 之間，所以此窗口又稱為零窗口，這個作法的巧妙之處在

於，當我們只要搜尋完第一個我們認為最好的走法，接下來的零窗口加速搜尋，

雖然無法得到正確的分數，但我們只要知道其分數是大於等於 beta，則我們就可

以將其剪裁，但若零窗口搜尋後的分數不是大於等於 beta，則代表我們的假設錯

誤，必須重新以(alpha,beta)窗口展開，以得到正確的分數。

第四節 疊代加深搜尋(iterative deepening)

好的走法排序可以增加 Alpha-beta 搜尋法的切捨，那如果我們正要搜尋第 D

層，最理想的走法排序當然可以事後用第 D 層搜尋後的結果得知，但在搜尋之

前，拿 D-1 層搜尋後的最佳走法排序來代替，是不是也是不錯的選擇呢？疊代加

深搜尋[7]使得這想法變為可能。

由於在固定時間內，我們無法得知可以搜尋多深，而疊代加深法每次搜尋完

一層如果還有足夠的剩餘時間，便會往下加深搜尋一層，直到時間用盡，且淺一

層的搜尋結果排列得到的走法順序，可以在深一層搜尋時使用，如此可以產生比

較大量的切捨，比單純使用 Alpha-beta 搜尋法迅速很多，且同形表的利用，使得

重複搜尋淺層的部分幾乎不費任何力氣。

第五節 寧靜搜尋(quiescence search)

車吃兵，則我們認為局勢稍稍佔優，但隨後對手第九層應法可能是馬吃車，造成

我方局勢大不利，這都是我方對於兌子盤面看得不夠深造成的，我們稱之為水平

效應(horizontal effect)。

為了解決這問題，有人提出寧靜搜尋法(quiescence search)[4]，針對兌子盤面

和解將盤面作出延伸搜尋。把盤面延伸直到平靜沒有吃子或叫將的平靜盤面才停

止往下搜尋，好讓我們能比較正確地評估盤面分數。

第六節 向前切捨法(forward pruning)

在於使用一些方法判定某些較無益的分支，然後將其切捨來提高搜尋速度，

但這些方法如: 剃刀切捨(Razoring)和無益切捨(Futility Pruning)[10]，常伴隨

著很大的風險，直到 1989 年 Beal 提出一個更有效的方法，那就是空步搜尋

(Null move)[3]。

第七節 空步搜尋(null move)

現在頂尖的象棋軟體幾乎都使用空步搜尋來加速，空步搜尋法錯誤! 找不到

參照來源。的前提在於假設多走了一步棋會比不走棋有更高的分數，所以當輪自

己走步時，自己不動子，相當於允許對方連走兩步做淺層搜尋，如果這樣還無法

使情況變成讓對方更為有利，便不用再多花時間搜尋。

雖然空步搜尋法所承擔的風險較小，但仍受水平效應與將軍盤面影響，所以

只有在搜尋深度夠深且非處在將軍盤面時使用較為安全。還有一種情形會造成空

步搜尋誤判，就是違背前提:也就是走子後評估值比走子前還低。這樣的情況被

稱為被迫走步盤面，多發生於殘局時，因此在殘局大多不使用空步搜尋。

第八節 適應性空步剪裁(adaptive null move)

尋深度；若原本搜尋深度為 D，則空步淺層搜尋深度則為 D-R-1，R 值越大空步

搜尋時越快，不過伴隨的水平效應也就越大；根據西洋棋大量測試結果發現 R=2

時，空步搜尋有較好的效果，但 R=3 時增快的搜尋速度又是如此吸引人，所以

仍有不少人冒險使用 R=3。Ernst Heinz 嘗試在深度小於等於 6 時，使用 R=2 的

空步剪裁，在深度大於 8 時，使用 R=3 的空步剪裁，在深度等於 7 或 8 時，且

擁有棋子個數大於等於 3 個，則使用 R=3，否則使用 R=2；而這樣的嘗試根據

Ernst Heinz 實驗後也得到不錯的效果。

第九節 帶驗證的空步剪裁

提升。

其作法在於，使用淺層搜尋因子 R=3，以增加空步剪裁搜尋速度，但如果搜

尋結果為大於等於 beta，則我們再做比原本搜尋深度少一的驗證搜尋一次，看是

否能採信之前淺層搜尋的結果。如果不能採信，則仍必須作完整搜尋。整體來看，

雖然驗證是額外的時間負擔，但其省下的搜尋節點數，還有提升空步剪裁的正確

性來看，都彌補了這些額外的時間花費。