图论

1

图论

图论部分



第 7 章 图的基本概念



第 8 章 一些特殊的图



第 9 章 树

3

第 7 章 图的基本概念

7.1 无向图及有向图

7.2 通路、回路、图的连通性 7.3 图的矩阵表示

7.4 最短路径及关键路径

7.1 无向图及有向图



无向图与有向图



顶点的度数



握手定理



简单图



完全图



子图



补图

5

无向图与有向图

多重集合 : 元素可以重复出现的集合

无序积 : AB={(x,y) | xAyB}

定义 无向图 G=<V,E>, 其中

(1) 顶点集 V ，元素称为顶点 (2) 边集 E 为 VV 的多重子集，

其元素称为无向边，简称边 . 例如 , G=<V,E> 如图所示 , 其中 V={v

, v

, …,v

},

E={(v

,v

), (v

,v

), (v

,v

), (v

,v

), (v

,v

), (v

,v

), (v

,v

)}

无向图与有向图 ( 续 )

定义 有向图 D=<V,E>, 其中

(1) V 同无向图的顶点集 , 元素也称为顶点

(2) 边集 E 为 VV 的多重子集，其 元素称为有向边，简称边 .

用无向边代替 D 的所有有向边 所得到的无向图称作 D 的基图

右图是有向图，试写出它的 V 和 E

注意：图的数学定义与图形表示 , 在

同构 ( 待叙 ) 的意义下是一一对应的

7

无向图与有向图 ( 续 )

通常用 G 表示无向图 , D 表示有向图 , 也常用 G 泛指 无向图和有向图 , 用 e

表示无向边或有向边 .

V(G), E(G), V(D), E(D): G

和 D 的顶点集 , 边集 .

阶图

个顶点的图

有限图

都是有穷集合的图

零图

平凡图

阶零图

空图

顶点和边的关联与相邻

定义 设 ek=(v_i,v_j) 是无向图 G=<V,E> 的一条边 , 称 vi,v_j 为 ek

的端点 , e_k 与 vi (v_j) 关联 . 若 vi v_j, 则称 ek 与 vi (v_j) 的关联 次数为 1; 若 vi = v_j, 则称 ek 为环 , 此时称 ek 与 vi 的关联次 数为 2; 若 vi 不是 ek 端点 , 则称 ek 与 vi 的关联次数为 0. 无边关联的顶点称作孤立点 .

定义 设无向图 G=<V,E>, vi,vjV, e_k,elE, 若 (vi,vj) E, 则称 v_i,v_j相邻 ; 若 ek,e_l至少有一个公共端点 , 则称 ek,e_l相邻 . 对有向图有类似定义 . 设 ek=v_i,v_j 是有向图的一条边 , 又称 v

i是 ek的始点 , vj是 ek 的终点 , vi邻接到 vj, vj邻接于 vi.

9

邻域和关联集

) (v N

)

D (v



} { )

( )

(v N v v

N_D





D (v



) ( )

( )

(v v v

N_D

 

_ 

设无向图 G, vV(G)

v 的邻域 N(v)={u|uV(G)(u,v)E(G)uv}

v 的闭邻域 = N(v)∪{v}

v 的关联集 I(v)={e|eE(G)e 与 v 关联 }

设有向图 D, vV(D)

v 的后继元集 ={u|uV(D)<v,u>E(G)u

v}

v 的先驱元集 ={u|uV(D)<u,v>E(G)u

v}

v 的邻域

v 的闭邻域

顶点的度数

设 G=<V,E> 为无向图 , vV,

v 的度数 ( 度 ) d(v): v 作为边的端点次数之和

悬挂顶点 : 度数为 1 的顶点 悬挂边 : 与悬挂顶点关联的边

G 的最大度  (G)=max{d(v)| vV}

G 的最小度  (G)=min{d(v)| vV}

例如 d(v

)=3, d(v

)=4, d(v

)=4,  (G)=4,  (G)=1,

是悬挂顶点 , e 是悬挂边 , e 是环

11

顶点的度数 ( 续 )

设 D=<V,E> 为有向图 , vV,

v 的出度 d⁺(v): v 作为边的始点次数之和 v 的入度 d^(v): v 作为边的终点次数之和

v 的度数 ( 度 ) d(v): v 作为边的端点次数之和 d(v)= d⁺(v)+ d^-(v)

D 的最大出度 ⁺(D), 最小出度 ⁺(D) 最大入度^ (D), 最小入度^(D) 最大度 (D), 最小度 (D)

例如 d⁺(a)=4, d^-(a)=1, d(a)=5, d⁺(b)=0, d^-(b)=3, d(b)=3, ⁺(D)=4, ⁺(D)=0, ^(D)=3, ^(D)=1, (D)=5, (D)=3.

图论基本定理——握手定理

定理 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等 于边数的 2 倍 , 并且有向图的所有顶点入度之和 等于出度之和等于边数 .

证 G 中每条边（包括环）均有两个端点，所以在 计算 G 中各顶点度数之和时，每条边均提供 2 度

， m 条边共提供 2m 度 . 有向图的每条边提供一

个入度和一个出度 , 故所有顶点入度之和等于出

度之和等于边数 .

13

握手定理 ( 续 )













2 1

) ( )

( )

( 2

V v V

v V

v

v d v

d v

d m



) (

V v

v

d



 ₁

) (

V v

v d

推论 在任何无向图和有向图中，奇度顶点的个数必 为偶数 .

证 设 G=<V,E> 为任意图，令 V₁={v | vVd(v) 为奇数 } V₂={v | vVd(v) 为偶数 }

则 V₁∪V₂=V, V₁∩V₂= ，由握手定理可知

由于 2m, 均为偶数，所以 也为偶数 , 但因 为

V₁ 中顶点度数都为奇数，所以 |V₁| 必为偶数 .

图的度数列

设无向图 G 的顶点集 V={v

, v

, …, v

} G 的度数列 : d(v

), d(v

), …, d(v

)

如右图度数列 :4,4,2,1,3

设有向图 D 的顶点集 V={v

, v

, …, v

} D 的度数列 : d(v

), d(v

), …, d(v

)

D 的出度列 : d

(v

), d

(v

), …, d

(v

) D 的入度列 : d

(v

), d

(v

), …, d

(v

) 如右图度数列 :5,3,3,3

出度列 :4,0,2,1

15

握手定理的应用

例 1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8) 能成为图的度数列吗 ? 解 不可能 . 它们都有奇数个奇数 .

例 2 已知图 G 有 10 条边 , 4 个 3 度顶点 , 其余顶 点的度数均小于等于 2, 问 G 至少有多少个顶点 ? 解 设 G 有 n 个顶点 . 由握手定理 ,

43+2(n-4)210

解得 n8

握手定理的应用 ( 续 )

例 3 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条 棱的多面体 .

证 用反证法 . 假设存在这样的多面体 ,

作无向图 G=<V,E>, 其中 V={v | v 为多面体的面 },

V  u 与 v 有公共的棱  uv}.

根据假设 , |V| 为奇数且 vV, d(v) 为奇数 . 这与握

手定理的推论矛盾 .

17

多重图与简单图

定义 (1) 在无向图中 , 如果有 2 条或 2 条以上的边 关联同一对顶点 , 则称这些边为平行边 , 平行边 的条数称为重数 .

(2) 在有向图中 , 如果有 2 条或 2 条以上的边具有相 同的始点和终点 , 则称这些边为有向平行边 , 简 称平行边 , 平行边的条数称为重数 .

(3) 含平行边的图称为多重图 .

(4) 既无平行边也无环的图称为简单图 .

注意 : 简单图是极其重要的概念

多重图与简单图 ( 续 )

例如

e

和 e

是平行边

重数为 2

不是简单图

e

和 e

是平行边 , 重数 为 2

e 和 e 不是平行边

19

图的同构

定义 设 G

=<V

,E

>, G

=<V

,E

> 为两个无向图 ( 有 向图 ), 若存在双射函数 f: V

V

, 使得对于任意的 v

,v

V

,

(v

,v

)E

（ <v

,v

>E

）当且仅当

(f(v

),f(v

))E

（ <f(v

),f(v

)>E

），

并且 , (v

,v

) （ <v

,v

> ）与 (f(v

),f(v

)) （ <f(v

),f(v

)

> ）

的重数相同，则称 G

与 G

是同构的，记作 G

G

.

图的同构 ( 续 )

几点说明：

图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性 .

能找到多条同构的必要条件 , 但它们都不是充分条件 : ① 边数相同，顶点数相同

② 度数列相同 ( 不计度数的顺序 )

③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等 若破坏必要条件，则两图不同构

至今没有找到判断两个图同构的多项式时间算法

21

图的同构 ( 续 )

例 1 试画出 4 阶 3 条边的所有非同构的无向简单图

例 2 判断下述每一对图是否同构 : (1)

度数列不同

不同构

例 2 ( 续 )

(2)

不同构

入 ( 出 ) 度列不同 (3)

度数列相同

但不同构

为什么 ?

23

完全图

n 阶无向完全图 K

: 每个顶点都与其余顶点相邻的 n 阶无向简单图 .

简单性质 : 边数 m=n(n-1)/2,  =  =n-1

n 阶有向完全图 : 每对顶点之间均有两条方向相反 的有向边的 n 阶有向简单图 .

简单性质 : 边数 m=n(n-1),  =  =2(n-1),



= 

= 

= 

=n-1

完全图 ( 续 )

(1) 为 5 阶完全图 K

(2) 为 3 阶有向完全图

(3) 称为彼得森图

(1) (2) (3)

25

子图

定义 设 G=<V,E>, G =<V ,E > 是两个图

(1)

若 V V 且 E E, 则称 G  为 G 的子图

为 G  的

记作 G G

(2)

若 G G 且 V =V ，则称 G  为 G 的生成子图

若 V V 或 E E ，称 G  为 G 的真子图

(4)

设 V V 且 V , 以 V  为顶点集 , 以两端点都在

V

 中的所有边为边集的 G 的子图称作

出子图，记作 G[V ]

(5)

设 E E 且 E , 以 E  为边集 , 以 E  中边关联的 所有顶点为顶点集的 G 的子图称作

图 ,

记作 G[E ]

子图 ( 续 )

例 画出 K

的所有非同构的生成子图

27

补图

G G

定义 设 G=<V,E> 为 n 阶无向简单图，以 V 为顶点 集 , 所有使 G 成为完全图 K

的添加边组成的集合为 边集的图，称为 G 的补图，记作 .

若 G , 则称 G 是自补图 .

例 对上一页 K

的所有非同构子图 , 指出互为补图

的每一对子图 , 并指出哪些是自补图 .