運動與

Brown 運動與 _L´evy 泛函分析 ₍ 下 ₎ ^∗

飛田武幸 著

李育嘉

陳明廷 合譯

⊙摘要

上 兩 回 吾 人 談 到 L´evy 提 倡 利 用 Brown 運動的說法來解釋 L²[0, 1] 上分析 的幾個意味深遠的話題, 相信已深入的認識。

吾人討論了廣義白雜訊泛函的分析, 同時也 考慮到回轉群的作用, 自然發展出來的成果 可以說是隨機調和分析的研究。

這回吾人將對回轉群與 Gauss 型隨機 場再作補充, 特別是介紹變分法。 順便的在吾 人動機之一的物理學上的應用中舉兩個典型 的例子, 即 Feymann 積分與無限維 Dirich- let 形式。

看到以上的發展, 再一次順著 L´evy 的 步道, 由函數分析到隨機過程, 特別是回顧 Brown 運動, 由溫故知新, 發展出新的數學 研究課題。

10. 回轉群與 Laplacian

再次提起上回 9. 所見的 Laplacian 而 考慮與 5. 中之無限維回轉群之關係。

為此, 吾人很簡要的先復習關於有限維 回轉群之基本事實, 在三維空間中以原點為 中心之二維球面 S² 上, 作函數之分析。 回轉 群 SO(3) 表三維空間中表所有三階回轉矩 陣, 作用在 S² 上, 使 S² 上圓形之曲面積不 變。S² 本身可表為

S² = SO(3)/SO(2) (32) 之等質空間。 曲面積用全部表面積來除而正 規化後可在 S² 上定義機率測度 σ, S² 上的 函數構成之 Hilbert 空間記作 L²(S², σ)。 設 n 次球面上之調和函數所張成 L²(S², dσ) 之部分空間表為 Hn, 此等部分空間相互直交 的直和分解為

L²(S², σ) =

∞

L

n=0Hn. (33)

∗ 原文刊登於“數學研討”, 第 27 卷, 第 5 期, 82–88 頁 (1980 年), 日本評論社, 東京.

1

此可得各 Hn 上 SO(3) 之既約么正表現。

此時球面上之 Laplacian Λ 利用球面座標 (ϕ, θ) 可表為

Λ = 1 sin θ

∂

∂θ sin θ ∂

∂θ

!

+ 1 sin²θ

∂²

∂ϕ², (34) 此為 SO(3) 之 Lie 環之二次形式, 在 Hn 上為負算子 −n(n + 1)I (I 為恆等算 子)。

如此, 回轉群, 等質空間與其上之回轉 不變測度, 函數空間, 直和分解與 Laplacian 之間有很優美的相互關係是眾所周知的。

白雜訊測度 µ 是回轉不變的 (5. (11) 式), 又如 6. 所示, µ 之台集可想像為無限維 之球面, 如此則如 S² 之場合一樣, 其是否可 與么正表現或 Laplacian 等自然之對應關係 下有互相關連是為所期待者。

結果是, 雖非如所期待, 但也非完全失 望。 此外, 此觀點也可為吾人引入此觀點以上 的世界。 處理對象是為無限維的, 下面吾人看 看其實情。

1^◦) 由於球面 S² 上均勻分配之機率測 度 σ 與無限維的白雜訊測度 µ 類似, Hilbert 空間 L²(S², σ) 之直和分解 (33) 與 7. 所得 (L²) 之 Wiener 重積分之分解 (13) 對應。

2^◦) 無限維回轉群之既約么正表現不難 由 (13) 之分解的各 Hn 上而得, 其實 5 中 所考慮的部分群 G∞ 之表現也對 Hn 既約, 關於此方向, 更詳細結果可由岡本清鄉與櫻 井孝俊兩氏之著作得知。

3^◦) 關於 Laplacian, (34) 之 Λ 與無 限維類似, 若取在 9. 中所給的 −N (N 為

粒子數算子) 而令之為 △∞ 時可表為

△∞= −

Z

∂^∗_t∂tdt , (35) 此可由部分群 G∞ 來刻劃。 又利用 L²(R¹) 之完全正規直交系 {ξn} 作為空間 E₁^∗ 之座 標系時, 將 ξn 方向微分算子記作 Dn, 則

△∞ 可表如下式

△∞=

^X

n

(D²_n− hx, ξniDn). (36) [註] 由 於 此 表 現 之 故 △∞ 稱 為 Ornstein– Uhlenbeck 算子 (參看 9.)。

對於上述, 請注意 O(E) 之部分群 G∞, 僅利用有限維回轉近似之部分。 此處之構想 也是來自 L´evy。

4^◦) 在 Euclidean 空間上考慮類似無限 維的 Laplacian 並不成熟, 此處再利用座標 系 {ξn} 而重新改寫 9. 中所給與之 L´evy Laplacian 時, 吾人可得

△L= lim

N →∞

1 N

N

X

n=1

D²_n. (37) 根據尾糱伸明氏, 此與 5. 之 2) 中所給與之 L´evy 群 g 有密切關係。 △L之定義域含正規 泛函數, 由此可知 △L 在廣義泛函數空間上 有效的作用。 由 (37) 式很容易推知 △L 在 (L²) 上變為 0 算子。

上述 3^◦), 4^◦) 可圖示如下:

(L²)⁻ =

^L

∪ˆ ∪ˆ

(L²) =

^L

5^◦) 直到目前有關在 5. 之 3) 中所 述 O(E) 的第三個部分群{gt}之族到底如

何, 對於 Laplacian 之有關問題而言並無答 案, 是否該需努力來探討並不知道。

[註] {gt} 的別名稱為 Whisker。

但是, 若被要求舉些機率論上的有趣之 例, 則吾人有以下幾個具體例子。

例 1. 平移 (shift), 習慣上用大寫而寫 為 {St}, 此定義為

(Stξ)(u) = ξ(u − t), ξ ∈ E.

此為支配時間進行之變換群, 是極重要的例 子。

例 2. 延伸 (dilation), 記號為 {τt}, 定義為

(τtξ)(u) = ξ(c^tu)e^2t, ξ ∈ E.

此為 (L²) 且也為 (L²)⁻上之單參數變換群。

又可定義 Ornstein–Uhlenbeck 過程, 在隨 機分析上是很有用的。

特別應注意的是, 此處所言單參數部分 群 {gt} 是真指無限維時, 有限維近似並不被 認為是其特徵。

11. 隨機場

通常, 言及隨機過程時以參數 t 表時 間而表成 {X(t)}, 如 Brown 運動可表為 {B(t)}, 白雜訊也用 t 而表為 { ˙B(t)}。 此 t 若成為多維參數時隨機變數亦稱之為隨機 場, 而仍用 t 或 a 記作 {X(t), t ∈ R^d} 或 {Y (a), a ∈ S^d}。 具體之例有很多是 t 為時 空之參數 t = (s, x), s ∈ [0, ∞), x ∈ R³。 分佈為 Gauss 型時稱為 Gauss 型隨機場。

隨機場 {X(t), t ∈ R^d}, d ≥ 2 為 Gauss 型, X(t)−X(s) 之分佈為 N(0, |t−

s|), 即遵循平均值為 0, 變異數為 |t − s|

之 Gauss 分佈時稱之為 L´evy 之 Brown 運動。 此為 1945 年 L´evy 所介紹者, 且是 Gauss 型隨機場中最為重要的例子。t 若限制 在 R^d 之超平面時仍為 L´evy 之 Brown 運 動。 為使分佈唯一, 多半在 R^d 之原點 O 令 X(0) = 0。 此時若 t 限制在過原點之直線時 變為普通之 (一維參數) Brown 運動。

樣本函數為 R^d 上之廣義函數之場合 時, 仍然可考慮 Gauss 型隨機場, 此即白 雜訊且如 d = 1 時的典型一樣, 吾人記作 {W (t), t ∈ R^d}。 為使 X(t) 為廣義函數, 以十分平滑之試函數為對象而考慮

X(ξ)



=

Z

X(t)ξ(t) dt



所成之族。d = 1 時為 W (t) = ˙B(t), d > 1 時處理 {W (t)} 之分佈 µ 與 3. 中之白雜訊 測度一樣。µ 即為 R^d上之廣義函數空間上所 導出之標準 Gauss 測度。 其特徵函數為 ξ 在 R^d 上之函數與 (9) 同形。

再舉一個 Gauss 型隨機場之例。 此可稱 為 Ornstein–Uhlenbeck 之 Brown 運動, 可表為 {U(t), t ∈ Rⁿ}, 其特徵函數為 E(exp[iU(ξ)]) = exp

"

−1 2

Z

#

, (38) ξ 為 ξ 之 Fourier 變換, 以量子論而言, 此ˆ 表質量 m 之自由粒子之 Euclidean 場。

由此例開始, 對一般的隨機場, Markov 性質, 定常性等, 如單參數場合一樣一般化的 有趣機率性質已正被研究中, 那些重要性吾 人並不在此作為討論主題。 L´evy 所強調的是

由於參數為多維時除了增加趣味外且有豐富 的從屬性。 這些將於下節討論。

12. 由變分法來處理

本節也想限制在 Gauss 型隨機場上進 行討論, 平均值都假設為 0。

對於 Gauss 型隨機場 {X(t), t ∈ R^d}, 參數 t 在 R^d 內變動時, 所對應之隨 機量 X(t) 也跟著變動, 與 t 在 R¹ 內變動 之情形不一樣, 在 R^d 內 t 有種種不同的變 動, X(t) 等應分別對應不同的相關關係。 此 種多樣性刻劃 {X(t)} 之性質。 欲研究此事, 大體而言, 有如下兩種考慮的方法:

i) 取幾個 t 檢查隨機變數 X(t) 等之共同 分佈,

ii) 對於在 R^d 中某限制領域中之 t, 若 X(t) 為已知時, 擬觀察其他時間 t 的 X(t) 之條件機率。

i) 之情形是回到 8. 之 (25) 的隨 機變分方程式之精神。 各時點獨立之白雜訊 {W (t)} 之線型泛函 X(t) 若能表現時, 其所 表現之函數與所周知的 {W (t)} 之性質合起 來就可了解所給與之 {X(t)} 的從屬性。 其 想法與 (26) 求 Gauss 過程之表現相同。

由於參數空間為多維, 以上述之表現作 為基礎之各時點獨立的選擇也有其自由性並 非一定限為 {W (t)} 不可。 例如超平面之集 合, 或更一般的取 R^d 之部分集合之族 H = {h}。 對各 h 考慮獨立之無限小變量之隨機 變數 Z(h) (如同 ˙B(t)) 所對應之狀況。 這

些若想作嚴格的定義, 需由積分幾何之知識 與定義白雜訊時所需之測度論開始。 於是適 當的確定與 t 有關之集合 D(t) ⊂ H, 取 H 上之測度系 {νt}, 由表現

X(t) =

Z

D(t) Z(h) dνt(h) (39) 而使 {X(t)} 之性質更為明白。

若 {X(t)} 為 L´evy 之 Brown 運動, H 為超平面之族, 則 νt 可為與 t 無關之測 度。 此種表現稱為 Chentsov 表現, L´evy 對 此有很高的評價。 更一般的論述參看竹中、 野 田等兩氏之著作 (例如參看文獻 [12] 及其所 引用之文獻)。

ii) 之情形, 可考慮如下之狀況。D 為 R^d 內之區域, 對於 D 內之 t, 若 X(t) 之 值已知時, 擬對 D 外之 t 之值作確定或預 測, 然後讓 D 變形時研究其預測值到底如何 變化, 此為多維參數所產生意味深遠之問題。

此問題之模式化本身並非那麼容易, 而 簡單的設定也不允許。 已知的一種理由是隨 機量的相互關係是受到其共同分佈的約束, 與普通函數之情形不一樣的複雜的情形會呈 現出來。

以下吾人探討一種非隨機之類似情形, 也就是 Dirichlet 問題。 例如在 R² 內具有 十分平滑邊界 C 之區域 D, 其 Green 函數 設為 g(x, y)。 此時 g 為在 D 內為調和, 而 在 D ∪ C 為連續可微分之函數, 且可表為下 式:

u(x) = 1 2π

Z

C

∂g(x, y)

∂n u(y) ds, (40) 此處 ∂/∂n 為對法向量之微分, ds 為 C 之 線測度。 注意此 Green 函數與 C 有關。 C

(非局部, 而是全體) 作微小變化時 g 之變分 滿足下列有名的 Hadamard 方程式

δg(x, y) = − 1 2π

Z

C

∂g(x, z)

∂n ·∂g(z, y)

∂n δn(s) ds, (41) 此處又需回到 L´evy 之舊論文。 他在論文 [L.5] 中, 取帶電之兩個曲面之電場, 處理曲 面微小變化時之電場之變分。 此處 Green 函 數或 Hadamard 方程式等之變分方程式佔 重要角色。 變分的方法實質上由此論文開始, 1922 年之函數分析的書及其修訂版於 1951 年所寫的 [L.3] 也仍然在被引用。(雖然如此 [L.5] 仍在 L´evy 全集中被省略實在不可思 議。)

曲線或曲面之泛函數及其變分之 L´evy 的方法, 在隨機過程或隨機場之研究於相當 時間以後才活躍起來。 思考方法是以隨機過 程 X(t) 與微小時間 dt 之間變化 δX(t) 構 成隨機變分方程式, 這在其提倡之時可說已 呈現出來, 不過直接以變分來表示的想法被 認為是發表於 1955 年第 3 回 Berkeley 研 討會之文中 (文獻 [L.6])。

對於 L´evy 之 Brown 運動 {X(t), t ∈ R^d}, 在以 r 為半徑之某球面 S(r) 上之 各點 t, X(t) 之值已知時, S(r) 之中心 t0 之值 X(t₀) 之最佳預測值為條件平均值 E[X(t0)|X(t), t ∈ S(r)], 此與 X(t) 之球 面 S(r) 上之平均 (= 對均勻分配之機率測 度 σ 之積分) 相等, 將此記為 Md(r):

Md(r) =

Z

S(r) X(t) dσ, r ≥ 0 (42) 此處 r 視為時間時可得 Gauss 過程 {Md(r), r ≥ 0}。 當 d = 2p + 1 時, 此

為 (p + 1) 重 Markov–Gauss 過程。 此事 實可由球面之半徑作稍許變動時波及中心之 值的影響可得若干訊息。 L´evy 由球面之近旁 X(t) 之值得知其內部之值的從屬性, 又維數 d 增大時中心之值的預測較容易作種種的研 究。 如此 [L.6] 一文多半被認為是記述一些 新提出的問題。

為使問題易懂起見, 令 d = 2, 記 R² 之原點為 O, 考慮 X(0) = 0 之 L´evy 的 Brown 運動 {X(t), t ∈ R²}, 當 C 為過原 點 O 之圓周。 由 [14] 可知如下之事實。 t 限 制在 C 上時, 由原點依一定的方向測得弧長 為 s 之點設為 t(s), 則

Z(s) = X(t(s)), s ∈ [0, T ], T 為C之長度,

為以 s 為參數之 2 重 Markov–Gauss 過 程。 對 C 所圍圓盤上之一點 p, C 上之各 t = t(s) 若 X(t(s)) = Z(s) 已知時 X(p) 之條件平均值可表為

E[X(p)|Z(s), 0 ≤ s ≤ T ]

=

Z

0 f (p, s)Z(s) ds , (43)

f (p, s) 為與 |p − t(s)| 之立方成反比例的部 分及常數項所成。 此處, 在某種意味上可看出 與前述 Green 函數類似之點。

若 C 取一般的 C^∞-曲線, 如上述用弧 長 s 定義 Z(s) = X(t(s)) 時是否可期待 多重 Markov 性, 對於 {Z(s)} 用標準表 現 (參考 (26)) 可論述 X(p) 之條件平均 值。 至此是在看 X(t) 之曲線 C 上之值, 及 沿 C 之變化, [14] 之第 II 部中是考慮 C 之變動。 對於一般的 C, x(p) 之條件平均值 寫為 Y (p, C), C 變化到 C + δC 時之變 分 δY (p, C) 之性質是對 {X(t)} 之從屬性 之特性。 此處 δC 之意義可理解為 C 之各 點 t(s) 之法線方向變形 δn(s)。 此時由圓周 情形所表示之公式 (43) 想像得到 δY (p, C) 含 X(t) 在 t = t(s)之法線微分 ^∂X_∂n

t=y(s)。 將 s 作為參數時此例並不成為通常的 Gauss 過程也不成廣義過程, 其共變異函數會出現 1 次特異性。 此也成為 L´evy 之 Brown 運動 之特徵, 與其他隨機場比較即可知。

關於變分, 讀者處理 Hadamard 方程 式, 或者 [L.3] 類似之形式時, 會擔心是否為 隨機函數也不一定。 關於此雖可附說明, 但此 處非放棄不行。 其實, 至今所處理的隨機量, 其積分表現 (參考 [2]) 皆可表為 C^∞-函數 之泛函數。 古典的結果可應用得上。

直到現在所談的話題, 當參數為多維時, C 代以曲面來考慮, 或者對一般之 Gauss 型 隨機場討論同樣的問題等應為今後之研究課 題。

13. 物理上之應用

[I] Feynman 積分給與 Lagrange 函 數 L(x(t), ˙x(t)) 時, 依古典力學有唯一的軌 跡 x₀(t), 但依量子力學必須考慮種種可能的 道路。 對於 x 計算作用函數

A(x) =

Z

t0

L(x(t), ˙x(t)) dt 由 x 之平均值

exp





(44) 可得傳遞函數 (propagator) G(t₁, y1; t2, y2)。

此時如何選擇可能的道路 x, 同時對於 x 之 平均如何解釋成為重點。

吾人曾建議作以下解釋 (1981 ; 及參考 [15]), 令

x(t) = x0(t)+ h m

!

B(t), t0 < t < t1, (45)

B(t) 為 Brown 運動, t = t1 時應有 x(t1) = y1, 於取平均之際乘以 δ-函數 δ0(B(t)) 使 x(t) 聚集為 y1 之效果出現。

由於 Lagrange 函數 L 含 ¹₂m ˙x(t)² 故 (45) 中對 x 所計算之 A(x) 應含 ¹₂h ˙B(t)² 之積分, 於是 (44) 之計算含廣義泛函數

: exp



Z



: (9. 之例) 其他為使測度 µ 成為“flat”測度之因子

: exp



Z



:

或含 δ₀(B(t1)) 而依 µ 之積分解釋為 (44) 之平均值。 利用此方法可確定已知的幾個例 子也可提供新例。

[II] Dirichlet 形式當然是處理自由度 為連續無限時的情形, 但是 Dirichlet 形式 之定義與有限自由度之情形類似。 在 Rⁿ 時, H = −¹₂△ + v 為 Hamiltonian, v 為正值 而平滑的。 對於形式 ε(f, g), 利用基底狀態 ϕ0 可得

ϕ(f, g) = 1 2

Z

Rⁿ(∇f, ∇g)ϕ0(x)²dⁿx 將此並列成下表而找尋無限維之對應觀念 (Rⁿ, dⁿx) (E₁^∗, µ)

H = −1

2△+v △L

ϕ : 基底狀態 ψk : Gauss 核

∇f ∇ϕ = (∂tϕ, t ∈ R¹)

ϕ(f, g) ε(ϕ, ψ)

=

^R

上面, 對於 ψk 若 K = c · I 時如 9. 之例所 示 ψk 實為 △L 之固有函數。

此處可議論的是, 當 ψk 為更一般化之 正廣義泛函數時, ϕ 是否為可閉之事, 此處 也可看出廣義泛函數之理論的有效應用。 尤 其沿 [10] 之路線擴張到 [11] 之結果, 考慮 廣大函數族應是重要課題。

14. 編後語

經 3 回的敘述, 本稿即將結束時, 擬再 一次回到 L´evy。 他留下數學去世已是 15 年 前的事了。 想想最近數學的燦爛進步, 有些人 認為 L´evy 及其數學已經成為歷史。 其實不 然, 希望無論如何再一次究讀他的論文與書 刊。

這次拙稿中僅能作的說明是由隨機變分 方程式所示而導出之廣義泛函之分析與變分 法之手法適用於隨機場, 同時可求得函數分 析的根源。 想起紛爭當中拜訪巴黎的 L´evy 是為 1968 年 5 月之事。 當時所強調的是 隨機變分方程式與 Gauss 型隨機場, 特別 是 Brown 運動。 兩天當中所談話的中心是 這些事, 至今印象仍相當深刻。 本稿之話題中 心, 自然偏重此兩話題。 其清靜的和諧語調, 非常謙虛的態度, 談數學時之專一, 令人難忘 懷, 與此風貌博學 (參考 8 厘米電影“mou- vement L´evien”) 的學者對話後, 於歸途中, 經過的 Quartier Latin 沒有想到竟變成那 樣荒廢。 此為很久以前的事了。

個人的 episode 擬於別的機會再談。 最 後再說一句, 今日若想比 L´evy 的工作有更

進一步的突破, 我想最好的方法是從他的函 數分析到機率論所行之路再作一次拜訪。

追記

今年元月, 我經過巴黎時, 乘機再訪 P.

L´evy 在巴黎 16e 區, Theophile Gautier 38 街的舊居。 那是一棟高樓, P. L´evy 舊 居就在頂樓, 一切景物依舊仍如22年前一樣。

而在大樓入口處, 我仍可看到有塊紀念埤, 上 面寫著“1930年至 1970年間這裡曾經住了一 位名作家 Fran¸cois Mauriac, 直到其去逝”。

我再一次感覺到, 巴黎的這個角落的確是名 士聚集充滿著文化氣息的地方。

(1990 年 2 月)

參考文獻

L´evy 之著作

[L.5] Sur la variation de la distrbution de l’´electricit´e sur un conducteur dont la surface se d´eforme. Bull. Soc. Math.

de France 46 (1918), 35–68.

[L.6] A special problem of Brownian motion and a general theory of Gaussian ran- dom functions. Proc. 3rd Berke- ley Symp. on Math. Statistics and Probability II (1956),133–175.

其他參考著作

[10] 福島正俊, Dirichlet 形式與 Markov 過 程, 紀伊國屋數學叢書, 1975.

[11] T. Hida, J. Potthoff and L. Streit, Dirichlet forms and white noise anal- ysis, Commun. Math. Phys. 115 (1988).

[12] A. Noda, Generalized Radon trans- form and L´evy’s Brownian mo- tion I, II, Nagoya Math. J. 105 (1987), 71–87, 89–107.

[13] 岡本清鄉, 等質空間上的解析學, 紀伊國屋 數學叢書, 1980.

[14] Si Si, A note on L´evy’s Brownian mo- tion, Nagoya Math. J. 108 (1987) 121–130; Part II, 114 (to appear in 1989).

[15] L. Streit and T. Hida, Generalized Brownian fuctionals and the Feynman integral. Stochastic Processes and Appl. 16 (1983), 55–69.

[16] Second P. L´evy Seminar in Nagoya, 1986.

作者_: 飛田武幸_,日本名古屋大學教授_{, 1991} 年退休_,現任教於名城大學_.

譯者_: 李育嘉_,成功大學數學系教授_. 陳明廷,成功大學數學系副教授_.