中 華 大 學

I

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：應用時間序列分析於金屬濺鍍沈積 之先進製程控制

Advanced Process Control of Metal Sputter Deposition Using Time Series Analysis

系 所 別：機械與航太工程研究所 學號姓名：M09208032 陳亭棋 指導教授：陳俊宏 博士

中華民國 九十四 年 七 月

II

摘要

本論文利用時間序列分析，針對濺鍍製程的金屬沈積率，進行預測與控 制。首先藉由所收集到的歷史資料，找出適合濺鍍製程的時間序列模型 (Time series model)，然後將此模型應用於實際濺鍍製程，利用製程中所獲 得新的量測資料，即時調整模型係數，使得製程模型能維持在最接近目前 製程狀態下，進行沈積率的預測與控制。本文最後以模擬的製程資料來驗 證上述的方法，以功率(power)當作輸入來控制金屬沈積率，並跟一般業界 常使用的 EWMA (Exponentially Weighted Moving Average)與 DEWMA (Double Exponentially Weighted Moving Average)控制方法做比較，發現使用 時間序列的控制效果優於前述兩種控制方法。

關鍵字：時間序列、濺鍍製程、沈積率、EWMA、DEWMA

Abstract

In this study, we propose a new method to forecast and control the deposition rate of the sputter process by the time series analysis. In order to let the process model consist with the real process anytime, the time series model is fitted by the history data of the sputter process and then the parameters of the process model are updated whenever new measurements are obtained. The simulation results demonstrate that the performance of the proposed method is better than EWMA and DEWMA methods that are adopted in semiconductor processes.

Keyword: time series, sputter process, deposition rate, EWMA, DEWMA

IV

誌謝

兩年的研究所生涯中，最感激我的指導老師陳俊宏老師，在老師不辭

辛苦的指導下，方使我能順利的完成碩士學位。還有許隆結老師在研究室 生活上的關心。同時感謝口試老師，陳獻庚老師、陳文卿老師、施元斌老 師在口試時對論文提供的寶貴意見。亦要感謝交大的李安謙師公，在每次 論文報告上的指導，以及吳建峰學長、黃伯壽同學等等，在研究過程上的 訓練與幫助，另外感謝學姐廖詩茵，同學郭子偉、張毓正、范牧樹及學弟 李森正、劉佳原、廖乙安、葉祖銘、室友范姜永忠等人，不僅在論文上修 訂的大力幫忙外，也使得實驗室的生活充滿多彩多姿。

最後，將本論文獻給我最敬愛父母親及家人，謝謝你們在我求學路途 上的鼓勵與支持，使我能後顧之憂的專注在學業上，順利得到碩士學位。

目錄

摘 要………I 英文摘要………II 誌 謝………III 目 錄………IV 表 目 錄………VI 圖 目 錄………VII 符 號 表………VIII

第 一 章 緒 論 … … … 1

1.1 研究動機與目的………1

1.2 文獻回顧………2

1.3 研究方法………3

第二章 直流電漿濺鍍介紹………6

第三章 時間序列………8

3.1 時間序列簡介………8

3.1.1 自我回歸過程(Autoregerssive Process, AR)………9

3.1.2 移動平均過程(Moving-Average Processes, MA)………10

3.1.3 自我回歸移動平均過程(Mixed Autoregressive-Moving Average Process, ARMA)………10

VI

3.1.4 無定向時間數列………11

3.1.5 ARIMA 模式參數估計………12

3.1.6 模式選取準則(AIC 準則)………13

3.2 遞

迴

與預測方法………13

3.2.1 最小平方法估計參數………13

3.2.2 預測方法………16

第四章 資料分析與製程控制………17

4.1 製程資料收集………17

4.2 預測………20

4.3 製程模擬與控制………22

4.3.1 模擬製程方法………23

4.3.2 控制方法………23

第五章 結果與討論………30

第六章 參考文獻………31

表目錄

表 1:Chamber2 使用 S-plus 2000 找出各個靶材最佳模式下的階次與

AIC 值………19

表 2:Chamber3 使用 S-plus 2000 找出各個靶材最佳模式下的階次與 AIC 值………19

表3:Chamber2裡不同預測方法預測不同靶材之MSE值………22

表4:隨機模擬100次，3種方法預測結果的平均MSE值………28

表5:隨機模擬100次，3種方法控制結果的平均MSE値………29

VIII

圖目錄

圖1:研究流程圖………5

圖2:真空濺鍍機的基本構造圖………7

圖3:模式建立流程圖………9

圖4:Chamber2 target1的沈機率資料，資料點為28個………18

圖5:Chamber3 target1的沈機率資料，資料點為28個………18

圖6:Chamber2 target2不同預測方法比較圖………22

圖7:模擬數據圖………23

圖8:控制流程圖………24

圖9:前50點ARIMA、EWMA與DEWMA預測結果………27

圖10:模擬1個完整靶材沈積率並以ARIMA、EWMA與DEWMA預測……27

圖 11:3 種控制方法前 50 點結果圖………27

圖12:3種控制方法全部結果圖………28

符號表

Z

t：觀測值

t

：時間

φ

：AR項係數

θ

：MA項係數

C：常數項 B：後移運算子

at：白噪音干擾 p：AR 階次 d ：差分階次 q：MA 階次

Φ

t：係數向量

u

t：過去差分的觀測值與過去的干擾向量

ϕ

：差分係數

Xt：功率

ε

t：製程干擾 ept：量測誤差

pt：漂移項

T：沈積率目標值

X

Rt：共變異矩陣

P

t：共變異矩陣之反矩陣 w1：截距項權重

w2：漂移項權重

第一章 緒論

1.1 研究動機與目的

在機械工業、電子工業或半導體工業領域，為了對所使用的材料賦予 某種特性，所以在材料表面上以各種方法形成一層薄膜。隨著沈積參數差 異，而產生沈積薄膜的厚度、結構就會有所改變，進而影響到後續製程的 製做。現今薄膜沈積技術大部分都以濺鍍法為主。當工廠進入量產後，提 昇製造良率對於產量為主之製造系統相當重要，廠商們希望能透過先進製 程監控，便可提早預測到可能發生的製程異常偏離，且進一步的調整製程 機台參數，使得製程機台回歸正常狀態，藉由此機制將可以使製程在更穩 定的狀態下運作，因此如何改善在沈積時可能發生的問題將成為重要的一 環。

本文主要目的是針對金屬濺鍍製程，利用控制器使得金屬薄膜在製程 中穩定的製作，並運用時間序列分析(Time Series Analysis)與預測的方法，

預測下一個時間點的製程干擾，藉由調整輸入項，使其沈積率都維持在製 程沈積率的目標上，減少製程中不必要的損失，進而達到高良率與低成本 之效。

2

1.2 文獻回顧

Moses 與 Cadzow[1]介紹 ARMA Model 的遞迴程序，先找出模型中的階 次係數，當有新觀測值進入時，利用遞迴方法更新模型中的係數。Burn[2]

說明如何模擬含有常態隨機振動變化的 ARMA Model，並探討其初始值設 定之影響進而減少其震盪所帶來的偏差。Sachs et al.[3]對超大積體電路製造 廠提出一個含有三個模組的製程控制系統，其模組分別為 Flexible Recipe Generator、Run by Run Controller 和 Real Time Controller，並在 LPCVD 製 程上驗證此控制系統效能。Spanos et al.[4] 在電漿蝕刻上應用時間數列分析 製程參數，再利用 T²統計分析對之前建立的時間數列模型所求的殘差來做 分析，並藉由 T²管制圖來找出製程發生變異的參數為何及決定保養時機。

Anderson[5]提出改善時域模型的方法，經由自我互變異數與偏自我相關函 數處理時間數列的資料，建出較好的模型並做出更為有效的預測。Sachs et al.[6]提出一個 Run by Run 架構，在控制部份，先由 Control Chart 判別變異 類型後，啟動不同程度之修正模式。處理方法分別為貝氏近似法(Bayesian Approach)及 EWMA 來修正量測值之短期大幅度的跳動(Large Shift)以及長 期製程漂移(Drift)現象。Boning et al.[7]討論在 CMP 製程中四個輸入參數 (Speed, Pressure, Force, Profile) 及 兩 個 輸 出 變 數 (Removal Rate, Non-Uniformity)的問題，利用向量式線性迴歸及 EWMA Controller 補償誤差 值方式來提升良率。Sattler 與 Hecker[8]利用過去經驗建立金屬濺鍍製程模

型，並使用 EWMA 控制器來達到降低成本及提高產能的目的。Smith et al.[9]

討論在濺鍍過程中，沈積率會隨著靶材使用的時間而降低，應用能夠有效 消除製程漂移的方法(Predicted Corrector Controller, PCC)，來調整沈積時 間，使沈積厚度維持在目標值附近。Fung 與 Chung[10]使用 ARMA Model 方法加上即時修正模型參數並做預測，來減少工件在旋轉操作上的誤差產 生。Chen 與 Guo[11]考慮在 CMP 製程中，量測厚度間隔時間為不等間隔性，

為修正移除率的改變情形，所以在原有的 d-EWMA 模型中再加入量測時間 之變化量。Tseng et al.[12]提出在過去使用 EWMA 模式時，由經驗來決定 權重值，此權重通常為定值，對於修正製程跳動現象需要較長的時間，針 對此問題，在原本固定權值外，加入隨時間指數遞減之權重，達到在短時 間內能調整接近目標值。

1.3 研究方法

由金屬濺鍍製程所收集到的沈積率資料上可以發現，沈積率屬於無定

向時間數列，且會隨著靶材消耗越來越慢，本文利用時間序列方法找出製 程沈積率的模型，得知各個時間點的交互關係，進而使用找到的模型來預 測下一個時間點的製程干擾，即時調整下一個時間點的輸入參數，以維持 製程沈積率在所期望的目標值附近，為應用在線上的製程，加入了遞迴的 方法，藉著新資料的加入，隨時調整製程模型參數，使其模型能最符合當

4

時的環境，達到準確的預測。在驗證部分因為廠商是以量產為主的製造商，

不能隨意變動製程參數，故無法上機驗證，只能由歷史資料模擬出製程模 型，藉此模型所產生的資料可以比較出使用時間數列法與其他方法的優劣 性。整篇研究流程大致如圖 1 所示：

步驟一：收集濺鍍製程中所需的資料，包括產品完成日期與時間、靶材壽

命(kWh)、濺鍍材料(Al, TiN)、濺鍍腔體(chamber)、沈積時間(sec) 及厚度(Å)，以便計算出各個時間點的沈積率。

步驟二：依據沈積率資料，利用 S-plus 軟體中時間序列模組估計參數，方 法為最大概似函數法(Max Likelihood Function)，在軟體中給定(p, d, q)階次，即可算出在給定條件下的判斷準則(AIC)值，藉著 AIC 值 找出最符合資料的 ARIMA 形式。

步驟三：因為收集到的資料會有所欠缺，無法計算出所有收集到的製程沈 積率，且資料也為非等間距量測，所以利用歷史資料與所找出的 製程模型當作參考，包含模型係數與製程干擾，藉由這些資料模 擬出近似濺鍍製程模型，以便驗證用。

步驟四：在金屬濺鍍製程上，有了模擬的完整製程模型，便可以預測出等 間隔時間點的製程干擾，如果想讓沈積率都維持在同一水平上，

此時利用輸入控制項消除製程干擾，觀察預測結果與控制結果，

在與一般業界所使用的 EWMA 與 DEWMA 方法預測與控制做比

較，得到使用遞迴的時間數列所做出的預測值與控制為較 EWMA 與 DEWMA 方法佳。

圖 1:研究流程圖

收集製程歷史資料整理與分析

依據沈積率資料建立出製程模型

根據模型資料模擬製程

以功率為輸入控制項驗證 預測與控制結果

6

第二章 直流電漿濺鍍介紹

直流電漿濺鍍如圖 2 所示，其原理主要利用輝光放電(glow discharge) 將氬氣(Ar)離子撞擊靶材(target)表面，靶材的原子被彈出而堆積在基板表面 形成薄膜。濺鍍薄膜的性質、均勻度都比蒸鍍薄膜來的好，但是鍍膜速度 卻比蒸鍍慢很多。新型的濺鍍設備幾乎都使用強力磁鐵將電子成螺旋狀運 動以加速靶材周遭的氬氣離子化，造成靶與氬氣離子間的撞擊機率增加，

提升濺鍍速率。一般金屬鍍膜大都採用直流濺鍍，而不導電的陶瓷材料則 用 RF 交流濺鍍。

一般來說，利用濺鍍製程進行薄膜披覆有幾項特點︰(1)金屬、合金或 絕緣物均可做成薄膜材料。(2)在適當的設定條件下可將多元複雜的靶材製 作出同一組成的薄膜。(3)利用放電氣體中加入氧或其它的活性氣體，可以 製作靶材物質與氣體分子的混合物或化合物。(4)靶材輸入電流及濺射時間 可以控制，容易得到高精度的濃度。(5)較其它製程利於生產大面積的均一 薄膜。(6)濺射粒子幾乎不受重力影響，靶材與基板位置可自由安排。(7)基 板與膜的附著強度是一般蒸鍍膜的 10 倍以上，且由於濺射粒子帶有高能 量，在成膜面會繼續表面擴散而得到硬且致密的薄膜，同時此高能量使基 板只要較低的溫度即可得到結晶膜。(8)薄膜形成初期成核密度高，可生產 10nm 以下的極薄連續膜。(9)靶材的壽命長，可長時間自動化連續生產。(10) 靶材可製作成各種形狀，配合機台的特殊設計做更好的控制及最有效率的

生產[18]。

圖 2. 真空濺鍍機的基本構造圖

8

第三章 時間序列

3.1 時間序列簡介

時間序列指的是以時間順序型態出現一連串觀測值之集合，即為動態 系統(Dynamic System)隨時間連續觀察所產生有順序的觀察值之集合。時間 數列分析法理論於1920年代由Yule與Slutsky兩位教授提出，到1970年由Box 與Jenkins兩位教授完成自我回歸移動平均模式建立法(ARIMA model)，此分 析法普遍的應用於工程、經濟、社會科學等等領域上。由Box與Jenkins所提 出的建構程序為一種試誤遞迴過程(Trial and Error Iterative Process)，步驟 如圖5所示: [16,17]

步驟一:根據實際問題與理論交互作用，評估所用的模式。

步驟二:利用歷史資料來推測一個合適並精簡的模式類型，稱之為暫定模 式，在鑑定過程中可獲得粗略的參數初期估計值。

步驟三:當資料被暫定為某一型式及粗略的估計值後，利用統計理論對參 數做精準的計算。

步驟四:檢定上一步驟所獲得的模式與資料是否合適，若不合適必須重新 鑑定、估計與檢定，直到符合資料現象的模式為止。

圖3:模式建立流程圖

3.1.1 自我回歸過程(Autoregressive Process, AR)

自我回歸過程說明觀測值

Z

_t可以是由當期的干擾與所有過去的觀測值 的線性組合來表示，稱為自我回歸乃因當期觀測值Z_t為同一數列數個前期 觀測值Z_t−1,Z_t−2,...,Z_{t p−} 之回歸，簡稱AR(p)，公式如下:

1 1 2 2

...

t t t p t p t

Z = + C φ Z

₋

+ φ Z

₋

− − φ Z

₋

+ a

(3.1)

C為常數，

φ

為權值，

a

_t為白噪音(White noise)，通常假設

a

_{t為常態分配且} 互相獨立，其期望值為0，變異數為

σ

_a²。AR(p)可藉由後移運算子B改寫為

1 2

1 2

(1 − φ B − φ B − − L φ

_p

B

^p

) Z

_t

= + C a

_t (3.2) 一般化模式

暫定模式

參數估計

檢定模式與資料是 否合適

應用模式進行分析 預測

是 否

重新估計

10

令

1 2

1 2

( ) 1

^p

p

B B B

p

B

φ = − φ − φ − − L φ

(3.2)式可改寫為

p

( ) B Z

t

C a

t

φ = +

(3.3)

3.1.2 移動平均過程(Moving-Average Processes, MA)

移動平均過程說明當期的觀測值

Z

_t乃由過去諸個干擾(

a

_t)的線性組合 而成，簡稱MA(q)公式如下

1 1 2 2

t t t t q t q

Z = + − μ a θ a

₋

− θ a

₋

− − L θ a

₋ (3.4)

μ

為所有觀測值的平均值，

θ

為權數，模式中的

(1, − − θ θ

₁

,

₂

, L , − θ

_q

)

稱為震動

影響或記憶函數(Shock-Effect or Memory Function)，表示震動

a

_t將持續影響

, 1, ,

t t + L t + q

等個時期後消失。

MA(q)可藉由後移運算子B改寫為

2

1 2

(1

^q

)

t q t

Z = + − μ θ B − θ B − − L θ B a

= + μ θ

_q

( ) B a

_t (3.5) (3.5)式中

θ

_q( )B = −(1

θ

1B−

θ

2B²− −L

θ

_qB^q)。

3.1.3 自我回歸移動平均過程(Mixed Autoregressive-Moving Average Process, ARMA)

自我回歸移動平均過程簡單的來說結合上述的AR與MA過程，藉此可

以推導出較僅有AR項或僅有MA項更為精簡的模式，簡稱ARMA(p,q)，公 式如下:

1 1 2 2

...

t t t p t p t

Z = + C φ Z

₋

+ φ Z

₋

+ + φ Z

₋

+ a + θ

₁

a

_t−1

− θ

₂

a

_t−2

− − ... θ

_q

a

_{t q− (3.6)}

將(3.6)式改寫成後移運算子形式

1 2 2

(1 − φ B − φ B − ... φ

_p

B

_p

) Z

_t

= + − C (1 θ

₁

B − θ

₂

B

₂

− − ... θ

_q

B a

_q

)

_t 即

( ) ( )

p

B Z

t

C

q

B a

t

φ = + θ

(3.7)

此ARMA(p, q)具有AR(p)與MA(q)過程之平穩與可逆條件。即假若

φ

_p

( ) B = 0

之根落於單位圓外時，ARMA(p, q)為平穩型，又假設

θ

_q

( ) B = 0

之根落於單 位圓外時，則ARMA(p, q)為具有可逆轉性。

3.1.4 無定向時間數列

許多的時間數列型態看起來似乎沒有固定的平衡水準(Level)，但如不 考慮數列的平均水準，則可看出數列的某一期間的觀測值形狀很類似於另 一期間的觀測值形狀，如此的時間數列稱之為在不同平衡水準上的無定向 時間數列。而在前面所敘述的數列則都屬於平穩型時間數列。一般而言，

欲獲得無定向時間數列之模式，需假設原始數列經過d次差分(d>0)後可轉為 平穩型數列，就可以以ARMA模式來表示。此模式稱之為(p, d, q)階之整合 自我回歸移動平均模式(Autoregressive Integrate Moving Average Model of

12

Order (p, d, q))，簡稱為ARIMA(p, d, q)，形式如下:

( )

^d

( ) ( )

p

B Z

t q

B a

t

φ ∇ − μ θ =

或

( ) ( )

p

B W

t q

B a

t

φ = θ

(3.8)

若在(3.8)中加入一常數項，則變為更一般化之整合自我回歸移動平均過 程，即

( ) ( )

p

B W

t

C

q

B a

t

φ = + θ

(3.9)

模式(3.8)中所代表的數列將具有隨機性趨勢(Stochastic Trends)，即觀測值在 不同水準與不同斜率上隨機變化。若C不等於0，則差分數列

{ } W

_t 的平均為

1 2

{

_t

}

_w

/(1

_p

)

E W = μ = C − − φ φ − L − φ

(3.10) 此時

Z

_t 具有一個固定性的d階多項式趨勢。

3.1.5 ARIMA模式參數估計

當獲得的一組數據被鑑定為某型態時，在模式中會有一些未知參數在 內，通常利用最小平方法去推求最佳的參數估計值，以供預測用。而所謂 最佳的意義指的是真實的參數值與估計的參數值之間差的平方和為最小，

但真正的參數值無法得知，因此假若觀測值夠大時，利用概似函數為最大 時，就可獲得有效的推定值。在本文內一開始的製程參數估計值則是運用 S-plus 2000軟體內的Time series模組所計算出來的，估計方法為最大概似函

數 法 ， 給 定 ARI M A中 的 (p,d,q) 階次，即可算出在設定條件下的最佳 參數估計值。

3.1.6 模式選取準則(AIC準則)

假設一組資料可以以一個含有M個參數的統計模式來擬合，為評估模式 擬合的品質，Akaikey在1973年介紹一種判斷準則，稱為AIC(Akaikey Information Criterion)且定義為

AIC(M)=-2ln[最大概似函數]+2M

式中M為模式中參數之個數。當模式之最適階次被選取，則M為p和q的函數 使得AIC(M)為最小。

3.2 遞迴與預測方法

將找到的製程模型應用到實際製程上，金屬濺鍍製程上須要經常更換 靶材，製程會因此有所變動，故需要利用遞迴的方法來維持模型準確性，

再利用更新後的製程模型做下一步的預測。下面將介紹這兩種方法。

3.2.1 最小平方法估計參數

這裡將根據最小平方法(least square method)定義，實行遞迴方法，假設 ARIMA model為:[13-15]

Z = Φ

T

u + + a Z

14

1 2 1 1

[( ),..., ( ), ,... ]

^T

t

= Z

t₋

− Z

t₋

Z

t p₋

− Z

t p_{− −}

− a

t₋

− a

t q₋

u

1 1

[ ,..., , ,..., ]

^T

t

= φ φ θ

p

θ

q

Φ

其中Z_t 為觀測值，a_t為白噪音干擾，φ 為

AR

係數，θ 為

MA

係數。

為取得最佳估計參數值，使實際值與估計值之間的誤差最小，利用最 小平方法計算

:

1

1 1

ˆ [ ]

N N

T

n t t t t

t t

−

Z

= =

= ∑ ∑

Φ u u u

(3.12)

現在假設

1 t

T

t k k

k=

= ∑

R u u

(3.13)

由

(3.12)

得

1

1 1

1 t

ˆ

k k t t

k

Z

−

− −

=

∑ ^u = ^{R Φ}

(3.14)

根據

(3.13)

知

1

T

t− = t − t t

R R u u (3.15)

把上述的條件帶回

(3.12)

整理

1 1

1

ˆ [ ]

t

t t k k t t

k

Z Z

− −

=

=

∑

+

Φ R u u

= Φ ˆ

_t−1

+ R u

_t⁻¹ _t

[ Z

_t

− Φ u ˆ

_t−1 ^T_t

]

(3.16)

隨著的時間增加，資料量會越多，此時R_t⁻¹不容易計算，利用遞迴方法，把

上一個求得R_t⁻₋¹₁加上修正量來得到R_t⁻¹，避免R_t⁻¹運算，改寫

(3.16)

為另一型 式

:

令

1

t t

= −

P R

1 1 1 1 1 1 1

[A B D+ C ]⁻ = A⁻ −A B DA B⁻ [ ⁻ +C^{− −}] DA⁻ (3.17)

A,B,C

和

D

為矩陣，利用

(3.17)

關係式

t−1

A P =

,

B Φ =

_t,

C = 1

,

D Φ =

^T_t

可得到

1 1

[

1 ^T

]

t t t t

− −

=

−

+ P P Φ Φ

1 ^{1 1}

1

1

T

t t t t

t T

t t t

− −

−

−

= −

+

P Φ Φ P

P Φ P Φ

(3.18)

將

(3.18)

帶回

(3.16)

並整理

1 1

ˆ

_t

= ˆ

_t−

+

_t

[ Z

_t

− ˆ

_t− ^T_t

]

Φ Φ L Φ u

(3.19)

1

1

1

t t

t t t T

t t t

−

−

= =

+ L PΦ P Φ

Φ P Φ

初始的Φ(0)為歷史資料所找出來的係數值，

P (0)

為歷史沈積率的共變異矩 陣。由

(3.18)

與

(3.19)

式得知當觀測值進入時，利用量測值與估計值之間的誤 差乘上一個權重來修正原本模型係數，使模型為最接近製程。

16

3.2.2 預測方法

當模式經修正後被確認足夠符合統計準則時，就可用它來預測未來觀 測值。

Z l

_t

( )

之預測值可利用估計出來的

ARIMA

求得。首先計算超前一時 期

(t+1)

的預測值，當

(t+1)

時的實際值得到後，根據實際值與預測值之間的 誤差使用遞迴方法來修正模型參數，在用新模型做下一時間點的量測值預 測。預測公式如下，假設

ARIMA

模型如為

( ) B Z

_t

C

_q

( ) B a

_t

ϕ = + θ

(3.20) 令

ϕ

( )B =

φ

( )(1B −B)^d = −1

ϕ

₁B− −L

ϕ

_{p d+} B^{p d+} ，則

Z

_{t 可表示為}

1 1 1 1

t t p d t p d t t q t q

Z = + C ϕ Z

₋

+ L + ϕ

₊

Z

_{− −}

+ − a θ a

₋

− L − θ a

₋ (3.21) 或

1 1 1 1 1 1

t t p d t p d t t q t q

Z

₊

= + C ϕ Z + + L ϕ

₊

Z

_{+ − −}

+ a

₊

− θ a − − L θ a

_{+ −} (3.22)

下一個時期的預測值

(One-Step-Ahead Forecasts)

，對

(3.22)

式取Z_t+1之條件期 望值得

1 1

ˆ (1)

_t

[

_{t t}

, ]

_t

Z = E Z

₊

Z L = + C ϕ Z + L

+ ϕ

_{p d+}

Z

_{t+ − −1 p d}

− θ

₁

a ˆ

_t

− − L θ

_q

a ˆ

_{t+ −1 q} (3.23) 式中

a ˆ

_t

, L a ˆ

_{t+ −1 q 為殘差，且}E a( _t+1)=0

藉由

(3.23)

式，即可算出在

t

時間的下一個時間點

(t+1)

之預測值。

第四章 資料分析與製程控制

這裡將介紹如何利用分析後的資訊與結果，建立製程模型進行預測，

並使用模擬的製程資料來驗證其控制方法是否有較優於其他方法。

4.1 製程資料收集

目前所收集到的資料是由半導體廠所提供的金屬濺鍍機台資料，從資 料得到濺鍍機台上有四個製程腔體，代號有

Chamber C

、

Chamber D

、

Chamber

2

及

Chamber 3

。

Chamber 2

、

3

所使用的濺鍍靶材為鋁

(Al)

，

Chamber C

、

Chamber D

為氮化鈦

(TiN)

。輸入

power

為固定值，由調整製程時間來控制沈 積厚度。

Chamber 2

與

Chamber 3

沈積厚度目標值相同，

Chamber C

與

Chamber

D

沈積厚度目標值相同。考慮資料來源的設定參數、數量、環境條件的統一 性及工程師建議下，選擇使用

Chamber 2

與

Chamber 3

裡的資料，在分析製程 資料上每次取用一個完整的靶材為主，並以靶材內所得到的沈積率當作是 分析資料。

Chamber 2 target1

與

Chamber 3 target1

的沈積率改變情形如圖

4

及圖

5

所示，由此發現這兩個

Chamber

的沈積率皆會隨著靶材壽命有逐漸衰 減現象，而廠商是以產量為主的製造商，無法等間距的收集資料，故造成 圖上資料點的間距為大小不一。

18

400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

160 165 170 175

Depo. Rate (Angstrom/sec)

Target Life (KWH) Chamber 2 Target #1

Actual Rate

圖4:Chamber2 target1的沈機率資料，資料點為28個

0 200 400 600 800 1000 1200

164 166 168 170 172 174 176

Depo. Rate (Angstrom/sec)

Target Life (KWH) Chamber 3 Target #1

Actual Rate

圖5:Chamber3 target1的沈機率資料，資料點為28個

得到製程資料後，將運用前章的時間序列方法找出濺鍍機台的製程模 型。時間序列方法是以等間距資料來找出數列模型，所以在這裡把非等間

距資料當作等間距資料使用，藉此找出在各腔體內的製程模型。在資料處 理上，因為靶材沈積率有隨時間衰減現象，屬於無定向數列，故取一次差 分，使資料變為平穩數列，再減去差分後數據的平均值以符合時間序列資 料的條件，把整理後的資料利用時間序列方法找出製程模型。這裡利用套 軟

S-plus 2000

找出各個的製程模型。靶材在相同設定條件下所得到各靶材最 佳模式的參數估計值與

AIC

值如表

1

與表

2

所示。由此發現，不同腔體的製 程模型也不相同。

表1:Chamber2使用S-plus 2000找出各個靶材最佳模式下的階次與AIC值

Ch2 Target (p, d, q) M AIC

Target1 (1,1,0) 28 55.79569 Target2 (2,1,0) 37 76.35225 Target3 (3,1,0) 17 42.70026 Target4 (1,1,0) 13 29.68294

表2:Chamber3使用S-plus 2000找出各個靶材最佳模式下的階次與AIC值

Ch3 Target (p, d, q) M AIC

Target1 (2,1,0) 28 47.81872

Target2 (3,1,0) 36 84.08449

Target3 (1,1,0) 22 50.84684

Target4 (1,1,0) 16 40.9331

20

為因應不同的

Chamber

與靶材，所以在模型中選用最高階次的數列模 型，藉由高階次模型可以包含低階次模型的特性，再藉由遞迴方法來找出 符合當時的靶材的數列模型，所以設定模型為

ARIMA(3,1,0)

模式。事實上，

由上面找出的模型，即為製程中的干擾模型。

4.2 預測

有製程模型後，利用歷史資料當作等間距資料來驗證遞迴的時間序列 預測方法再與一般業界使用的

EWMA

、

DEWMA

預測方法比較，來測試各 種方法的效能，假設製程模型為

:

t t t

Z = + α β X + ε

(4.1) 其中

Z

_t為沈積率，

X

_t為輸入項功率，

α

為截距，

β

為轉換函數，

ε

_t為製程 干擾，依據上節的設定，

ε

_t可寫為:

2 3

1 2 3

1

(1 )(1 )

t

a

t

B B B B

ε ⁼ − − φ − φ − φ

(4.2)

由於廠商是固定功率，藉著調整製程時間來控制沈積厚度，故可把

(4.1)

改 寫為:

2 3

1 2 3

1

(1 )(1 )

t t

Z C a

B

φ

B

φ

B

φ

B

= + − − − − (4.3)

其中C= +

α β

X_t，由上式得知沈積率的改變是製程干擾所造成的，所以將 預測製程干擾，來預測下一點的沈積率。取

Chamber 2

裡的資料來驗證，首 先利用

Chamber 2 target1

資料並使用上節所設定模型階次找出模型係數，隨

著製程進行，運用遞迴的時間序列方法預測

target 2

、

3

、

4

的沈積率。這裡 簡單說明

EWMA

與

DEWMA

的預測公式

:

EWMA

預測模型

ˆ

1

t t t

Z = α

₋

+ bX

(4.4)

1( ) (1 1) 1

t w Yt bXt w t

α

= − + −

α

₋ DEWMA預測模型

1 1

ˆ

t t t t

Z = α

₋

+ p

₋

+ bX

(4.5)

1( ) (1 1)( 1 1)

t w Yt bXt w t pt

α

= − + −

α

₋ + ₋

2( 1) (1 2) 1

t t t t t

p =w Y − −b a₋ + −w p₋

Z

t為量測值，

α

_t 為截距項，

p

_t 為漂移項，

w

₁為截距項權重，w₂為漂移項 權重。在此EWMA與DEWMA都給予對模擬製程的最佳權重，最佳權重是 根據 EWMA與 DEWMA對製程的 MSE值最小所設定的。 EWMA權 重

w =0.6，DEWMA截距項的權重1 w =0.6，漂移項的權重₁ w =0.6。由(4.4)與(4.5)₂

式可算出下一個時間點的預測值。預測結果比較圖如圖6，表3為預測結果 的MSE(Mean Square Error)值。由圖中與表可得知，以遞迴的時間序列的預 測結果優於其他兩種方法好。其原因為EWMA與DEWMA的權值不會隨著 製程變動而有所改變，故在預測上無法比時間序列方法準確。

22

圖6:Chamber 2 target2不同預測方法比較圖

表3:Chamber2裡不同預測方法預測不同靶材之MSE值

Chamber2 Target2 Target3 Target4 ARIMA 1.3572 2.7389 2.1706 EWMA 1.3928 3.1033 2.3925 DEWMA 1.4389 3.4151 2.2431

4.3 製程模擬與控制

因為廠商是以量產為主的製造商，不能隨便變動製程設定，故無法實 際上機驗證控制方法，所以將用模擬製程來驗證控制方法是否合適，並與 EWMA 及 DEWMA 控制方法做比較。

4.3.1 模擬製程方法

模擬的濺鍍製程是利用(4.1)式為製程模型，並加入 4.1 節最後所決定的 ARIMA(3,1,0)型態來產生製程資料。這裡以 Chamber 3 target2 的模型資料 當作模擬製程中的參考值，包括模擬製程中的係數、C 値與

a

_t 的變異數 (σ_a²)。模擬中

a

t由平均值是 0、變異數為σ_a²隨機產生，而沈積率起始點設定 為 176(Å/sec)，把上述値帶入(3.8)式並改寫為 ARIMA(3,1,0)得(4.6)式，所產 生一個隨機靶材資料，包含沈積率資料 300 點，形式如圖 6:

2 3

1 2 3 1

(1 − φ B − φ B − φ B )( Z

_t

− Z

_t−

) = + C a

_t (4.6)

圖 7: 模擬數據圖

4.3.2 控制方法

在金屬濺鍍製程中將以調整輸入功率並固定時間來控制沈積率，以維持

沈積率

run

24

所濺鍍出來厚度都能在接近目標值，圖8為控制架構圖:

圖8:控制架構圖

假設輸入為X_t、製程干擾為

ε

_t、輸出為Z_t，β為轉換函數，

α

為截距項，可 得製程模型與(4.1)相同，為使沈積率在濺鍍過程中能維持在同一水準上，

藉由調整輸入項來消除製程中的干擾變異，定義輸出誤差為:

t t t t

e = Z − = + T α β X + − ε T

(4.7)

其中

ε

_t為t-1時間點對t時間點的干擾預測值再加上預測誤差(e_pt)

ˆ( 1)

t

t t e

p t

ε = ε − +

(4.8)

(4.8)式中的e_{p k}為白噪音，將(4.7)式改寫為

ˆ( 1)

t t pt

e = + α β X + ε t t − + e − T

(4.9)

其中

ε ˆ( t t − 1)

可由3.2節中所介紹的遞迴與預測值算法加上(4.2)型式求得整 理如下:

製程 (system)

遞迴 (recursive) 功率(power)

干擾(ε_k)

沈積率 (deposition rate)

控制器 (Controller))

目標值(Target) 下一點應

調整功率

預測下一點干擾

由(4.1)得知

1 1 1

t t t

Z

₋

− − α β X

₋

= ε

₋ 下一時刻的干擾預測值即為

1 1 2 2 2 3 3 3 4 1

ˆ( t t 1) (

_{t t}

) (

_{t t}

) (

_{t t}

)

_t

ε − = φ ε

₋

− ε

₋

+ φ ε

₋

− ε

₋

+ φ ε

₋

− ε

₋

+ ε

₋ (4.10)

經由得知最新的製程干擾，利用遞迴的方法修正(4.10)式中的

φ φ φ

₁, ₂, ₃，即可 根據製程狀況獲得最好的製程干擾預測值。

現在希望輸出誤差期望值能達到最小值，利用最小平方法

( )

_t2

J = E e

= E ( α β + X

_t

+ − ε

_t

T )

² (4.11)

=

E

(

α β

+

X

_t +

ε

ˆ(

t t

− +1)

e

_pt −

T

)²

= α

²

+ ( β X

_t

)

²

+ ( ( ε ˆ t t − 1))

²

+ T

²

+ 2 αβ X

_t

+ 2 β ε X

_t

ˆ ( t t − + 1) 2 αε ˆ ( t t − − 1) 2 α T − 2 β X T

_t

− 2 T ε ˆ ( t t − 1)

在(4.11)式中對X_t取偏微將可得控制法則(Control law):

0

t

J X

∂ =

∂

2

ˆ

2 α + 2 β X

_t

+ 2 ( ε k k − − 1) 2 β T = 0

ˆ( 1)

t

T t t

X

ε α

β

− − −

= (4.12)

(4.12)式即為控制法則，藉由控制法則以確保沈積率都能控制接近期望的 水平。

26

而EWMA與DEWMA的Control law分別為:

EWMA Control law:

t ^{t 1}

X T

b α

₋

= −

(4.14)

DEWMA Control law:

1 1

t t

t

T p

X b

α

_{− −}

− −

= (4.15)

將上述兩式控制法則並給予此製程最佳權重

w

₁

= 0.32

，

w

₂

= 0.0032

帶回 (4.1)式即可得到控制結果，在與遞迴的時間序列控制結果做比較。圖9與圖 10為使用遞迴的時間序列預測結果與以EWMA與DEWMA預測結果的相互 比較圖，表4為這三種方法預測的MSE值。發現經由遞迴的時間序列方法優 於其他兩種方法。圖11與圖12為三種方法控制結果圖，表5為三種方法控制 的MSE值。為其原因為時間序列方法在預測反應製程中干擾的變化較其他 兩種方法快，故能較接近模擬製程値，所以控制方面也好於另兩種方法，

更為接近期望目標值。

圖9:前50點ARIMA、EWMA與DEWMA預測結果

圖10:模擬1個完整靶材的沈積率並以ARIMA、EWMA與DEWMA預測

28

表4:模擬隨機100次，3種方法預測結果的平均MSE值

模擬100次 ARIMA EWMA DEWMA

AVERAGE

MSE值 0.069082 0.096014 0.083138

圖11:3種控制方法前50點結果圖

圖12:3種控制方法全部結果圖

表5:模擬隨機100次，3種方法控制結果的平均MSE值結果

模擬100次 Recursive EWMA DEWMA AVERAGE

MSE值 0.068923 0.095827 0.082536

30

第五章 結果與討論

經由上一章以MSE值作指標的模擬結果中，可以發現經由遞迴的時間序 列方法預測控制沈積率比一般業界使用的EWMA、DEWMA預測控制方法 更為接近目標值，其原因為時間數列方法會根據最新獲得的沈積率資料，

經由遞迴的動作調整模型中的係數，以保持模型是最符合製程型態，做出 最好的干擾預測。一般業界EWMA、DEWMA的權重都由工程師經驗決定，

在本文裡使用的權重則是給予對製程MSE為最小值時的權重，而這些權重 都不會隨著製程的改變而有所變動，所以由遞迴的時間序列方法控制下都 會比在最佳化的EWMA與DEWMA控制方法好下，故可得知在實際製程上 運用本文中的方法控制沈積率將會得到比一般業界的控制方法更為有效。

再將時間序列預測方法結合先進製程控制方法，監控每一批金屬濺鍍厚 度，就能在發生製程偏差時，藉由電腦調整回來。如此一來，靠著調整製 程的輸入項，縮小製程干擾，便可確保每個時間點之沈積率都十分接近製 程上的要求，進而達到降低成本，提高良率與產品利潤。

第六章 參考文獻

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