第四章抽樣與抽樣分配 2006

(1)

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第四章抽樣與抽樣分配

2006 年 8 月 9 日最後修改

4.1 抽樣與抽樣方法 4.2 抽樣分配概論 4.3 常見的抽樣分配 4.4 中央極限定理

4.1 抽樣與抽樣方法

母體（population）：我們有興趣的研究對象，一般是由許多個體或所組成的集合。

樣本（sample）：母體的部分集合。

我們有興趣的是母體，但是實際測量、研究的是樣本。

我們希望經由樣本提供的資訊來推測母體的狀況（推論統計）。

需要樣本的理由：

普查的成本高（時間、金錢）

無法作普查（無法掌握每一個體）

有時測量會破壞樣本

抽樣（sampling）：由母體中挑選出樣本的動作。

抽樣的考量：

代表性（正確反應母體的狀況）

抽樣成本（金錢、時間、方便性）

研究母體（study population，抽樣母體）：以抽樣的目的而對母體的另一種定義。

真正可以被選取之個體的集合為研究母體。

【例如】以電話訪問選民的投票傾向，母體是所有合格選民，研究母體（抽樣母體）

則是有登錄電話號碼的選民。

(2)

抽樣方法

抽樣方法分成兩大類：

(1)隨機抽樣方法 (2)非隨機抽樣方法

隨機抽樣（random sampling）：知道母體中特定個體被抽中之機率。

隨機抽樣可以計算抽出某特定樣本的機率。

非隨機抽樣（non-random sampling）：不涉及機率的抽樣方法。

隨機抽樣方法：

(1)簡單隨機抽樣（Simple Random Sampling）

每個元素被抽中的機率皆相等。

(2)分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）

有自然分組，各組內分別作簡單隨機抽樣。

適用組間差異大的情況。

(3)叢集抽樣（Cluster Sampling）

有自然分組，以組為單位作簡單隨機抽樣（抽中哪些組）。適用組間差異小的情況。

(4)系統抽樣法（Systematic Sampling）

有系統分組後，（以簡單隨機抽樣法）隨機抽取一組。

隨機抽樣方法：

(1)立意抽樣法 (2)滾雪球抽樣法 (3)偶遇抽樣法 (4)定額抽樣法 抽樣誤差

母體參數（population parameters）：母體的特徵，如μ、σ。 樣本統計量（sample statistic）：樣本的特徵，如 x 、 s 。

樣本統計量是一個樣本的函數，應寫成

(3)

(

₁, ₂, , _n

)

x¹ x² xⁿ x x x x x

n + + +

= … =

( ) (

1

) (

² 2

)

²

( )

²

1, 2, ,

1

n n

x x x x x x

s s x x x

n

− + − + + −

= =

… −

樣本統計量隨樣本的不同而改變，母體參數則為定值。

樣本統計量也是隨機變數

既然x x₁, ₂,…,x_n都是隨機變數，x x x

(

1, 2,…,x_n

)

、s x x

(

1, 2,…,x_n

)

當然也是隨機變數。

抽樣誤差（sampling error）：樣本統計量與母體參數間的差距。

抽樣誤差，ε = − =x μ x x x

(

1, 2,…,x_n

)

−μ，也是隨機變數。

4.2 抽樣分配概論

抽樣分配（sampling distributions）：樣本統計量的分配。

最常見的樣本統計量為：

(

₁, ₂, , _n

)

x¹ x² xⁿ x x x x x

n + + +

= … =

( ) (

1

) (

² 2

)

²

( )

²

2 2

1, 2, ,

1

n n

x x x x x x

s s x x x

n

− + − + + −

= =

… − 基本樣本統計量：

(

1, 2, , _n

)

1 2 _n

T =T x x … x = +x x + +x

(

1, 2, , _n

)

1² 2² _n²

U =U x x … x =x +x + +x

一致且獨立分配（Identical and Independent Distribution, i.i.d.）：

若x x₁, ₂,…,x_n有相同的分配，而且互相獨立，則稱x x₁, ₂,…,x_n為一致且獨立。

樣本需 i.i.d. 才容易計算其抽樣分配。

【例】若x x₁, ₂,…,x_n皆為參數 p 的白努力分配，且互相獨立，則

1 2 n

T = +x x + + x 為參數 n、p 的二項分配。

【例題 1】設 Z=X + ，其中 X、Y 的機率分配分別如下： Y

X \ Y 1 2 3

1 3/32 3/32 4/32

2 3/32 4/32 3/32

P(X,Y)

(4)

求 Z 的分配。

【解】

X Y Z=X+Y P(Z)=P(X+Y) Z P(Z)

1 1 2 3/32 2 3/32

1 2 3 3/32 3 6/32

1 3 4 4/32 4 12/32

2 1 3 3/32 5 8/32

2 2 4 4/32 6 3/32

2 3 5 3/32

3 1 4 4/32

3 2 5 5/32

3 3 6 3/32

【例題 2】設 Z=X + ，其中 X、Y 的機率分配分別如下： Y

X P(X) Y P(Y)

3 1/3 2 1/2

5 2/3 4 1/2

X、Y 相互獨立，求 Z 的分配。

【解】

X \ Y 2 4

3 1/6 1/6

5 2/6 2/6

P(X,Y)

X Y Z=X+Y P(Z) Z P(Z)

3 2 5 1/6 5 1/6

3 4 7 1/6 7 3/6

5 2 7 2/6 9 2/6

5 4 9 2/6

【例題 3】設Z =X₁+X₂+X₃，其中X X₁, ₂,X 的機率分配分別皆如下： ₃

X P(X)

0 1/3

1 2/3

1, 2, 3

X X X 相互獨立，求Z 的分配。

(5)

【解】

X1 X2 X3 Z=X1+X2+X3 P(Z) Z P(Z)

0 0 0 0 1/27 0 1/27

0 0 1 1 2/27 1 6/27

0 1 0 1 2/27 2 12/27

0 1 1 2 4/27 3 8/27

1 0 0 1 2/27

1 0 1 2 4/27

1 1 0 2 4/27

1 1 1 3 8/27

計算統計量的分配

給定一組隨機變數x x₁, ₂,…,x_n，則求取統計量f x x

(

1, 2,…,x_n

)

的分配有三種方法：

(1)累計分配函數法（Cumulative-distribution-function Technique）

(2)動差母函數法（Moment-generating-function Technique）

(3)變數變換法（Transformations）

兩個簡單的結果：

( )

( ) ( ) ( )

, ,

X Y

X Y P X Y Z X Y

P Z P X Z X P Z Y Y

= +

=

∑

− =

∑

−

範圍範圍

若的聯合機率函數為，且則

( )

( ) ( ) ( )

, ,

x y

X Y f x y Z X Y

f z f x z x dx f z y y dy

= +

=

∫

− =

∫

−

範圍範圍

若的聯合機率密度函數為，且則

【例題 4】若 ^{f x y}

( )

^, ⁼^xy^{, 0}^{≤ ≤}^x ^{1, 0}≤ ≤ ，且令 z x y^y ² = + ，求 (a) ^{f x 、(b)}

( )

^{f y 、(c)}

( )

^{f x y 、(d)}

( )

^{f z 。}

^{( )}

【解】

(6)

( ) ( )

( ) ^{( )} _{( )}

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 1 2 2

0 2 0

1 1 21 1

2 2

0 0

1 2

1 1 1

2 3

0

1 1 2 1 3

2 3

0

1 1

2 2

( ) , 2

( ) ,

( ) , 2

( ) ,

0 1

1 1 1 2

y y

x x

x

x z x

x z

a f x f x y dy xydy x y x b f y f x y dx xydx y x y

f x y xy

c f x y x

f y y d f z f x z x dx

x z x dx z z

x z x dx z z z z

x z x dx

∞

=−∞ =

∞

=−∞ =

∞

=−∞

=−

=

= −

= = = × =

= = =

= −

− = − ≤ ≤

= − = − − − < ≤

− =

∫ ∫

∫

^z ¹

(

^z ²

)

² ¹₃ ¹

(

^z ²

)

³ ² ^z ³

⎧⎪

⎪⎨

⎪ ⎡ − − ⎤− ⎡ − − ⎤ < ≤

⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎩

計算統計量的期望值與變異數

定理：

令Z =X₁+X₂+ +X_n，若X X₁, ₂,…,X_n互相獨立，則

1 2

( ) ( ) ( ) ( _n) E Z =E X +E X + +E X

1 2

( ) ( ) ( ) ( _n) Var Z =Var X +Var X + +Var X

定理：

對任一隨機變數 X，與任一實數值常數r∈R，則 ( ) ( )

E rX =rE X ( ) 2 ( ) Var rX =r Var X

定理：

令 X¹ X² Xⁿ

Z n

+ + +

= ，若X X₁, ₂,…,X_n互相獨立，則

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) E X E X E Xⁿ

E Z n

+ + +

=

1 2

2

( ) ( ) ( )

( ) Var X Var X Var Xⁿ Var Z

n

+ + +

=

定理：

令 X¹ X² Xⁿ

Z n

+ + +

= ，若X X₁, ₂,…,X_n互相獨立，且

1 2

( ) ( ) ( _n) E X =E X = =E X = μ

2

1 2

( ) ( ) ( _n) Var X =Var X = =Var X =σ

(7)

則

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) E X E X E Xⁿ n E Z = ⁺ n⁺ ⁺ = nμ μ=

2 2

1 2

2 2

( ) ( ) ( )

( ) Var X Var X Var Xⁿ n Var Z

n n n

σ σ

+ + +

= = =

【例題 5】設 Z=X + ，其中 Y

X 為n=2、p=0.5的二項分配，Y 為n=3、p=0.3的二項分配，

且 X、Y 相互獨立，計算 ( )E Z 、Var Z 。 ( )

【解】

( ) ( ) ( ) ( ) 2 0.5 3 0.3 1.9 E Z =E X +Y =E X +E Y = × + × =

( ) ( ) ( ) ( )

2 0.5 (1 0.5) 3 0.3 (1 0.3) 1.13 Var Z =Var X +Y =Var X +Var Y

= × × − + × × − =

【例題 6】設 Z=X + ，其中 X、Y 為相互獨立的標準常態分配，計算Y E Z( )、Var Z( )。

【解】

( ) ( ) ( ) 0 0 0 E Z =E X +E Y = + =

2 2

( ) ( ) ( ) 1 1 2 Var Z =Var X +Var Y = + =

【例題 7】設Z =X₁+X₂+X₃，

X 為1 λ= 的卜瓦松分配，2 X 為₂ λ= 的卜瓦松分配，1 X 為₃ λ=0.5的卜瓦松分配，

計算 ( )E Z 、Var Z 。 ( )

【解】

1 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0.5 3.5 E Z =E X +E X +E X = + + =

1 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0.5 3.5 Var Z =Var X +Var X +Var X = + + =

【例題 8】設Z =X₁+X₂+X₃+X₄+X₅，

1, 2, , 5

X X … X 分別為n=10、p=0.4，相互獨立的二項分配，

計算 ( )E Z 、Var Z 。 ( )

【解】

( ) 5 ( ) 5 5 10 0.4 20 E Z = ×E X = × × = × ×n p =

( ) 5 ( ) 5 (1 ) 5 10 0.4 0.6 12 Var Z = ×Var X = × × × −n p p = × × × =

(8)

4.3 常見的抽樣分配

四個基本的抽樣分配：

(1) z 分配

標準常態分配，對稱、鐘形，μ= ，0 σ² = 1 (2)χ²分配

卡方分配，右偏，μ= ，k σ²=2k（自由度=k） (3) F 分配

右偏分配，

2 n μ= n

− ，

( )

( ) ( )

2 2

2

2 2

2 4

n m n

m m n

σ = ^{+ −}

− − （^自由度⁼

(

^{m n}^,

)

^）

(4) t 分配

對稱、鐘形分配，μ= ，0 ²

2 k σ =k

− （自由度=k）

若 X X₁, ₂,…,X_n 皆為標準常態分配，且相互獨立，

則 Y =X₁²+X₂² + +X_n² 為自由度 n 的卡方分配 χ_{df n}²₌ 。

若 X 、₁ X₂ 皆為自由度 n 、₁ n₂ 的卡方分配，且相互獨立，

則

1 1 2

2

X Y n

X n

= 為自由度

(

n n1, 2

)

的F 分配 ₍ ₎

1, 2

df n n

F ₌ 。

若 X 為標準常態分配，₁ X 為自由度 ₂ n 的卡方分配，且相互獨立，

則

2 1 2

Y X X

n

= 為自由度 n 的t 分配 t_{df n}₌ 。

一些有用的結果：

若 X1∼N

(

μ σ1, 1

)

、X2∼N

(

μ σ2, 2

)

，且相互獨立，則

(

² ²

)

1 2 1 2, 1 2

Y =X +X ∼ N μ +μ σ +σ

若 X X1, 2,…,X_n∼N

(

μ σ,

)

(9)

(

²

)

1 2

2

1 2

,

z

n

T X X X N n n

X X X

X N

n n

Y X

n

μ σ μ σ

μ σ

= + + +

⎛ ⎞

+ + + ⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= −

∼

∼ 分配

若 X X1, 2,…,X_n∼N

(

μ σ,

)

( )

² 2

2 1

1

df n

n s

Y χ

σ ^{= −}

= − ∼

其中

(

¹

) (

² ²

)

²

( )

²

2 , 1 2

1

n n

X X X X X X X X X

s X

n n

− + − + + − + + +

= =

−

若 X X1, 2,…,X_n₁, ,Y Y1 2,…,Y_n₂ ∼N

( μ σ

,

)

(1 2 )

2 1

1, 1 2

2

df n n

Z s F

s ⁼ ⁻ ⁻

= ∼ 其中

( ) ( ) ( )

1 1

2 2

2

2 2

1 2 1 2

2 1

1 1

2

2 2

1 2 1 2

2 2

, 1

n n

X X X X X X X X X

s X

n n

Y Y Y Y Y Y Y Y Y

s Y

n n

− + − + + − + + +

= =

−

− + − + + − + + +

= =

−

若 X X1, 2,…,X_n∼N

(

μ σ,

)

1 df n

Y X t

s n μ

= −

= − ∼

其中

(

¹

) (

² ²

)

²

( )

² 1 2

, 1

n n

X X X X X X X X X

s X

n n

− + − + + − + + +

= =

−

【例題 9】設Z =X₁+X₂+ +X₁₀，其中X X₁, ₂,…,X₁₀為相互獨立的標準常態分配，

(1)右尾檢定，臨界值為 5，請計算α值。

(2)右尾檢定，α =0.2，請計算臨界值。

【解】

Z 成為μ=10 0× = 、0 σ = 10 1× =² 10的常態分配。

(10)

(1)計算α =P Z

(

≥5

)

=0.0569，

(2)計算 a 使得P Z

(

≥a

)

=0.2 2.6614⇒ a= 。

【例題 10】設 ¹ ² ¹⁰ 10

X X X

Z + + +

= ，其中X X₁, ₂,…,X₁₀為相互獨立的標準常態分配，

【解】

Z 成為μ=10 0 10× = 、0 σ = 10 1 10× ² ² = 10 10的常態分配。

(1)計算^α ⁼^{P Z}

(

^{≥ =}¹

)

^0.0008^，

(2)計算 a 使得P Z

(

≥a

)

=0.2 0.2661⇒ a= 。

【例題 11】設Z =X₁²+X₂²+ +X₁₀²，其中X X₁, ₂,…,X₁₀為相互獨立的標準常態分配，

【解】

Z 成為自由度10的

χ

²分配。

(1)計算α =P Z

(

=χ_df²₌10 ≥15

)

=0.1321，

(2)以及計算 a 使得P Z

(

=χ_df²₌10≥a

)

=0.1 15.9872⇒ a= 。

【例題 12】設

( )

2 2 2

1 2 3

2 2

1 2

3 2

X X X

Z Y Y

+ +

= + ，其中X X₁, ₂,X Y Y 為相互獨立的標準常態分配，₃, ₁, ₂

【解】

Z 成為自由度(3, 2)的 F 分配。

(1)計算^α ⁼^{P Z}

(

⁼^F^df⁼^3,2^≥²⁰

)

⁼^0.0480^，

(

=F_df₌3,2≥a

)

=0.1 9.1618⇒ a= 。

【例題 13】設

( )

2

2 2 2

1 2 3 3

Z X

Y Y Y

= + + ，其中X Y Y Y 為相互獨立的標準常態分配， , ,₁ ₂, ₃

(11)

【解】

Z 成為自由度3的 t 分配。

(1)計算^α ⁼^{P Z}

(

⁼^t^df⁼³^≥³

)

⁼^0.0288^，

(

=t_df₌3≥a

)

=0.1 1.6377⇒ a= 。

【例題 14】設

(

¹ ¹ 3² ³

) (

² ² ¹ 3² ³

) (

² ³ ¹ 3² ³

)

²

2

X X X X X X X X X

X X X

Z σ

+ + + + + +

− + − + −

= ，其中

1, 2, 3

X X X 分別為平均數μ、標準差σ，相互獨立的常態分配，

【解】

Z 成為自由度 3 1− = 的2 χ²分配。

(1)計算α =P Z

(

=χ_df²₌2≥9

)

=0.0111，

(

=χ_df²₌2≥a

)

=0.1 4.6052⇒ a= 。 四個抽樣分配間的關係

符號：

z_α表示累計機率為α 之 z 分配臨界值：^{P x}

(

≤^zα

)

= α

2 α, df

χ 表示累計機率為α、自由度 df 之χ²分配臨界值：^{P x}

(

^≤^χ^α²^{, df}

)

⁼^α

( 1 2)

, ,n n

F_α 表示累計機率為α、自由度(n n1,2)之 F 分配臨界值：P x

(

≤F_α, ,₍n n1 2₎

)

= α t_α, df 表示累計機率為α、自由度 df 之 t 分配臨界值：^{P x}

(

≤^tα^{, df}

)

= α

χ2分配的變化

自由度df = 時，成為 z 分配的平方：1

1 2

2 2

, df zα

χα ₌ = 自由度 df = ∞ 時， ²^{, df}

df χα

為常數：

2

lim , ^df ⁿ 1

n n

χα ₌

→∞ =

F 分配的變化

自由度df1=

(

n n1, 2

)

與df2=

(

n n2, 1

)

的 F 分配互為倒數： ₍ ₎ ₍ ₎

1 2 1 2 1

, ,_df _{n n} ,_d_f _{n n}, 1 F_α ₌ ×F₋_α ₌ = 自由度df =

(

n1,∞ 時，成為

)

χ²分配除分子自由度： ₍ ₎ ¹

1

2 , , ,

1 df n df n

F n

α α

χ ₌

= ∞ =

(12)

自由度df =

(

1,n2

)

時，成為 t 分配的平方： ₍ ₎

2 2

2

2 2

2

, , 2 ,

, 2 1

2

df n df n

df n

n

z

F t

α α α

χα

= =

=

= =

t 分配的變化

自由度 df = ∞ 時，成為 z 分配：t_α_{, df}_=∞=z_α

F 可由 F 分配得到： ₍ ₎

( 2 1)

1 2

1 , ,

, ,

1

df n n

df n n

F^α ⁼ = F₋_α ₌

χ2可由 F 分配得到：χ_α²_,_df₌_n= ×n F_α_,_df₌₍_n_,_∞₎ t 可由 F 分配得到：t_α_,_df₌_n = F₂_α_,_df₌_{( )}_1,_n

z 可由 F 、χ²或 t 分配得到：z_α = F₂_α_,_df₌_{( )}_1,_∞ = χ₂²_α_{, ,}_df₌₁ =t_α _d_f_=∞

【例題 15】就以下 F 分配機率表，

請計算：(1)F_α₌_0.88,_df₌₍_16,8₎；(2)χ_α²₌_0.06,_df₌₁₂；(3)t_α₌_0.06,_df₌₁₆；(4)z_α₌_0.03。

F 分配右尾機率表

α = 0.03 α = 0.06 α = 0.12

1 8 12 16 1 8 12 16 1 8 12 16

4 10.8744 8.1061 7.9072 7.8038 6.7640 5.4216 5.3131 5.2563 3.8858 3.5140 3.4692 3.4452 8 6.9370 4.1556 3.9442 3.8322 4.7924 3.2019 3.0664 2.9939 3.0284 2.3866 2.3149 2.2757 12 6.0550 3.3309 3.1163 3.0010 4.3116 2.6845 2.5403 2.4619 2.8018 2.0939 2.0126 1.9674 16 5.6718 2.9810 2.7641 2.6463 4.0966 2.4561 2.3070 2.2250 2.6977 1.9596 1.8729 1.8241 20 5.4580 2.7883 2.5695 2.4498 3.9749 2.3277 2.1753 2.0907 2.6379 1.8824 1.7923 1.7410 9999 4.7106 2.1275 1.8964 1.7632 3.5382 1.8704 1.7003 1.6006 2.4177 1.5968 1.4889 1.4238 n2

n1

【解】

(1) ₍ ₎

( )

0.88, 16,8

0.12, 8,16

1 1

0.5103 1.9596

df

F^α⁼ ⁼ =F_α₌ ₌ = =

(2)χ_α²₌_0.06,_df₌₁₂ = ×12 F_α₌_0.06,_df₌₍_12,_∞₎ = ×12 1.7003=20.4036 (3)t_α₌_0.06,_df₌₁₆ = F_α₌_{0.06 2,}_× _df₌₍_1,16₎ = 2.6977 =1.6425 (4)z_α₌_0.03=t_α₌_0.03,_df_=∞= F_α₌_0.06,_df_{= ∞}_{( )}_1, = 3.5382=1.8810

抽樣分配的查表練習題目

四種機率（左尾、右尾、區間、雙尾）中，區間又稱為信賴區間（confidence intervals），

左尾、右尾、雙尾有時會稱為拒絕區域（region of rejection）。

一般拒絕區域不會包含等式：^{P X}

(

^<^a

)

^、^{P X}

(

^>^b

)

^、^{P X}

(

^<^a^或^X ^>^b

)

^。

左尾、右尾、雙尾的機率又稱為顯著水準（significance level），以α表示，如P x

(

≤a

)

= ， α

(13)

左尾、右尾、雙尾的機率有時也稱為 p 值（p-value）。

信賴區間的機率又稱為信賴度（level of confidence），以1− 表示，如α ^{P a}

(

^{≤ ≤}^x ^b

)

^{= − 。}¹ ^α

信賴區間的兩臨界值（confidence limits）一般都以平均數對稱點互相對稱。

【例題 16】隨機變數 X 為標準常態分配：

(a)計算信賴區間

{

^{− ≤}¹ ^X ^{≤ 的信賴度；}¹

}

(b)計算左尾

{

^X ≤ − 的顯著水準； ²

}

(c)計算右尾

{

^X ^{≥ 的顯著水準；}³

}

(d)左尾檢定，α =0.05，求臨界值；

(e)右尾檢定，α =0.05，求臨界值；

(f)雙尾檢定，α =0.05，求臨界值。

【解】

( )

( ) 1a − =α P − ≤ ≤ =1 z 1 0.6827

( )

( )b α =P z≤ − =2 0.0228

( )

( )c α =P z≥3 =0.0013

( )

( )d P z≤a =0.05 ⇒ a= −1.645

( )

( )e P z≥a =0.05 ⇒ a=1.645

( )

( )f P − ≤ ≤a z a =0.05 ⇒ a=1.96

【例題 17】隨機變數 X 為μ =4，σ =2的常態分配：

{

¹^≤^X ^≤⁷

}

^{的信賴度；}

(b)求信賴度1− =α 0.9的信賴區間；

(c)左尾檢定，臨界值為 1− ，求 p 值；

(d)右尾檢定，臨界值為 9 ，求 p 值；

(e)左尾檢定，α =0.01，求臨界值；

(f)右尾檢定，α =0.01，求臨界值；

(g)雙尾檢定，α=0.01，求臨界值。

【解】

( )

* *

1 1 4 3 7 7 4 3 3 3

2 2 2 2 2 2

( )a z_x₌ = ⁻ = − ,z_x₌ = ⁻ = , 1− =α P − ≤ ≤z =0.8664

(

^* ^*

)

^*

( ) 1 0.9 1.645 4 1.645 2

0.71, 7.29

b P z z z z

a b

α

− = − ≤ ≤ = ⇒ = ⇒ = ± ×

⇒ = =

臨界值

(14)

( )

*

1 1 4 5 5

2 2 2

( )c z_x₌₋ =^{− −} = − , p=P z≤ − =0.0062

( )

*

9 9 4 5 5

2 2 2

( )d z_x₌ = ⁻ = , p=P z≥ =0.0062

(

^*

)

^*

( )e α =P z≤z =0.01 ⇒ z = −2.326 ⇒ a= −4 2.326 2× = −0.652

(

^*

)

^*

( )f α =P z≥z =0.01 ⇒ z =2.326 ⇒ b= +4 2.326 2× =8.652

(

^* ^*

)

^*

( ) 0.01 2.576 4 2.576 2

1.152, 9.152

g P z z z z z

a b

α = ≤ − ≤ = ⇒ = ⇒ = ± ×

⇒ = − =

或臨界值

【例題 18】設 Z=X + ，其中 X、Y 相互獨立，且 Y

X 為μ = 、1 σ = 的常態分配，Y 為3 μ= 、2 σ = 的常態分配， 4 (a)計算信賴區間

{

¹^{≤ ≤}^Z ⁷

}

^{的信賴度；}

(c)左尾檢定，臨界值為−1，求 p 值；

(d)右尾檢定，臨界值為9，求 p 值；

(e)左尾檢定，α =0.01，求臨界值、拒絕區域；

(f)右尾檢定，α =0.01，求臨界值、拒絕區域；

(g)雙尾檢定，α=0.01，求臨界值、拒絕區域。

【解】

Z 成為μ= + = 、1 2 3 σ = 3²+4² = 的常態分配。 5

{ }

{ } { }

{ }

( ) 1 0.4436 ( ) 5.22 11.22 ( ) 0.2119 ( ) 0.1151 ( ) 8.63 ( ) 14.63 ( ) 9.88 15.88

a b Z c p

d p e Z f Z

g Z Z

α

− = − ≤ ≤ =

= < − >

< − 或 >

【例題 19】設Z=X₁+X₂+ +X₉，其中X X₁, ₂,…,X₉為相互獨立的標準常態分配，

{

¹^{≤ ≤}^Z ⁷

}

^{的信賴度；}

(c)左尾檢定，臨界值為 1− ，求p值；

(d)右尾檢定，臨界值為9，求p值；

【解】

Z 成為μ = × =9 0 0、

σ

= 9 1× =² 3的常態分配。

(15)

{ }

{ } { }

{ }

( ) 1 0.3596 ( ) 4.93 4.93 ( ) 0.3694 ( ) 0.0013 ( ) 4.93 ( ) 4.93 ( ) 5.88 5.88

a b Z c p

d p e Z f Z

g Z Z

α

− = − ≤ ≤ =

= < − >

< − 或 >

【例題 20】設 ¹ ² ¹⁶ 16

X X X

Z + + +

= ，其中X X₁, ₂,…,X₁₆為相互獨立的標準常態分配，

{

⁻^0.5^{≤ ≤}^Z ^0.5

}

^{的信賴度；}

(c)左尾檢定，臨界值為 1− ，求p值；

(d)右尾檢定，臨界值為1，求p值；

【解】

Z 成為 16 0 16 0

μ= ^× = 、 16 1₂² 1 1 16 16 4

σ = ^× = = 的常態分配。

{ }

{ } { }

{ }

( ) 1 0.9545 ( ) 0.4112 0.4112 ( ) 0.00003 ( ) 0.00003 ( ) 0.4112 ( ) 0.4112 ( ) 0.4900 0.4900

a b Z c p

d p e Z f Z

g Z Z

α

− = − ≤ ≤ =

= < − >

< − 或 >

【例題 21】設Z=X₁²+X₂²+ +X₁₀²，其中X X₁, ₂,…,X₁₀為相互獨立的標準常態分配，

{

²^{≤ ≤}^Z ¹⁸

}

^{的信賴度；}

(c)左尾檢定，臨界值為 2 ，求 p 值；

(d)右尾檢定，臨界值為18 ，求 p 值；

【解】

Z 成為自由度10 的χ²分配。

{ }

{ } { }

{ }

( ) 1 0.9413 ( ) 3.94 18.31 ( ) 0.0037 ( ) 0.0550 ( ) 3.94 ( ) 18.31 ( ) 3.25 20.48

a b Z c p

d p e Z f Z

g Z Z

α

− = ≤ ≤ =

= < >

< 或 >

(16)

【例題 22】設

( )

2 2 2

1 2 3

2 2

1 2

3 2

X X X

Z Y Y

+ +

= + ，其中X X₁, ₂,X Y Y 為相互獨立的標準常態分配，₃, ₁, ₂

{

²^{≤ ≤}^Z ¹⁸

}

^{的信賴度；}

【解】

Z 成為自由度 (3, 2) 的 F 分配。

{ }

{ } { }

{ }

( ) 1 0.2974 ( ) 0.105 19.16 ( ) 0.6495 ( ) 0.0531 ( ) 0.105 ( ) 19.16 ( ) 0.062 39.17

a b Z c p

d p e Z f Z

g Z Z

α

− = ≤ ≤ =

= < >

< 或 >

【例題 23】設

( )

2

2 2 2

1 2 3 3

Z X

Y Y Y

= + + ，其中X Y Y Y 為相互獨立的標準常態分配， , ,₁ ₂, ₃

{

^{− ≤ ≤}² ^Z ²

}

^{的信賴度；}

【解】

Z 成為自由度 3 的 t 分配。

{ }

{ } { }

{ }

( ) 1 0.8607 ( ) 2.35 2.35 ( ) 0.0288 ( ) 0.0288 ( ) 2.35 ( ) 2.35 ( ) 3.182 3.182

a b Z c p

d p e Z f Z

g Z Z

α

− = − ≤ ≤ =

= < − >

< − 或 >

【例題 24】設

(

¹ ¹ ³² ³

) (

² ² ¹ ³² ³

) (

² ³ ¹ ³² ³

)

²

2

X X X X X X X X X

X X X

Z σ

+ + + + + +

− + − + −

= ，其中

X X₁, ₂,X 分別為平均數₃ μ、標準差σ，相互獨立的常態分配，

(17)

{

¹^{≤ ≤}^Z ⁶

}

^{的信賴度；}

(c)左尾檢定，臨界值為1，求 p 值；

【解】

Z 成為自由度 3 1− = 的2 χ²分配。

{ }

{ } { }

{ }

( ) 1 0.6897 ( ) 0.352 7.815 ( ) 0.1987 ( ) 0.1116 ( ) 0.352 ( ) 7.815 ( ) 0.216 9.348

a b Z c p

d p e Z f Z

g Z Z

α

− = ≤ ≤ =

= < >

< 或 >

【例題 25】設

2

Z Y s

μ

= − ，其中

2

(

¹ ¹ ³² ³

) (

² ² ¹ ³² ³

) (

² ³ ¹ ³² ³

)

²

3 1

X X X X X X X X X

X X X

s

+ + + + + +

− + − + −

= − ，

X X₁, ₂,X Y 分別為平均數₃, μ、標準差σ，相互獨立的常態分配，

{

^{− ≤ ≤}² ^Z ²

}

^{的信賴度；}

【解】

Z 成為自由度 3 1− = 的 t 分配。 2

{ }

{ } { }

{ }

( ) 1 0.8165 ( ) 2.92 2.92 ( ) 0.0918 ( ) 0.0918 ( ) 2.92 ( ) 2.92 ( ) 4.30 4.30

a b Z c p

d p e Z f Z

g Z Z

α

− = − ≤ ≤ =

= < − >

< − 或 >

【例題 26】設

2 1 2 2

Z s

= s ，其中

(18)

2

(

¹ ¹ ³² ³

) (

² ² ¹ ³² ³

) (

² ³ ¹ ³² ³

)

²

1 3 1

X X X X X X X X X

X X X

s

+ + + + + +

− + − + −

= −

2

(

¹ ¹ 3² ³

) (

² ² ¹ 3² ³

) (

² ³ ¹ 3² ³

)

²

2 3 1

Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Y Y Y

s

+ + + + + +

− + − + −

= −

1, 2, 3, ,1 2, 3

X X X Y Y Y 分別為平均數μ、標準差σ，相互獨立的常態分配，

{

²^{≤ ≤}^Z ¹⁸

}

^{的信賴度；}

【解】

Z 成為自由度 (2, 2) 的 F 分配。

{ }

{ } { }

{ }

( ) 1 0.2807 ( ) 0.053 19.00 ( ) 0.6667 ( ) 0.0526 ( ) 0.053 ( ) 19.00 ( ) 0.026 39.00

a b Z c p

d p e Z f Z

g Z Z

α

− = ≤ ≤ =

= < >

< 或 >

4.4 中央極限定理

若X X₁, ₂,…,X_n為 i.i.d.，來自平均數μ、標準差σ的母體，令

1 2 n

X X X

X n

+ + +

= 則當 n→ ∞ 時，

, X N

n μ σ

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∼

( )

^{0, 1}

X N

n μ σ

− ∼

第四章 抽樣與抽樣分配 2006