第 3 章 《九章算術細草圖說》之內容分析（一）

第 3 章 《九章算術細草圖說》之內容分析（一）

《九章算術細草圖說》是以《九章算術》之體例為基礎，加上劉徽注、

李 淳風注釋，

即內容依序為「題目」 、 「答曰」 、 「術曰」 、 「劉徽注」 、 「李淳風注釋」；

另外，再加上李潢的「潢按」 、 「補圖」 、 「細草」 、 「說曰」所組成。

李潢對於《九 章算術》中的每一個題目，都補上『細草』 ；

另又適時加以『按』 、 『補圖』 、 『說 曰』 ，其中李潢在卷一、卷四、卷五、卷九這四卷中補了若干圖，這些圖比戴震 的補圖，是更準確的反應了劉徽、李淳風注的本意，且非常細緻，可以說是在古 圖失傳之後，人們所能看到最好的圖。

如此一來，使得初閱讀《九章算術》者，

更加容易瞭解其內容。

由於《九章算術細草圖說》內容繁多，分為〈方田〉 、 〈粟米〉 、 〈衰分〉 、 〈少 廣〉 、 〈商功〉 、 〈均輸〉 、 〈盈不足〉 、 〈方程〉 、 〈句股〉等九個章節。本章先介紹〈方 田〉 、 〈粟米〉 、 〈衰分〉等三個章節，其餘待下一章再介紹。

在《九章算術細草圖說》中： 「按」主要是校勘或說明注文; 「圖」有為題 目補圖、為注補圖或為說曰補圖； 「細草」是根據《九章算術》術文及其劉徽注、

李淳風等注釋，列出演算過程;「說」是對《九章算術》術文與注文的文字逐句 解釋，或補充解釋細草，或是校勘。我們可以整理成下表所示：

按 補圖 說曰

內容

章節

說明 校勘 問 注 說

細草

(題目) 解釋術文、注文、

細草或校勘

方田 1 5 9 1 8 38 12

粟米 0 5 0 0 0 46 30

衰分 2 3 0 0 0 20 22

少廣 1 3 0 0 24 24 4

商功 0 17 27 0 48 28 13

均輸 0 18 0 0 0 28 28

盈不足 0 8 0 0 0 20 7

方程 3 7 0 0 0 18 15

1

參閱本論文第二章。

2

參閱同上。

3

參閱同上。

4

「細草」就是數學題目的詳細計算過程。

5

參考郭書春主編， 《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊（鄭州：河南教育出版社，1993

年），頁 945。

句股 1 11 23 1 14 24 16

總計 85 155 246 147

3.1 方田

方田章內容有方田術、里田術、約分術、合分術、減分術、課分術、平分術、

經分術、乘分術、大廣田術、圭田術、邪田術、箕田術、圓田術、宛田術、弧田 術、環田術等，共計三十八問，本文在此各術皆舉一例探討。在《九章算術》原 文與劉徽注寫道： 「方田者以御田疇界域。」

也就是說，在方田章探討的問題都 是與面積相關，或解決計算面積有關的方法。

3.1.1 方田術

由於《九章算術細草圖說》中通常相同方法的題目有二至數題，例如方田章 第一問、第二問都是方田術，而李潢為第二問補圖，因此，筆者跳過第一問，從 簡單的例子，方田章第二問長方形面積看起：

（二）題目：

今有田廣十二步，從十四步，問為田幾何？

荅曰：一百六十八步。 圖：從十四，廣十二。

潢按：據注所云，則舊有圖而今亡矣，補之如后。

如圖：廣十二步，從十四步，相乘得一百六十八步。

6

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 1。

7

此處數字（二）為《九章算術細草圖說》方田章題目的原始排序，以下各題同此標示。

8

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 1。

9

此處縮小字體為劉徽注，以下各題同此標示。

10

此處標明「李潢補圖」者，為《九章算術細草圖說》李潢的補圖。例如： 「圖 3－1：方田（李

潢補圖）」 。以下各題同此標示。

圖 3－1：方田（李潢補圖）

術曰：廣縱步數相乘得積步。

此積謂田幂。凡廣從相乘謂之幂。 臣淳風等謹按：

經云廣從相乘得積步，注云廣從相乘謂之幂，觀斯注意，積幂義同。以理推之，固當不爾。

何則？幂是方面單布之名，積乃眾數聚居之稱。循名責實，二者全殊。雖欲同之，竊恐不 可。今以凡言幂者據廣從之一方；其言積者舉眾步之都數。經云相乘得積步，即是都數之 明文。注云謂之為幂，全乖積步之本意。此注前云積謂田幂於理得通復云謂之為幂繁而不 當，今者注釋存善去非，畧為科簡，遺諸後學。

以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。 臣淳風等謹按：此為篇端，故特 舉頃、畝二法。餘術不復言者，從此可知。一畝之田，廣十五步，從而疏之，令為十五行，

即每行廣一步而從十六步。又橫而截之，令為十六行，即每行廣一步而從十五步。此即從 疏橫截之步，各自為方。凡有二百四十步，為一畝之地，步數正同。以此言之，即廣從相 乘得積步，驗矣。二百四十步者，畝法也；百畝者，頃法也。故以除之，即得。

值得注意的是，此處李潢的按文是在方田章唯一用於說明注文，且編排順序 是在「答曰」之後， 「術曰」之前。而方田章其餘五處李潢按文，皆是校勘，且 都是編排於「術曰」之後， 「草曰」之前。另外，為方便對照，在下引「草曰」

右欄，筆者輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置廣十二步於上位，又置從十 四於下位，上位有十步，至十，以上 一呼下一，一一如一，卽下一百於中 位，以上一呼下四，一四如四，卽於 中位下四十，退下位一等，收上位一 十，以上位二呼下位一，一二如二，

1. 求 14 12

×

2. 以 10×10＝100 10×4＝40 3. 2×10＝20 2×4＝8

11

方田術曰：廣縱步數相乘得積步。就是說明面積公式為長方形的長乘以寬， 《九章算術》方田 章皆以此公式為準則。

12

此處縮小字體為李淳風注釋。也就是若無標明何人所注，則為劉徽注；而若是李淳風所注釋，

前方都會寫上「臣淳風等謹按」來標明，以下各題同此標示。

13

在下引「草曰」右欄，筆者輔以現代數學計算符號說明之。後文相關處理，一概仿之。

卽於中位下二十，以上二呼下四，二 四如八，卽於中位下八，上下位俱收 中位，得一百六十八為積步，合問。

4. 100+40+20+8=168（中位）為所求。

由於方田術是整本《九章算術細草圖說》方田章最前面的部分，因此，李潢 不但書寫細草，還特別補上古代算籌的方法與型式，以解釋術文或注文，讓閱讀 者更能瞭解其中算法，由以下「說曰」可以得知：

說曰：古算用籌，《漢書》云：其算法，用竹徑一分長六寸，二百七十一枚 而成，六觚為一握。《孫子算經》云：凡算之法，先識其位，一從、十橫、

百立、千僵，千十相望，萬百相當，又云：六不積，五不隻，謂算籌也。其 乘式，則置實於上位，置法於下位，置乘得數於中位，其除式，則置實於中 位，置法於下位，置除得數於上位。《孫子算經》所謂，乘得在中央，除得 在上方是也。此為篇端，故詳書以存古式，後不復言者，從此可知。

3.1.2 里田術

《九章算術細草圖說》方田章第三問、第四問皆為里田術的題目，而李潢沒 有特別為任何題目補圖，筆者認為應是李潢覺得題目很簡單，算法與前面的方田 術相似，因此不必補圖。我們且看排序在前的第三題：

（三）題目：今有田廣一里，從一里，問為田幾何？

荅曰：三頃七十五畝。

術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數。 按：此術廣從里數 相乘得積里。故方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，即得畝數也。

而為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置廣一里於位，展為三百步，

亦展從一里為三百步，以乘之，得九 萬步為實，以畝法二百四十步為法，

除之，得三百七十五畝，收為三頃七 十五畝，合問。

1. 廣 1 里＝300 步 2. 從 1 里＝300 步

3. 300 步×300 步＝90000 步

4. 步 畝

240 375 90000

= 5. 又 1 頃＝100 畝 6. 故 375 畝＝3 頃 75 畝

14

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 3。

15

引自同上。

我們可以發現，里田術比方田術多了「單位換算」的程序。筆者認為，李潢 對於單位的標示宜更加明確。例如：李潢的草曰中說三百步乘三百步，得九萬步。

此處宜寫成九萬積步，如此可以使閱讀者更加明瞭算式，也較不易產生誤解。

另一方面，此題術曰的方法是：1 里×1 里=1 里 ，又 1 里 =375 畝=3 頃 75 畝。但李潢的解法並沒有依照術曰的方法，亦可以算出相同的答案，因此李潢寫

《九章算術細草圖說》 ，決對不是僅僅對於《九章算術》的原文翻譯與解釋術文 或注文，而是有自己的想法，並加以驗證之，這一點我們可以由以下「說曰」得 知：

2 2

說曰：古者，三百步為里，以三百步自乘，得九萬步，如畝法而一，得三百 七十五畝。故注云，故方里之中，有三頃七十五畝也，術從簡易，以廣從里 數相乘得積里，以三百七十五乘之卽畝數，可省一通分，又省一除也。

3.1.3 約分術

《九章算術細草圖說》方田章第五問、第六問皆為約分術的題目，我們看第 五題：

（五）題目：今有十八分之十二，問約之得幾何？

荅曰：三分之二。

約分 按：約分者，物之數量，不可悉全，必以分言之。分之為數，繁則難用。設有四分之

二者，繁而言之，亦可為八分之四；約而言之，則二分之一也。雖則異辭，至於為數，亦 同歸爾。法實相推，動有參差，故為術者，先治諸分。

術曰：可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少减多，更相减損，

求其等也，以等數約之。 等數約之，即除也。其所以相减者，皆等數之重疊，故以等 數約之。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置分母十八於下位，置分子十 二於上位，副之，以上減下，下位餘 六，以餘六減副上，上位亦餘六，是 六為等數也，以等數六約十八，得三，

以等數六約十二，得二，是為三分之

1. 求 18 12 ＝ 2. 18-12＝6 3. 12-6＝6

4. 此時找到等數 6

16

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 4。

17

引自同上。

二，合問。

5. 3 18 = 6 6. 2

12 = 6 7. 故

3 2 18 12 =

我們可以發現，原本方田章之前的題目都是計算面積，但此處卻先說乘法的 運算規則，實乃不得不說明，原因是乘法的運算，為解決之後的大廣田等等面積 問題之先備知識。

又此處可以知道李潢飽讀經書，尤精算學。例如：方田術的「說曰」提到「 《孫 子算經》所謂，乘得在中央，除得在上方是也。」

而約分術的「說曰」提到「張 邱建亦云：學算者，不患乘除之為難，而患通分之為難也。」

如此也可以由戴 敦元撰《九章算術細草圖說》序中說： 「鍾祥李雲門先生，博綜群書，尤精算學，

推步、律呂，俱臻微妙。」

得知李潢對算學的貢獻。

還有，李潢寫《九章算術細草圖說》時，應已看過整本《九章算術》原文，

並對術文與注文有所統整後，再補按、圖、草、說。且看下列亦是解釋注文的「說 曰」 ：

說曰：注云：按，約分者，物之數量不可悉全者，全卽分母乘全之全，謂如 法而一，得全數也，不可悉全者，謂實不滿法，以法命之，是有分也。云：

先治諸分者，統約分、合分、減分、課分、平分、經分、乘分而言。張邱建 亦云：學算者，不患乘除之為難，而患通分之為難也。

如此說明李潢在約分術的說曰中，已提到排序在後的合分術、減分術、課分術、

平分術、經分術與乘分術。亦說明李潢對《九章算術》原文先後順序的充分瞭解。

3.1.4 合分術

《九章算術細草圖說》方田章第七問、第八問、第九問皆為合分術的題目，我們 看第七題：

18

參閱本論文第 3.1.10 大廣田。

19

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 3。

20

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 5。

21

引自郭書春主編， 《中國科學技術典籍通彙》 ，頁四-947。

22

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 5。

（七）題目：今有三分之一，五分之二，問合之得幾何？

荅曰：十五分之十一。

合分 臣淳風等謹按：合分者，數非一端，分無定準，諸分子雜互，羣母參差，麄細旣殊，

理難從一，故齊其眾分，同其羣母，令可相并，故曰合分。

術曰：母互乘子，并以為實。母相乘為法。 母互乘子；約而言之者，其分麄；繁 而言之者，其分細。雖則麄細有殊，然其實一也。眾分錯雜，非細不會。乘而散之，所以 通之。通之則可并也。凡母互乘子謂之齊，羣母相乘謂之同。同者，相與通同共一母也；

齊者，子與母齊，勢不可失本數也。方以類聚，物以羣分，數同類者無遠；數異類者無近。

遠而通體者，雖異位而相從也；近而殊形者，雖同列而相違也。然則齊同之術要矣：錯綜 度數，動之則諧，其猶佩觿解結，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此 其算之綱紀乎。其一術者，可令母除為率，率乘子為齊。 實如法而一。不滿法者，以 法命之。 今欲求其實，故齊其子，又同其母，令如母而一。其餘以等數約之，即得，所 謂同法為母，實餘為子，皆從此例。 其母同者，直相從之。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置三分、五分在右方，之一、

之二在左方，以右方分母五，乘左方 分子一，三分之一得五，以右方分母 三，乘左方分子二，五分之二得六，

并之，得十一為實，右方分母三、五 相乘得十五為法，實不滿法，以法命 之，為十五分之十一，合問。

1. 求 + = 5 2 3 1

2. 5×1＝5 且 3×2＝6 3. 5+6＝11 為實（分子）

4. 3×5＝15 為法（分母）

5. 所求為 15 11

我們知道，合分術其實就是分母不同的分數相加，原本的術文與注文對現代 一般人來說，或許不易看懂，但加上李潢的細草，便可一步一步依照李潢的算式，

得知算法與答案，如此一來，讓更多的人能閱讀《九章算術》這本中國古典數學 名著。另外，李潢亦寫「說曰」來解釋合分術注文如下：

說曰：注云：數同類者無遠，數異類者無近，同類、異類指分母言也。云：

遠而通體者，雖異位而相從也，近而殊形者，雖同列而相違也，異位、同列 指分子言也，謂分母同者，分子雖異位而相從，分母異者，分子雖同列而相 違也。云：其一術者，可令母除為率，率乘子為齊，除者，除同也，羣母相 乘，謂之同，以各分母除同為率，率乘各分子為齊，不言同者，省文也。

23

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 6。

24

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 8。

3.1.5 減分術

《九章算術細草圖說》方田章第十問、第十一問皆為減分術的題目，我們看 第十題：

（十）題目：今有九分之八，減其五分之一，問餘幾何？

荅曰：四十五分之三十一。

減分 臣淳風等謹按：諸分子、母數各不同，以少減多，欲知餘幾，减餘為實，故曰減分。

術曰：母互乘子，以少减多，餘為實，母相乘為法，實如法而一。 母互乘子 者知，以齊其子也，以少減多者，齊故可相減也。母相乘為法者，同其母也，母同子齊，

故如母而一，即得。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置九分、五分在右方，之八、

之一在左方，母互乘子，九分之八得 四十，五分之一得九，以少減多，餘 三十一為實，母相乘得四十五為法，

實不滿法，以法命之，為四十五分之 三十一，合問。

1. 求 − = 5 1 9 8

2. 5×8＝40 且 9×1＝9 3. 40－9＝31 為實（分子）

4. 9×5＝45 為法（分母）

5. 所求為 45 31

而減分術其實就是分母不同的分數相減，此時，我們發現在減分術中，李潢 並沒有寫「說曰」 ，筆者認為應是李潢覺得減分術與合分術觀念相近，因此，不 必再針對減分術寫「說曰」 。

3.1.6 課分術

《九章算術細草圖說》方田章第十二問、第十三問、第十四問皆為課分術的 題目，我們看第十二題：

（十二）題目：今有八分之五，二十五分之十六。問孰多？多幾何？

荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

課分 臣淳風等謹按：分各異名，理不齊一，校其相多之數，故曰課分也。

25

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 8。

26

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 9。

術曰：母互乘子，以少減多，餘為實。母相乘為法。實如法而一，即相多也。

臣淳風等謹按：此術母互乘子，以少分減多分。多與減分義同。唯相多之數，意共减分有 異，減分知，求其餘數有幾，課分知，以其餘數相多也。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置八分、二十五分在右方，之 五、之十六在左方，母互乘子，八分 之五得一百二十五，二十五分之十六 得一百二十八，以少減多，餘三，為 實，母相乘得二百為法，以法命實，

為二百分之三，卽相多也，合問。

1. 求 與 何數較大 25

16 8

5 ，且問兩數相

差多少？

2. 25×5＝125 且 8×16＝128 3. 128－125＝3 為分子 4. 8×25＝200 為分母 5. 故 較大

25

16 ，且兩數相差 200

3

此處，課分術與減分術相似，如李淳風所注釋： 「此術母互乘子，以少分減 多分。多與減分義同。」

因此，李潢亦沒有特別寫課分術的「說曰」 。

3.1.7 平分術

《九章算術細草圖說》方田章第十五問、第十六問皆為平分術的題目，我們 看第十五題：

（十五）題目：今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何 而平？

荅曰：減四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平於十 二分之七。

平分 臣淳風等謹按：平分者，諸分參差，欲令齊等，減彼之多，增此之少，故曰平分也。

術曰：母互乘子， 齊其子也。 副并為平實。 臣淳風等謹按：母互乘子，副并為平實 者，定此平實立限，眾子所當損益，如限為平。 母相乘為法。 母相乘為法者，亦齊其子，

又同其母。 以列數乘未并者各自為列實。亦以列數乘法。 此當副并列數為平實，

若然則重有分，故反以列數乘同齊。 臣淳風等謹按：問云：所平之分多少不定，或三或 二，列位無常。平三知，置位三重；平二知，置位二重。凡此之例，一準平分不可預定多 少，故直云列數而已。 以平實減列實，餘，約之為所減。并所減以益於少。以 法命平實，各得其平。

27

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 9。

28

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 10。

而在約分術曰之後，李潢認為原術文注的部分有錯，因此，李潢寫按文為之校勘 如下：

潢按：注「此當副并列數為平實」，當作「此當副置列數除平實」。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置三分、三分、四分在右方，

之一、之二、之三在左方，母互乘子，

三分之一得十二，三分之二得二十 四，四分之三得二十七，副并得六十 三，為平實，母相乘，得三十六為法，

以列數三乘未并者，三分之一得三十 六，三分之二得七十二，四分之三得 八十一，亦以列數三乘法，得一百八，

以平實六十三減列實七十二，餘九，

減列實八十一，餘十八，以等數九約 所餘，得一與二為所減，亦以等數九 約列實三十六，得四，并所減一與二 以加之，得七，又以等數九約法一百 八，為十二，以命之，是為減四分之 三者二，減三分之二者一，并以益三 分之一，而各平於十二分之七，合問。

1. 求 、 、 三數 4 3 3 2 3

1 ，各加減多少得算 術平均數為何？

2. 1×3×4＝12 3. 2×3×4＝24 4. 3×3×3＝27

5. 12＋24＋27＝63 為平實 6. 3×3×4＝36 為法

7. 12×3＝36 8. 24×3＝72 9. 27×3＝81 10. 36×3＝108 11. 72－63＝9 12. 81－63＝18

13. 9÷9＝1 且 18÷9＝2 14. 36÷9＝4

15. 4＋1＋2＝7 16. 108÷9＝12 17. 故

12 9 4 3 = ，

12 7 12

2 12

9 − =

18.

12 8 3 2 = ，

12 7 12

1 12

8 − =

19.

12 4 3 1 = ，

12 7 12

1 12

2 12

4 + + =

而此處，平分術與前面的課分術、減分術相似，因此，李潢亦沒有特別寫平 分術的「說曰」 。

29

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 11。而此處「此當副置列數除平實」，依照李 繼閔的《九章算術校證》 （台北：九章出版社，2002 年） ，頁 162，認為李潢的校改，大乖原意，

並改為「此當副併除之列數為平實」。但是依照郭書春的《匯校九章算術》 （台北：九章出版社，

2004 年） ，頁 40，認為是依李潢改而從之無誤。

3.1.8 經分術

《九章算術細草圖說》方田章第十七問、第十八問皆為經分術的題目，我們 看第十七題：

（十七）題目：今有七人，分八錢三分錢之一。問人得幾何？

荅曰：人得一錢二十一分錢之四。

經分 臣淳風等謹按：經分者，自合分已下，皆與諸分相齊，此乃直求一人之分。以人數 分所分，故曰經分也。

術曰：以人數為法，錢數為實，實如法而一。有分者通之； 母互乘子者，齊其 子；母相乘者，同其母；以母通之者，分母乘全內子。乘，散全則為積分，積分則與分子 相通，故可令相從。凡數相與者謂之率。率者，自相與通。有分則可散，分重疊則約也。

等除法實，相與率也。故散分者，必令兩分母相乘法實也。 重有分者同而通之。 又以 法分母乘實，實分母乘法。此謂法、實俱有分，故令分母各乘全分內子，又令分母互乘上 下。

而在經分術曰之後，李潢認為原術文注的部分也有錯，因此，李潢再寫按文為之 校勘如下：

潢按：注「故令分母各乘全分內子」，全分之「分」字，疑衍。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置八錢三分錢之一於上位，通 分內子，得二十五為實，置七人於下 位，亦以分母三乘之，得二十一為法，

實如法，得一錢二十一分錢之四，合 問。

1. 8 3 1 ＝

3

25 ，以 25 為實

2. 7×3＝21 為法 3. 21

1 4 25 = 21

而此處，經分術與前面的課分術、減分術、平分術相似，因此，李潢亦沒有 特別寫經分術的「說曰」 。

30

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 12。

31

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 13。而此處「故令分母各乘全分內子」，依照

郭書春的《匯校九章算術》 ，頁 42，認為「全」係「全分」之省稱，故無必要刪。但是依照李繼

閔的《九章算術校證》，頁 163，認為「全」與「全分」不可混同，郭說未允，依李潢校刪。

3.1.9 乘分術

《九章算術細草圖說》方田章第十九問、第二十問、第二十一問皆為乘分術 的題目，我們看第十九題：

（十九）題目：今有田廣七分步之四，從五分步之三。問為田幾何？

荅曰：三十五分步之十二。

乘分 臣淳風等謹按：乘分者，分母相乘為法，子相乘為實，故曰乘分。

術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。 凡實不滿法者，乃有母、子之名。

若有分，以乘其實而長之，則亦滿法，乃為全耳。又以子有所乘，故母當報除。報除者，

實如法而一也。今子相乘則母各當報除，因令分母相乘而連除也。此田有廣從，難以廣諭。

設有問者曰：馬二十匹，直金十二斤。今賣馬二十匹，三十五人分之，人得幾何？荅曰：

三十五分斤之十二。其為之也，當如經分術，以十二斤金為實，三十五人為法。設更言馬 五匹，直金三斤。今賣四匹，七人分之，人得幾何？荅曰：人得三十五分斤之十二。其為 之也，當齊其金、人之數，皆合初問，入於經分矣。然則分子相乘為實者，猶齊其金也；

母相乘為法者，猶齊其人也。同其母為二十，馬無事於同，但欲求齊而已。又，馬五匹，

直金三斤，完全之率，分而言之，則為一匹直金五分斤之三。七人賣四馬，一人賣七分馬 之四。分子與人交互相生，所從言之異，而計數則三術同歸也。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置分母七分、五分在右方，分 子之四、之三在左方，分母相乘，得 三十五為法，分子相乘，得十二為實，

實不滿法，以法命之，為三十五分步 之十二，合問。

1. 求 5 3 7 4 × ＝ 2. 7×5＝35 為法 3. 4×3＝12 為實 4. 故所求為

35 12

而此處，乘分術與前面的課分術、減分術、平分術、經分術相似，因此，李 潢亦沒有特別寫乘分術的「說曰」 。

3.1.10 大廣田術

《九章算術細草圖說》方田章第二十二問、第二十三問、第二十四問皆為大 廣田術的題目，我們看第二十二題：

32

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 14。

（二十二）題目：今有田廣三步三分步之一，從五步五分步之二。問為田幾 何？

荅曰：十八步。

大廣田 臣淳風等謹按：大廣田者，初術直有全步而無餘分；次術空有餘分而無全步；此 術先見全步復有餘分，可以廣兼三術，故曰大廣。

術曰：分母各乘其全，分子從之， 分母各乘其全，分子從之者，通全步內分子，如 此則母、子皆為實矣。 相乘為實，分母相乘為法。 猶乘分也。 實如法而一。 今為 術廣從俱有分，當各自通其分。命母入者，還須出之，故令分母相乘為法而連除之。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置廣三步，以分母三乘之，得 九，分子一從之，得一十於上位，置 從五步，以分母五乘之，得二十五，

分子二從之，得二十七於下位，上下 相乘，得二百七十為實，分母三、分 母五相乘，得一十五為法，實如法而 一，得十八步，合問。

1. 求 ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

× ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

5 5 2 3 3 1

2. 3×3＋1＝10 上位 3. 5×5＋2＝27 下位 4. 10×27＝270 為實 5. 3×5＝15 為法 6. 18

270 = 15

而此處，大廣田術與前面的方田術、里田術方法相似，又運算技巧與課分術、

減分術、平分術、經分術、乘分術相關。因此，如李淳風所注釋： 「大廣田者，

初術直有全步而無餘分；次術空有餘分而無全步；此術先見全步復有餘分，可以 廣兼三術，故曰大廣。」

故李潢亦沒有特別寫大廣田術的「說曰」 。

3.1.11 圭田術

《九章算術細草圖說》方田章第二十五問、第二十六問皆為圭田術的題目，

我們看第二十五題：

（二十五）題目：今有圭田廣十二步，正從二十一步。問為田幾何？

荅曰：一百二十六步。

如圖：子丑為正從，寅卯為廣，以甲段與乙段顛倒，相補成直積。注所謂：

「以盈補虛為直田也」。

33

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 16。

34

引自同上。

35

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 17。

36

此處，圖未標明出處者，為筆者仿李潢的圖重新畫之。例如： 「圖 3－2：圭田」。以下各題同

甲 乙

卯 寅

子

丑

圖3－2：圭田

術曰：半廣以乘正從。 半廣者，以盈補虛為直田也。亦可半正從以乘廣。按：半廣乘 從，以取中平之數，故廣從相乘為積步。畝法除之，即得也。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置廣十二步，半之，得六步，

以乘正從二十一步，得一百二十六 步，合問。

1. 12÷2＝6 2. 6×21＝126

而此處，圭田就是現在所說的三角形，其圭田術可以半廣以乘正從，也可以 半正從以乘廣。另外，李潢也說明當廣與從都是分數之時，應當各自通分再運算，

如同前面大廣田術的方法。此由以下「說曰」可以得知：「又以廣從俱有分，當 各自通其分，令分母相乘為法，而連除之，如前大廣田術也。」

3.1.12 邪田術

《九章算術細草圖說》方田章第二十七問、第二十八問皆為邪田術的題目，

我們看第二十七題：

（二十七）題目：今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十 四步。問為田幾何？

荅曰：九畝一百四十四步。

如圖：子丑為一頭廣，寅卯為一頭廣，丑寅為正從，移甲段補乙段，注所

此標示。

37

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 18。

38

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 18。

謂：以盈補虛也。

乙

甲

丑

寅 卯

子

圖 3－3：邪田

術曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并。畝法而 一。 并而半之者，以盈補虛也。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置一頭廣三十步，一頭廣四十 二步，并之，得七十二步，半之，得 三十六步，以乘正從六十四步，得二 千三百四步，如畝法，二百四十步而 一，得九畝一百四十四步，合問。

1. 30＋42＝72 2. 72÷2＝36 3. 36×64＝2304 4. 2304＝9×240＋144

而此處，邪田就是現在所說的梯形，

其邪田術中的「并兩邪而半之，以乘 正從若廣。」

就是現在的梯形公式：上底加下底，乘以高，再除以二。

而李 潢也特別將劉徽注中的「以盈補虛也」，

畫邪田圖，標明「移甲段補乙段」，

43

讓初學者能夠容易閱讀。又此移補的方法，與圭田術相似，因此，李潢亦沒有 特別寫邪田術的「說曰」 。

39

依照郭書春的《匯校九章算術》 ，頁 43，認為邪田是一般的梯形。但是依照李繼閔的《九章算 術校證》 ，頁 163，認為邪田是恰有一邪的直角梯形。又依照洪萬生的《孔子與數學》 ，頁 22，亦 認為邪田是一般的梯形。而筆者觀看李潢的補圖，亦傾向邪田是一般的梯形。

40

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 19。

41

依照郭書春的《匯校九章算術》 ，頁 43，說明《九章算術》的邪田術公式：將「兩邪」 （即兩頭 廣或兩畔從）相加，取其一半，以乘正從或廣（即正廣） 。顯然，它包含了已知兩頭廣和正從（現 今稱為高），與已知兩畔從和正廣（現今亦稱為高），兩個例題的全部情形，無任何訛誤。

42

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 19。

43

引自同上。

3.1.13 箕田術

《九章算術細草圖說》方田章第二十九問、第三十問皆為箕田術的題目，我 們看第二十九題：

（二十九）題目：今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步。問為 田幾何？

荅曰：一畝一百三十五步。

如圖：子寅丑為舌廣，辰卯巳為踵廣，寅卯為正從，甲段一邪田，乙段一 邪田，所謂：中分箕田為兩邪田也。

圖3－4：箕田（一）（李潢補圖）

而此處，依照李潢對圖的說明：「寅卯為正從」與「中分箕田為兩邪田」。筆者 認為「箕田」的圖形，應重畫如下：

乙 甲

卯

丑 子

巳 辰

寅

圖3－5：箕田（二）

如「圖3－5：箕田（二）」才符合李潢所謂：「寅卯為正從」與「中分箕田為兩

44

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 20。

邪田」的說法。反之，若李潢對「箕田」的說明有誤，僅依劉徽注：「中分箕田 為兩邪田」，那麼，李潢的「箕田」圖，亦是可以解釋得通。

術曰：并踵舌而半之，以乘正從。畝法而一。 中分箕田則為兩邪田，故其術相似。

又可并踵、舌，半正從以乘之。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置舌廣二十步，踵廣五步，并 之得二十五步，半之得十二步半，以 乘正從三十步，得三百七十五步。如 畝法，二百四十步而一，得一畝一百 三十五步，合問。

1. 20+5=25 2. 25÷2=12.5 3. 12.5×30=375 4. 375=240+135

在此處，由劉徽注中的「中分箕田則為兩邪田，故其術相似。」

可以知道 箕田是由兩個邪田所組成，亦即可以將箕田分割成兩個邪田，故計算箕田與計算 邪田的方法相似。所以，李潢亦沒有特別寫箕田術的「說曰」 。

3.1.14 圓田術

《九章算術細草圖說》方田章第三十一問、第三十二問皆為圓田術的題目，

我們看第三十一題：

（三十一）題目：今有圓田，周三十步，徑十步。 臣淳風等謹按：術意以周三 徑一為率，周三十步，合徑十步。今依密率，合徑九步十一分步之 六。 問為田幾何？

荅曰：七十五步。 此於徽術，當為田七十一步一百五十七分步之一百三。 臣淳風等謹 依密率，為田七十一步二十二分步之一十三。

如圖：甲乙丙丁為圓周，甲丙、乙丁皆圓徑。

45

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 20。

46

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 20。

丁 乙

甲

丙

圖3－6：圓田

術曰：半周半徑相乘得積步。

按：半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步也。……割 之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。……

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之，此處，李潢 先寫密率求徑的「草曰」 ：

密率求徑草曰：

置周三十步，以徑率 七乘之，得二百一十步為實，如周率 二十二而一，得九步二十二分步之一 十二，子母各半之，為十一分步之六，

卽田徑也。

1. 30×7=210 2. 210÷22=

22 9 + 12

3. 22 9 + 12 =

11 9 + 6

然後再寫依術曰及依徽術的細草：

草曰：置周三十步，半之得十五步於 上位，置徑十步，半之得五步於下位，

上下相乘，得七十五步，合問。

1. 30÷2=15 2. 10÷2=5 3. 15×5=75

徽術草曰：

置周三十步，自乘得九 百步，以圓幂率二十五乘之，得二萬 二千五百步為實，如周幂率三百一十 四而一，得七十一步三百一十四分步 之二百六，子母各半之，為一百五十 七分步之一百三。

1. 30×30=900 2. 900×25=22500 3. 22500÷314=

314 71 + 206

4. 314 71 + 206 =

157 71 + 103

47

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 21。

48

此處所稱密率，即為七分之二十二，是圓周率π的近似值。

49

此處所稱徽術，即為 3.14，亦是圓周率π的近似值。

又術曰：周、徑相乘，四而一。

此周與上觚同耳。周、徑相乘各當以半。而今周、

徑兩全，故兩母相乘為四，以報除之。……

草曰：置周三十步於上位，徑十步於 下位，上下相乘，得三百步為實，四 而一，得七十五步，合問。

1. 30×10=300 2. 300÷4=75

又術曰：徑自相乘，三之，四而一。

按：圓徑自乘為外方。三之，四而一者，是 為圓居外方四分之三也，若令六觚之一面乘半徑，其幂即外方四分之一也。因而三之，即 亦居外方四分之三也。是為圓裏十二觚之幂耳。取以為圓，失之於微少。……

草曰：置徑十步，自乘得一百步，三 之，得三百步為實，四而一，得七十 五步，合問。

1. 10×10=100 2. 100×3=300 3. 300÷4=75

又術曰：周自相乘，十二而一。

六觚之周，其於圓徑，三與一也。故六觚之周自 相乘為幂。……於徽新術，直令圓周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圓幂，

其率：三百一十四者，周自乘之幂也。……

潢按：劉注「其率」，下脫「二十五者，圓幂也。」七字。

草曰：置周三十步，自乘，得九百步 為實，十二而一，得七十五步，合問。

1. 30×30=900 2. 900÷12=75

在圓田術的題目中，我們可以再次發現李潢編寫《九章算術細草圖說》的 用心。 《九章算術》在圓田術有四個「術曰」 。因此，李潢特別在每一個「術曰」

之後，都適時的用這個「術曰」的方法，加以「草曰」來計算並求出答案。這使 得後世讀者，能夠更快、更明確的瞭解《九章算術》原文與注文的內容，這對後 人研讀《九章算術》與數學教育的普及，是有相當大的貢獻。

另外，李潢在此處校正了戴震將劉徽割圓術中的部分「弧」改成「觚」 ，

亦即李潢認為戴震將部分「弧」改成「觚」是不妥的。這點由李潢的「說曰」可

50

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 40。

51

引自同上。

52

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 42。

53

引自同上。此處李潢按：劉注「其率」，下脫「二十五者，圓幂也。」七字。依照李繼閔的

《九章算術校證》，頁 169，誤將李潢按改成「二十五者，周幂也。」七字，認為未能達意。而 依照郭書春的《匯校九章算術》，頁 58，認為李潢校正無誤。而筆者亦認同郭書春的說法。

54

參考郭書春， 《匯校九章算術》 ，頁 8。

以得知，並且李潢還作圖如下，以補充「說曰」 ：

說曰：注云：「圓中容六弧之一面。」東原戴氏云：「六觚原本訛作六弧。

考：六角形其平面亦有六，八角形其平面亦有八，古人謂之六觚、八觚。

若截圓形為六，古人謂之弧背，其弧卽圓周，不得云圓中容六弧之一面。」

55

按此說非也，六弧者，割全圓為六弧也，圓中容六弧之一面，卽弧弦也，

在弧田，則謂之弦，在割圓，則謂之面，義各有屬，弧田術有弦、有矢不 言弧背，其弧背，直謂之弧。沈存中筆談會圓之術云：割田之弧，云所割 之弧，云求弧數，是南宋時，尚不云弧背，授時術，始有弧背之名，至今 因之，不得云古人謂之弧背也，漢書律歴志之六觚郊祀志之八觚，雖訓觚 為角，然皆體之稜面，如竈觚、觚稜之類，不得據彼以易此也。云：六弧 之一面，與圓徑之半，其數均等，則六弧之六面為全徑之三倍可知矣，故 云：合徑率一而外周率三也。

如圖：作甲乙兩丁戊已圓，

又作庚丙辛壬癸戊圓，庚丙與庚戊，皆六弧之 一面，亦卽圓徑之半。

戊 丙

庚

丁 己 乙

甲

壬

癸 辛

圖3－7：割圓（一）

在圓田術的「術曰：周、徑相乘，四而一。」

之後，李潢在「說曰」中已明確 指出求圓「密率」其值等於七分之二十二，是圓周率π的近似值，且看以下「說 曰」 ：

說曰：依密率，以七乘周，二十二而一，卽徑，以二十二乘徑，七而一，

卽周者，此約率也。……

55

東原戴氏即是戴震。

56

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 27。

57

此處的「作甲乙兩丁戊已圓」，其中「已」字應是「己」字較通順，疑是鴻語堂刊刻時誤刻。

58

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 27。

59

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 40。

60

引自同上。

並且，李潢在圓田術另一個「術曰：徑自相乘，三之，四而一。」

之後，再次 強調「密率」，是圓周率π的近似值，再看以下「說曰」 ：

說曰：按密率，令徑自乘，以十一乘之，十四而一，卽圓幂也者，此亦約 率也。……

又李潢也在其後「說曰」中寫道：「方幂二百，其中容圓一百五十七也，圓率猶 為微少者，因棄其餘分故也。按：弧田圖，令方中容圓，圓中容方，內方合外方 之半，……」。

由此可知，李潢亦知道求圓「徽術」其值等於3.14，也是圓周 率π的近似值。並且李潢補圖說明之：

如圖：子午面、卯酉面，皆為外方面，亦皆為內圓徑，又皆為內方斜徑，

內方合外方之半。

午 子

酉 卯

圖3－8：方中容圓、圓中容方（一）

另一方面，李潢也有特別注意到劉徽注：「割之彌細，所失彌少。割之又割，以 至於不可割，則與圓周合體而無所失矣」的精神。

不但寫「說曰」來說明，而 且也以補圖輔助說明之。他在說曰中指出：「云：割之彌細，所失彌少者，以十 二弧之幂，與圓幂相課，所失多。以三千七十二弧之幂，與圓幂相課，所失少。

云：割之又割，以至於不可割，則與圓周合體，而無所失者。割之彌細，則弧面 漸小，而餘徑亦漸小，至於不可割，則弧面逼近圓周，而合體矣。」

以下是李 潢此處的補圖：

如圖：六弧之一面乘半徑，得大小句股各四，因而三之，為十二弧之幂，

二十四弧以下，皆可類推。

61

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 40。

62

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 41。

63

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 34。

64

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 35。

65

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 21。

66

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 28。

67

引自同上。

小

小 小 小

大 大

大

大

圖3－9：割圓（二）

如圖：甲辰為餘徑，亦謂之矢，乙巳為弧面，亦謂之弦，子、丑、寅、卯 四段，為以弦乘矢之幂，子、丑二段，出於弧表。

卯 寅 子

丑

辰 甲

巳 乙

庚

圖3－10：割圓（三）

因此，由以上例題，我們可以得知：李潢在圓田術中，盡了很大的心力，試 圖說明「故以半周乘半徑而為圓冪」的道理，且李潢有意識到此劉徽注的主旨在 於證明《九章算術》的圓面積公式。

但依據駱騰鳳於《割圓密率圖解》篇末所 指出：「近刻九章細草者，增損割裂，殊失廬山真面矣。此先生（李潢）釋方田 注中割圓術也，檢篋中舊稿得此，亟錄之，以存梗概云」。

意謂沈欽裴算校李 潢的《九章算術細草圖說》方田注中「割圓術」時，作了相當程度的增刪，以致 於偏離李潢的本意。

68

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 29。

69

參閱郭書春， 《九章算術細草圖說》提要。

70

駱騰鳳字鳴岡，號春池，山陽（今江蘇淮安）人。

71

引自陳鳳珠， 《清代算學家駱騰鳳及其算學研究》，頁 102。

3.1.15 宛田術

《九章算術細草圖說》方田章第三十三問、第三十四問皆為宛田術的題目，

我們看第三十三題：

（三十三）題目：今有宛田，下周三十步，徑十六步。問為田幾何？

答曰：一百二十步。

如圖：甲乙兩丁為宛田下周，甲戊丙為宛田徑。

戊

甲 丙

乙

丁

圖3－11：宛田

術曰：以徑乘周，四而一。 此術不驗。故推方錐以見其形。假令方錐下方六尺，高 四尺。四尺為股，下方之半三尺為句。正面邪為弦，弦五尺也。令句、弦相乘，四因之，

得六十尺，即方錐四面見者之幂。若令其中容圓錐，圓錐見冪與方錐見冪，其率猶方冪之 與圓冪也。按：方錐下六尺，則方周二十四尺。以五尺乘而半之，則亦方錐之見冪。故求 圓錐之數，折徑以乘下周之半，即圓錐之冪也。今宛田上徑圓穹，而與圓錐同術，則冪失 之於少矣。然其術難用，故略舉大較，施之大廣田也。求圓錐之冪，猶求圓田之冪也。今 用兩全相乘，故以四為法，除之，亦如圓田矣。開立圓術說圓方諸率甚備，可以驗此。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置下周三十步於上位，徑十六 步於下位，上下相乘，得四百八十步，

四而一，得一百二十步，合問。

1. 30×16=480 2. 480÷4=120

而在此處， 「宛田」應該是「球帽形」 。

劉徽注中已說明宛田術的「術曰」

72

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 44。

73

參閱洪萬生， 《從李約瑟出發－數學史、科學史文集》 （台北：九章出版社，1999） ，頁 68-69。

公式是近似值，所以這方面，李潢並沒有多加著墨，僅在「說曰」寫道： 「折徑 者，以邪弦為半徑也。平方、平圓之半徑為直徑；方錐、圓錐之半徑為折徑。今 法渾圓面，任割一分，欲求面分之容，則取自正頂至所割圓界之度為半徑，作平 圓，其容相等，卽邪弦為半徑之法也。 」

亦即說明折徑與直徑，定義是不同的。

3.1.16 弧田術

《九章算術細草圖說》方田章第三十五問、第三十六問皆為弧田術的題目，

我們看第三十五題：

（三十五）題目：今有弧田，弦三十步，矢十五步。問為田幾何？

荅曰：一畝九十七步半。

如圖：甲乙丙為弧田弦，丁乙為矢。

丁

丙 甲

乙

圖3－12：弧田

術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。 方中之圓，圓裏十二觚之幂，合外 方之冪，四分之三也。方中合外方之半，則朱實合外方四分之一也。弧田，半圓之幂也。

故依半圓之體而為之。術：以弦乘矢而半之，則為黃幂，矢自乘而半之，為二青幂。青、

黃相連為弧體。弧體法當應規。今弧面不至外畔，失之於少矣。圓田舊術以周三徑一為率，

俱得十二觚之冪，亦失之於少也。與此相似，指驗半圓之弧耳。若不滿半圓者，益復踈闊，

宜依句股鋸圓材之術，以弧弦為鋸道長，以矢為句深，而求其徑。既知圓徑，則弧可割分 也。割之者，半弧田之弦以為股，其矢為句，為之求弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦為 句，半圓徑為弧，為之求股，以减半徑，其餘即小弦之矢也。割之又割，使至極細。但舉 弦、矢相乘之數，則必近密率矣。然於算數差繁，必欲有所尋究也。若但度田，取其大數，

舊術為約耳。

在此處，李潢對劉徽的注文，寫「潢按」作了四個地方的校正如下：

潢按：方中合外方之半，「方中」當作「中方」。

以矢為句深，「句」當 作「鋸」。

半圓徑為弧，「弧」當作「弦」。

卽小弦之矢也，「弦」當

74

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 45。

75

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 45。

76

依照郭書春， 《匯校九章算術》 ，頁 60，認為「方中」誤倒，所以，李潢校正無誤。

77

依照郭書春， 《匯校九章算術》 ，頁 63，認為李潢按：「「句」當作「鋸」。」實無必要。

作「弧」。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置弦三十步於上位，矢十五步 於下位，上下相乘，得四百五十步於 中位，矢又自乘，得二百二十五步，

并中，得六百七十五步，二而一，得 三百三十七步半，如畝法，二百四十 步而一，得一畝九十七步半，合問。

1. 30×15=450 2. 15×15=225 3. 450+225=675 4. 675÷2=337.5 5. 337.5=240+97.5

而李潢也特別在弧田術後寫「說曰」來解釋劉徽注文。 「云：中方合外方之半，

則朱實合外方四分之一也者，朱實居中方之半，合外方四分之一。」

並且再以 補圖輔助說明如下：

如圖：朱實與黃幂等，居中方之半，合外方四分之一。

實朱 冪黃

圖3－13：方中容圓、圓中容方（二）

還有，在李潢的「說曰」再補充說明：「云：弧田，半圓之幂也。故依半圓之體 而為之術，以弦乘矢而半之，則為黃幂，矢自乘而半之，為二靑幂，靑、黃相連 為弧體者，如前圖。黃幂居十二弧幂之四，二靑幂居十二弧幂之二，靑、黃相連 者，以二靑幂，附於黃幂之兩旁，得十二弧幂之半，而為弧體。」

又李潢為讓後世讀者能夠更加方便閱讀，以圖文對照來瞭解其中意義，在此處，

立即又補圖輔以說明如下：

78

依照郭書春， 《匯校九章算術》 ，頁 63，認為李潢按： 「「弧」當作「弦」。」正確無誤，應依 李潢校正。

79

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 46。又依照郭書春， 《匯校九章算術》 ，頁 63，

認為李潢按： 「「弦」當作「弧」。」似無必要。

80

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 48。

81

引自同上。

82

引自同上。

如圖：弧田，半圓之幂也。以二靑幂附於黃幂之兩旁，得十二弧幂之半，

而為弧體，弧面不至外畔。

青 青

黃

圖3－14：割圓（三）

3.1.17 環田術

《九章算術細草圖說》方田章第三十七問、第三十八問皆為環田術的題目，

我們看第三十七題：

（三十七）題目：今有環田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。

此欲令與周三徑一之率相應，故言徑五步也。據中、外周，以徽術言之，當徑四步一百五 十七分步之一百二十二也。 臣淳風等謹按：依密率，合徑四步二十二分步之十七。 問為 田幾何？

答曰：二畝五十五步。 於徽術，當為田二畝三十一步一百五十七分步之二十三。 臣 淳風等謹依密率，為田二畝三十步二十二分步之十五。

如圖：甲乙丙丁為外周，庚辛壬癸為中周，甲庚、乙辛、壬丙、癸丁皆徑 也，并中外周而半之，以徑乘之，為積。

83

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 48。

84

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 49。

丙 壬 庚 甲

丁 癸 辛 乙

圖3－15：環田

術曰：并中、外周而半之，以徑乘之，為積步。 此田截齊中外之周，周則為長。

并而半之者，亦以盈補虛也。此可令中、外周各自為圓田，以中圓减外圓，餘則環實也。

按：此術，置中、外周步數於上，分母、子於下。母乘子者，為中、外周俱有餘分，故以 互乘齊其子。母相乘同其母。子齊母同，故通全步，內分子。并而半之者，以盈補虛，得 中平之周。周則為從，徑則為廣，故廣、從相乘而得其積。既合分母，還須分母出之。故 令周、徑分母相乘而連除之，即得積步。不盡，以等數除之而命分。以畝法除積步，得畝 數也。

密率術曰：

置中、外周步數，分母子各居其下。母互乘子，分母相乘，通 全步，內分子并而半之又可以中周減外周，餘半之，以益中周。徑亦通分 內子，以乘周為實。分母相乘為法，除之為積步，餘，積步之分。等數約 之，以畝法除之，即畝數也。

在此處，李潢特別注意到：原環田術「術曰」的劉徽注文中，竟然有用「密 率求徑」的方法，來回答李淳風在題目所補的「密率求徑」注釋。

顯然，這是 不可能的，因此，李潢寫「潢按」如下：

潢按：此田截齊中外之周，至餘則環實也。劉徽注當止此。自按：此術以 下，是李淳風注，當在密率術下，密率術一節，是淳風補術，上注乃其自 注也。

85

依照錢寶琮， 《九章算經點校》 （台北：九章出版社，1991），頁 38-39。認為「密率術曰」以 下至於卷終，係《九章算術》經文，抑係劉徽或李淳風等注釋，很難斷定。而依照郭書春， 《匯 校九章算術》 ，頁 65。認為：此術言分數，較只取整數精密，故曰「密率」，當係《九章算術》

經文。

86

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 49。

87

劉徽（大約 3 世紀）是三國時期魏國人，而李淳風(604-672)卻是唐朝人，顯然劉徽比李淳風出 生早了幾百年。因此，劉徽不可能為李淳風的題問作注。

88

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 51。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之，此處，李潢 先寫古率求徑、徽術求徑、密率求徑的「草曰」 ：

古率求徑草曰：置中周九十二步，三 而一，得三十步三分步之二於上位，

又置外周一百二十二步，三而一，得 四十步三分步之二於下位，上下相 減，餘十步，半之，得五步，卽徑也。

1. 92÷3=30+

3 2

2. 122÷3=40+

3 2

3. (40+

3

2 )－(30+

3 2 )=10 4. 10÷2=5

徽術求徑草曰：置中周九十二步，以 五十乘之，得四千六百步，一百五十 七而一，得二十九步一百五十七分步 之四十七於上位，又置外周一百二十 二步，以五十乘之，得六千一百步，

一百五十七而一，得三十八步一百五 十七分步之一百三十四於下位，上下 相減，餘九步一百五十七分步之八十 七，半之，得四步一百五十七分步之 一百二十二，卽徑也。

1. 92×50=4600 2. 4600÷157=29+

157 47 3. 122×50=6100 4. 6100÷157=38+

157 134

5. （38+

157

134 ）－（29+

157

47 ）=9＋

157 87

6. （9＋

157

87 ）÷2=4+

157 122

密率求徑草曰：置中周九十二步，以 七乘之，得六百四十四步，二十二而 一，得二十九步二十二分步之六於上 位，又置外周一百二十二步，以七乘 之，得八百五十四步，二十二而一，

得三十八步二十二分步之十八於下 位，上下相減，餘九步二十二分步之 十二，半之，得四步二十二分步之十 七，卽徑也。

1. 92×7=644 2. 644÷22=29+

22 6 3. 122×7=854 4. 854÷22=38+

22 18

5. （38+

22

18 ）－（29+

22

6 ）=9+

22 12

6. （9+

22

12 ）÷2=4+

22 17

然後，再寫古率為田、徽術為田、密率為田的「草曰」 ：

89

古率求徑取周三徑一，即以π等於 3 計算。徽術求徑以π等於 3.14 計算。密率求徑以π等於

七分之二十二計算。

為田草曰：置中周九十二步，外周一 百二十二步，并之，得二百一十四步，

半之，得一百七步，以徑五步乘之，

得五百三十五步，以畝法二百四十步 除之，得二畝五十五步，合問。

1. 92+122=214 2. 214÷2=107 3. 107×5=535 4. 535=2×240+55

徽術為田草曰：如前，求到一百七步 於上位，置徑四步一百五十七分步之 一百二十二，通分內子，得七百五十 步於下位，上下相乘，得八萬二百五 十步為實，以分母一百五十七為法除 之，得五百一十一步一百五十七分步 之二十三，又以畝法二百四十步除 之，得二畝三十一步一百五十七分步 之二十三。

1. 92+122=214 2. 214÷2=107 3. 4+

157 122 =

157 750 4. 750×107=80250 5. 157

511 23 80250 = 157

6. 157

240 23 157 2

511 23 = × +

密率為田草曰：如前，求到一百七步 於上位，置徑四步二十二分步之十 七，通分內子，得一百五步於下位，

上下相乘，得一萬一千二百三十五步 為實，以分母二十二為法，除之，得 五百一十步二十二分步之十五，又以 畝法二百四十步除之，得五畝三十步 二十二分步之十五。

1. 92+122=214 2. 214÷2=107 3. 4+

22 105 17 = 22

4. 107×105=11235

5. 22

510 15 22

11235 = +

6. 22

30 15 240 22 2

510 + 15 = × + +

而在方田章第三十七題，環田術題目的「密率為田草曰」中有誤，其中「得五畝 三十步二十二分步之十五」 ，應是「得二畝三十步二十二分步之十五」。筆者疑 是李潢筆誤且沈欽裴沒有校對出來；或是李潢原稿正確而沈欽裴錯校；或是當年 鴻語堂的刊刻工人誤將二畝看成五畝，筆者不得而知。

最後，李潢也特別注意到劉徽注中的「此可令中、外周各自為圓田，以中圓 减外圓，餘則環實也。」

因此，在方田章文末，李潢也特別再寫「說曰」來補 充說明： 「說曰：此可令中、外周各自為圓田，以中圓減外圓，餘則環實也者。

如第一問：置中周九十二步，自乘，得八千四百六十四步，十二而一，得七百五 步十二分步之四，為中圓，於上位，又置外周一百二十二步，自乘，得一萬四千 八百八十四步，十二而一，得一千二百四十步十二分步之四，為外圓，於下位，

90

此處「五畝」 ，於李潢《九章算術細草圖說》的文本印錯，應是「二畝」才對。

91

引自李潢， 《九章算術細草圖說》卷一方田，頁 50。