台北市立成淵高級中學 102 年 基礎數學複習

計算證明題(每題 10 分)

1. 試問共有多少個正整數 n 使得坐標平面上通過點 A(n, 0)與點 B(0, 2)的直線亦通過點 P(7, k) ，其中 k 為某一正整數？(1) 2 個 (2) 4 個 (3) 6 個 (4) 8 個 (5) 無窮多個

2. 設 P、A、B 為坐標平面上以原點為圓心的單位圓上三點，其中 P 點坐標為(1 , 0)，

A 點坐標為(

13

12 , 13

5 )，且∠APB 為直角，則 B 點坐標為 (____,____)。

3. 坐標平面上，一圓與直線^{x y 1}以及直線^{x y 5}所截的弦長皆為14, 則此圓的面積為 ______^ 。

4. 若實數a b c d, , , 使得聯立方程組 8 4 3 ax y c x y

 

  

 有解，且聯立方程組 3

4 3 x by d x y

  

  

 無解，

則下列哪些選項一定正確？

(1) a  (2) 2 c  (3) 6 b12 (4) d   (5) 聯立方程組9 8

3

ax y c x by d

 

  

 無解

5. 某公司召聘新員工，共有1600 人應徵參加筆試。筆試場地借用甲大學的教室，該校 可租借的大教室有50 間，每間可容納 40 人，每間租金 500 元；小教室有 60 間，每 間可容納20 人，每間租金 150 元。考慮監考人員的限制，筆試教室不能超過 60 間。

試問租借大教室_______間，小教室______間，來進行筆試，最省租借場地費用。

座號：

高三______班 座號_____姓名_____________

6. 某別墅有一個由四塊正方形的玻璃拼成的田字形窗戶，窗外路燈的光線 (假設路燈是一個點 光源) 透過窗戶在地板上形成一個變形的田字形光影。在地板上建置一個直角坐標系， 發現田 字形光影外框的四個頂點的坐標分別為(4 , 40)、(16 , 0)、(16 , 40) 和 (28 , 16) 。求田字形窗戶的 中心投影在地板上的坐標__________。

7. 設 m 為實數。若圓 x² + y² + 4x  7y +10 = 0 與直線 y = m(x +3) 在坐標平面上的兩個交 點位於不同的象限， 而滿足此條件的 m 之最大範圍為 a < m < b， 則

a = ______、b = ______。（ 化成最簡分數）

8. 某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金， 其中每單位的甲合金是由5 公克的A 金屬、3 公 克的B 金屬以及3 公克的C 金屬組成， 而每單位的乙合金是由3公克的A 金屬、6 公克的B 金 屬與3 公克的C 金屬所組成。已知甲、乙合金每單位的獲利分別為600、700 元。若工廠此次進 了1000 公克的A 金屬、1020公克的B 金屬與660 公克的C 金屬投入生產這兩種合金，試問甲、

乙兩種合金各應生產多少單位， 才能獲得最大利潤？ 又此時利潤為多少？

9. 設 Γ：x² + y²  10x + 9 = 0 為坐標平面上的圓。試問下列哪些選項是正確的？

(1) Γ 的圓心坐標為(5 , 0)

(2) Γ 上的點與直線 L：3x + 4y  15 = 0 的最遠距離等於 4 (3) 直線 L1：3x + 4y + 15 = 0 與 Γ 相切

(4) Γ 上恰有兩個點與直線 L2：3x + 4y = 0 的距離等於 2 (5) Γ 上恰有四個點與直線 L3：3x + 4y  5 = 0 的距離等於 2

10.考慮坐標平面上以 (0,0)O 、 (3,0)A 、 (0, 4)B 為頂點的三角形，令C 、₁ C 分別為₂ OAB^的外接 圓、內切圓。請問下列哪些選項是正確的？

(1) C 的半徑為 2 (2) ₁ C 的圓心在直線 y x1  上

(3) C 的圓心在直線 4₁ x3y12上 (4) C 的圓心在直線 y x₂  上 (5) C 的圓心在直線 4₂ x3y 上6 。

2

得分

計算題：每題 10 分

1

2

3

4

5

6

高三______班 座號_____姓名_____________

7

8

9

10

4

得分

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.