1-3-3指數與對數-對數

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(1)3-3 指數與對數-對數【目標】能了解對數符號的意涵，熟悉對數定律及其應用，並理解對數定律在代數運算中將乘除問題化簡為加減問題，並將次方問題化簡為乘除問題的意涵。再者，能熟悉及運用換底公式。【概念】對數的引進：在整數算術一書中提及的兩個數列： … 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 … x1 x 2 … x1  x 2 1 1 … 1 2 4 8 16 32 64 128 … y1 y 2 … y1  y 2 4 2 現在若想要計算兩個很大的數 y1 與 y 2 的乘積 y1  y 2 ，如果能得知 x1 與 x 2 的值(或是近似值)，根據指數律可以得知：若 y1  2 x1 , y 2  2 x2 ，則 y1  y 2  2 x1  2 x2  2 x1  x2 。例如：若 8  23 ,16  2 4 ，則 8 16  23  24  23 4  27  128，因此只要能得出上表就可得出 x1  x 2 所對的值 y1  y 2 。【問題】 1. 對於函數 y  2 x 而言，給定 x ，要求得 y 時，一般而言較為容易，即為 y  2 x 。但給定 y 時，要求 x 時，一般而言較不容易。例如給 x  1 ，則 y  2 x  21  2 ；給 x  2 ，則 y  2 x  22  4 。但是若給定 y  3 ，則 3  2x ，那麼 x 等於多少呢？即任意給定 x 的值都可得 y 的值。反之，給定正數 y 的值時，是否可得 x 的值呢？【定義】 1. 對數：符號 log a b 讀作以 a 為底時 b 的對數，其中底數 a  0 ，且 a  1，真數 b  0 ，又 loga b  x  b  a x 。註： (1) 當 a x  b 時，我們用符號 log a b 來表示 x ，即 x  log a b 。 (2) 通常以 10 為底數時，底數可以省略不寫。 (3) 定義對數的目的為簡化計算(化乘除為加減)。 (4) 注意對數的表示方法以及書寫位置。【問題】 1. 為什麼要滿足 a  0, a  1, b  0 的基本條件？解答：在定義指數 a x 時，就已經要求 a  0 了，又 a x  b ，所以 b  0 ，當 a  1 時， 1x  b ，此時 x 為任意解，故不是一對一，所以限制 a  1 。. 15.

(2) 【性質】對數的基本性質：在以下各個性質中，底數皆表示不為 1 的正實數，真數皆表正實數，指數則表示任意實數。註：以下的各個證明，基本上都是先把對數依照定義化回指數，然後以指數律運算後，再換回對數。 1. 正實數 a  1時，以 a 為底的對數有下列性質： (1) log a 1  0 。 (2) log a a  1 。 (3) loga a x  x ，對任意實數 x 恆成立。 (4) aloga b  b ，對任意正實數 b 恆成立。證明： (1)因為 a 0  1 ，故 log a 1  0 。 (2)因為 a1  a ，故 log a a  1 。 (3)(4)設 x  log a b  a x  b . 2.. . x  log a a x a loga b  b 。對數定律： (1) log a xy  log a x  log a y 。(化乘除為加減)(或想成對數律) x (2) loga  loga x  loga y 。 y (3) loga x n  n loga x (其中 n 為實數)。 1 (4) loga m x  loga x (其中 m 為非零實數)。 m 其中底數 a  0 ，且 a  1 ；真數 x  0, y  0 ； r 是任意實數。註：. 在對數定律(2)中， x  1 時，可得 log a. 1  log a 1  log a y  0  log a y   log a y 。 y. 故在同底的兩對數中，真數互為倒數時，其對數互為相反數。 n 從性質(3)(4)可以得到： loga m b n  loga b 。 m 證明： (1) 設 loga x  s, log a y  t ，則 a s  x, a t  y ，即 loga xy  loga (a s a t )  loga a s t  s  t  loga x  loga y 。 (2) 設 loga x  s, log a y  t ，則 a s  x, a t  y ， x as  log a t  log a a s t  s  t  log a x  log a y 。 y a (3) 令 loga x  s ，則 x  a s , x n  (a s ) n  a sn ，. 即 log a. 所以 loga x n  loga a sn  sn  n loga x 。 s. (4) 令 loga x  s ，則 x  a s  (a m ) m ，所以 loga m x  16. s 1  loga x 。 m m.

(3) 3. 連鎖律： log a b  logb c  logc d  log a d 。證明： loga b loga c loga d loga d loga b  logb c  logc d      loga d 。 loga a loga b loga c loga a 4. 換底公式： logb x ，其中 a, b 是不等於 1 的正實數， x 是正實數。 loga x  logb a 證明： x  b r logb x  r   令 log a x  s ，則  x  a s ， a  b t log a  t  b  又 x  b r  a s  (bt ) s  b st ，得 r  st ，即 s . r ， t. logb x 。 logb a 1 ( b  0, b  1 )。 log a b  logb a 證明： logb b 1 由換底公式知 loga b  。  logb a logb a. 故 loga x  5.. a log b  b log a 。證明：因 log b log a  log a logb ，得 log a log b  log b log a ，故 a log b  b log a 。 7. 對數相等：設正實數 a  1，則 x1 , x2 為正實數時， loga x1  loga x2  x1  x2 。註： (1) 設正實數 a  1 ，當正實數 x1  x2 時， loga x1  loga x2 ；反之，當 loga x1  loga x2 時， x1  alog x  alog x  x2 。因此， loga x1  loga x2  x1  x2 。 (2) 用此性質可解對數方程式。 6.. a 1. 17. a. 2.

(4) 【注意】 1. loga ( x  y )  (loga x)  (loga y ) 且 loga ( x  y )  loga x  loga y 。 loga x 2. loga ( x  y )  (loga x)  (loga y ) 且 loga ( x  y )  。 loga y x loga x 3. loga ( x  y )  (loga x)  (loga y ) 且 loga  。 y loga y 【問題】 1. 設 log 2  0.3010, log 3  0.4771，試求 log k , k  1,2,,10 之值。 (註： log 7  0.8451) 2. 證明 log2 3 不是有理數。證明：設 log2 3 是有理數，則必為正有理數， n 另 log 2 3  ，其中 m, n 是正整數， m n m. 所以 2  3 ，得 2 n  3m ，但 2 | 2 n ,2 | 3 m ，得到矛盾，因此 log2 3 不是有理數。【注意】 1. 解指數或對數方程式時，注意每一項的指數、底數、真數的基本條件。【問題】 1. 試寫出下列對數方程式的基本條件，並判別解是否相同。 (1) log x  1  1 。 1 (2) log(x  1)  1 。 2 (3) log( x  1) 2  1 。 (4) 2 log(x  1)  1。. 18.

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