答薛昭雄教授一 一並附評論與反思 ( 續 )
林開亮
尊敬的薛教授:
謝謝您對拙文 [8] 的評論和建議 [9]。 我在 [9] 中曾與您分享了我後續的一些想法。 很高興 又得到您進一步的回饋。 這裡我想跟您分享一下近來我對 Heaviside 運算元法所得到的一些新 的認識。 在此之前, 我想就您的兩封信做個回饋。
在您的第一封信 [9, p. 91], 您對方程
250x ≡ 1 (mod 2017) (1)
的處理確實只用到了矩陣變換。 蒙您指引, 這個方法更早見於 [13] 和 [11, pp. 203∼208]。 其 基礎是下述結果 ([8, p. 77] 練習 1, 證明平行於本文引理 1 的證明):
定理 1. 設二階整數矩陣
A=
"
a 1 b 0
# .
(i) 若二階整數矩陣 B 使得
BA =
"
1 u
∗ ∗
# , 則 x = u 滿足同餘方程 ax ≡ 1 (mod b)。
(ii) 若二階整數矩陣 C 使得
CA=
"
∗ ∗ 1 u
# , 則 x = u 滿足同餘方程 ax ≡ 1 (mod b).
這確實是一個矩陣方法 : 左乘相當於對矩陣做列變換 (elementary row operation)。 但 如何通過對矩陣 A 做變換? 這其實就需要用到帶餘除法 : 正是矩陣 A 的第一行的兩個元素 a, b 輾轉相除決定了對應的列變換。
比如, 在您所討論的方程 (1) 的情形, 我會把您的求解過程寫成這樣的形式 (其中箭頭
−→ 下方的 r1, r2 分別表示箭頭前的那個矩陣的第一列與第二列) :
"
250 1 2017 0
#
2017=8·250+17
−−−−−−−−→
r2→r2−8r1
"
250 1 17 −8
#
250=15·17−5
−−−−−−−→
r1→r1−15r2
"
−5 121 17 − 8
#
17=(−3)·(−5)+2
−−−−−−−−−→
r2→r2+3r1
"
−5 121 2 355
#
−5=(−3)·2+1
−−−−−−−−→
r1→r1+3r2
"
1 1186 2 355
# . 從而得到 x = 1186 是同餘方程 (1) 的一個特解。 請注意到, 每一步的列變換由前一個矩陣的 第一行兩個元素的帶餘除法 (箭頭 −→ 上方的算式) 所決定。 只不過, 您這裡帶餘除法中的餘 數取自除數 m 的一個絕對值最小的剩餘系 (從而除數和餘數都可以取負值)。
上述演算法中, 一旦出現餘數 ±1, 演算法就終止, 此時它右方的整數除以這個絕對值最小 的非零餘數, 就得到對應方程的一個特解; 否則 (出現的絕對值最小非零餘數不是 ±1) 對應的 同餘方程無解。 誠如您所指出的, 這個方法可以用來確定整數 a, b 的最大公因數, 也可以用來 求解丟番圖方程 ax + by = c。 推而廣之, 這個方法可以用來確定一個整數矩陣 A 的不變因數, 也可以用 A 的 Smith 標準型求解丟番圖線性方程組 AX = B, 其中 X, B 是適當規格的整 數向量。 而這事實上是 MIT 數學教授 M. Artin 的經典代數教材 [1] 中的內容, 見該書 p.420 命題 14.4.9.
您在第二封來函中特別指出, 原始的 RSA 解密演算法中強調 m = pq 是兩個不同素數 的乘積, 這個確實很關鍵, 是我不應遺漏的。 謝謝您的指正。 我那裡主要是想說, 其中所涉及的 模算術中的開 k 次方(參見 [12]) 與 [8] 中介紹的求微分/差分方程的特解之方法是平行的。
定理 2. 設 b, k, m 是給定的正整數, φ(m) 是 m 的歐拉函數, 滿足 gcd(b, m) = 1 且 gcd(k, φ(m)) = 1.
則下述步驟給出同餘方程
xk ≡ b (mod m) 的解。
用求一術解關於 u 的同餘方程
ku≡ 1 (mod φ(m)), 得到 u, 然後令 x ≡ bu (mod m)。
證明參見 [12]。 事實上, Gauss 在他 1801 年出版的 《數論研究》 (見 [5]第 66 款) 中已 經蘊含了這一結果。 與 Gauss 的敘述平行的, 是下述結果:
定理 3. 設 A 是域 F 上的向量空間 V 上的綫性變換, f ∈ V 。 設存在 µ(x) ∈ F[x] 使得 µ(A)f = 0。 給定 P (x) ∈ F[x], 若 P (x), µ(x) 互素, 則下述步驟給出方程
P(A)u = f 的解。
用求一術解關於 U(x) ∈ F[x] 的同餘方程
P(x)U(x) ≡ 1 (mod µ(x)), 得到 U(x), 然後令 u = U(A)f 。
證明: 我們只要驗證 u = U(A)f 滿足方程 P (A)u = f 。 由於 P (x)U(x) ≡ 1 (mod µ(x)), 可設 P (x)U(x) = q(x)µ(x) + 1, 其中 q(x) ∈ F[x]。 從而
P(A)U(A) = q(A)µ(A) + I, 其中 I 是 V 上的粧同變換。 於是有
P(A)u = P (A)U(A)f = (q(A)µ(A) + I)f = q(A)µ(A)f + f = 0 + f = f. .
證畢。
注: 在 Jacobson 的綫性代數教程 [6, p. 67] 中, 零化 f 的非零多項式中次數最低的那個稱爲 f 的 order; 它相當於定理 2 中元素 b 模 m 的指數 (index)。 定理 3 中的條件 µ(A)f = 0, 相當於定理 2 中 b 滿足關係 bφ(m) ≡ 1 (mod m), 這是著名的 Fermat–Euler 定理, 條件 gcd(b, m) = 1 就在這裡用到。
接下來, 我想著重跟薛老師與讀者分享一下我後來對 Heaviside 運算元法進一步思考所 得到的一些認識。 我總結成 以下五點。
第一: 指數平移定理 (Exponential Shift Theorem) 值得特別強調一下, 最好表述成以下形 式:
定理 4 (指數平移定理). 設 P = P (x) ∈ C[x], λ ∈ C, 則對 R 中的任意可作用的函數 f , 有
P(D)eλxf = eλxP(D + λ)f. (2) 證明: 我們先證明 (2) 對 P (D) = D 成立。 事實上, 根據 Leibniz 求導法則, 我們有
D(eλxf) = D(eλx)f + eλxDf
= λeλxf + eλxDf
= eλx(D + λ)f.
於是用數學歸納法, 我們可以證明, 對任意的正整數 n 有, Dn(eλxf) = eλx(D + λ)nf.
由此不難推出 (2) 對一切多項式 P (D) 成立, 證畢。
它的第一個非平凡應用應該是推導下述結果:
定理 5. 設 λ ∈ C, 則廣義特徵方程
(D − λ)mu= 0 (3)
的通解為
u= eλx(c0+ c1x+ · · · + cm−1xm−1), (4) 其中 c0, c1, . . . , cm−1 為任意常數。
證明: 根據指數平移公式 (2), 在變數替換 u = eλxv 之下, 方程 (3)等價於
Dmv = 0. (5)
m = 1 時, (3) 變成 Dv = 0, 其通解為常值函數 v = c。 當 m > 1 時, 對 v 用帶餘項的 m− 1 階 Taylor 公式, 容易推出, 方程 (5) 的通解為
v = c0+ c1x+ · · · + cm−1xm−1,
其中 c0, c1, . . . , cm−1 為任意常數。 於是, 廣義特徵方程 (3) 的通解 u = eλxv 具有 (4) 的形
式, 證畢。
第二: 可以將多項式的求一術及其矩陣變換基礎寫得更清楚, 如下。
引理 1. 設 P (x), Q(x) 是非零多項式, 令 A=
"
P(x) 1 Q(x) 0
# .
(i) 若存在以多項式為元素的二階矩陣 B 使得 BA =
"
c R(x)
∗ ∗
# ,
其中 c 為非零常數, 則 U(x) = R(x)
c 滿足同餘方程 P (x)U(x) ≡ 1 (mod Q(x))。
(ii) 若存在以多項式為元素的二階矩陣 C 使得
CA=
"
∗ ∗ c R(x)
# ,
其中 c 為非零常數, 則 U(x) = R(x)
c 滿足同餘方程 P (x)U(x) ≡ 1 (mod Q(x))。
證明: 只證明 (i), (ii) 類似可證。 設
B =
"
S(x) T (x)
∗ ∗
# , 則計算可得
BA =
"
S(x) T (x)
∗ ∗
# "
P(x) 1 Q(x) 0
#
=
"
P(x)S(x) + T (x)Q(x) S(x)
∗ ∗
# . 於是, 根據假設, 我們有
"
P(x)S(x) + T (x)Q(x) S(x)
∗ ∗
#
=
"
c R(x)
∗ ∗
# , 從而有
P(x)S(x) + T (x)Q(x) = c, S(x) = R(x).
將後一個式子代入前面的式子, 就有
P(x)R(x) + T (x)Q(x) = c.
因為c為非零常數, 等式兩邊除以c, 就得到 P(x)R(x)
c +T(x)
c Q(x) = 1.
這意味著 U(x) = R(x)
c 滿足同餘方程 P (x)U(x) ≡ 1 (mod Q(x)). (i) 證畢。 基於上述引理, 我們可以寫出求解同餘方程
P(x)U(x) ≡ 1 (mod Q(x)) (6) 的秦九韶求一術如下(注意, 對矩陣 A 左乘一矩陣相當於對 A 做列變換, 初等矩陣對應著初等 變換):
定理 6 (秦九韶求一術). 給定同餘方程 (6), 其中 P (x), Q(x) 是域 F 上的多項式, 且 Q(x) 不是常數, U(x) 是未知多項式。 則可按以下步驟求出方程 (6) 的一個特解。 首先寫出
A=
"
P(x) 1 Q(x) 0
# .
然後對第一行的兩個多項式用帶餘除法 (用次數高的多項式除以次數低的多項式), 設得到的商 為 q(x), 則次數高的那一列減去次數低的那一列對應元素的 q(x) 倍; 於是新得到的矩陣的第 一行兩個元素替換為第一次帶餘除法的除式與餘式, 重複之前的操作 (第一行兩個元素輾轉相 除決定出各個列變換), 直到第一列某個數變成常數c (演算法結束), 此時有下述結論:
(i) 方程 (6) 有解當且僅當 c6= 0;
(ii) 當 c6= 0 時, 用 c 右邊的多項式除以 c, 就給出方程 (6) 的一個解 U(x)。
該演算法可以通過推廣 [8] 的證明得到, 並且從中可以看出 : c 6= 0 當且僅當 P (x) 與 Q(x) 互素, 此乃同餘方程 (6) 有解之充要條件。 若 c= 0, 則與c 同列的那個多項式是 P (x) 和 Q(x) 的最大公因式。
第三: 對 [8] 中所討論的常係數微分方程與差分方程, 可以列一個對照表(它可以視為蔡聰明老 師 [4] 中對照表的延續):
離散 連續
數列 u(n) 函數 u(x)
差分運算元 ∆ : u(n) 7→ u(n + 1) − u(n) 微分運算元 D : u(x) 7→ u′(x)
∆m+1u= 0 ⇐⇒ u 是 m 階以下等差數列 Dm+1u= 0 ⇐⇒ u 是 m 次以下多項式函數 朱世傑招差公式(參見 [7, p. 67] 定理 3) Taylor 展開公式 (參見本文定理 5)
差分方程 P (E)u = f 微分方程 P (D)u = f
其中 P (1) 6= 0 且 ∆m+1f = 0 其中 P (0) 6= 0 且 Dm+1f = 0 歸結為 P(E)U (E) ≡ 1 (mod (E − 1)m+1) 歸結為P(D)U (D) ≡ 1 (mod Dm+1)
並令 u = U(E)f 並令 u = U(D)f
P(E)v(n) = λnf(n), 其中 ∆m+1f = 0 P(D)v(x) = eλxf(x), 其中 Dm+1f = 0 令 v(n) = λnu(n), 則根據 令 v(x) = eλxu(x), 則根據
平移引理 P (E)λn= λnP(λE), 有 平移引理 P (D)eλx= eλxP(D + λ), 有 P(λE)u = f P(D + λ)u = f
注: E = ∆ + 1 是右平移運算元 (也可稱為遞推算子) 在 [7, 8] 中用記號 T 表示, 但文獻中 E 更通用。
在歷史上, 微分方程與差分方程的理論一直平行發展, 例如 Heaviside 運算元法的先驅 George Boole (1815∼1864) 在 1859∼1860 年出版了 《微分方程通論》[2] 和 《差分方程通 論》[3], 都曾作為劍橋大學的教材。 更讓人驚訝的是, Boole 在 [3, p.108] 中寫道:
只是在寫作本書時我才獲悉 Lobatto 先生的傑作 《特徵理論》 (Th´eorie des Caract´eristiques), 它於 1837 年在阿姆斯特丹出版。 該書包含了本節的內容, 以 及微分方程中的類似定理, 一言以概之, 它囊括了其後一兩年在英格蘭重現發現的 關於常係數線性微分方程的全部理論, 該理論發表在 《劍橋數學雜誌》 (Cambridge Mathematical Journal) 的前兩卷。 每一個英國數學家將欣喜地看到我對 Lobatto 先生的公正。
這裡 Boole 提到的 Lobatto 先生是荷蘭數學家 Rehuel Lobatto (1797∼1866)。 蒙好 友吳帆老師告知 : 其著作 《特徵理論》 的完整名稱, 翻譯過來是 《論數學分析中所用的特徵理 論》, 其主題“特徵”即微分運算元與差分運算元。 作者在書中提出, 可以將“特徵”與函數剝離開 來獨立考慮, 可考慮“特徵”本身的多項式函數、 甚至更一般的解析函數。
第四: 我們在 [8] 中對 Heaviside 工作的重新詮釋是站在秦九韶的角度考慮的。 可以設想, Heaviside 本人未必認同我們用矩陣變換(定理 6) 取而代之的做法。 而且, 從一個教師的立場 出發, 這個解法對沒有學過矩陣的學生來說是很難理解的。 那麼, 有沒有一個更貼近 Heaviside 原始想法的處理呢? 實際上, 是有的。 我們可以給出所需的多項式同餘方程 (見下面的 (7) 式, 它是 (6) 的特殊情況) 的一個特解公式, 如下:
定理 7. 設 P (x) 是一個多項式, 常數項 P (0) = 1, 則同餘方程
P(x)U(x) ≡ 1 (mod xm+1) (7) 有特解
U(x) = 1 + R(x) + R(x)2+ R(x)3+ · · · + R(x)m, (8) 其中
R(x) = 1 − P (x). (9)
證明: 從 (9) 式得到 P (x) = 1 − R(x), 從而就有
P(x)U(x) = [(1−R(x)][1+R(x)+R(x)2+R(x)3+· · ·+R(x)m] = 1−R(x)m+1. (10)
由於 R(x) = 1 − P (x) = P (0) − P (x), 因此 R(x) 中每一個單項的次數都大於或等於 1, 從而 R(x)m+1 中的每個單項的次數都大於或等於 m + 1, 這就表明 xm+1 整除 R(x)m+1 中 的每個單項, 從而 xm+1 | R(x)m+1, 而 −R(x)m+1 = P (x)U(x) − 1, 這就意味著 xm+1 |
P(x)U(x) − 1, 即有 (7) 式成立。 證畢。
於是, 用定理 7 替代定理 6, 就可以解釋 Heaviside 演算法的有效性。 這個觀點還有一個 好處, 即它很容易推廣到求常係數偏微分方程的特解, 我們將在別處介紹。
第五: 我要跟薛教授分享的是, 我與中央民族大學王兢博士在合作論文 [10] 中, 對 Heaviside 運算元法, 曾給出一個基於形式冪級數等式
(1 − x)(1 + x + x2 + x3+ · · · ) = 1 (11) 的理解, 並與 p-進數做了類比 (據說, Kurt Hensel 最初正是通過與無窮級數類比而發現了 p-進數)。 而我在前面所分享的第四點則指出, 無窮級數完全可以避免 : 我們可以用 (11) 的有 窮版本
(1 − x)(1 + x + x2+ x3+ · · · + xm) = 1 − xm+1 (12) 來理解 Heaviside 運算元法 (這個觀察由丁玖教授向作者指出, 從而大大化簡了定理7的證明)。
從某種意義上說, 這個理解是秦九韶矩陣方案跟 Heaviside 無窮級數方案的折中。 慚愧的是, Heaviside 的原始工作我們尚未觸及, 是研究的不足。
薛教授, 感謝您對拙文關注, 啟迪我進一步思考, 從中享受許多樂趣。 敬請先生多多指教。
順便說一句, 我後來注意到您與我極欽佩的數學家徐利治先生 (1920∼2019) 有過密切合 作, 開亮有緣得您指點一二實屬三生有幸。 疫情之下, 請您多多保重。
致謝
感謝美國南密西西比大學 丁玖 教授、 中央民族大學王兢博士、 學友吳帆老師與本文審稿 老師對初稿提出寶貴意見。 遵循審稿老師的意見, 作者對初稿做了刪減。
參考文獻
1. Michael Artin, Algebra, Pearson Education, Inc., 1991.
2. George Boole, A Treatise on Differential Equations, Cambridge, Macmillan, 1859.
3. George Boole, A Treatise on the Calculus of Finite Differences, Cambridge: Macmillan, 1860.
4. 蔡聰明。 微積分與差和分大意 — 連續與離散之間的類推。 數學傳播季刊, 2(2), 34-39, 1977。
5. C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, translated by Arthur A. Clarke, Springer, 1986.
6. Nathan Jacobson, Lectures in Abstract Algebra: II. Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics 31, Springer-Verlag, New York, 1953.
7. 林開亮, 微積分之前奏 (或變奏): 高階等差數列的求和, 數學傳播季刊, 41(1), 61-79, 2017。
8. 林開亮, 解常係數線性微分方程和遞推關係的新方法 — 秦九韶和亥維賽的遺產。 數學傳播季刊, 43 (2), 63-79, 2019。
9. 林開亮, 薛昭雄。 薛昭雄來函暨林開亮回覆。 數學傳播季刊, 43(4), 91-98, 2019。
10. 林開亮, 王兢。 論 Heaviside 算子法的合理性。 好玩的數學, 2020-02-20。
11. R. S. Millman, Peter J. Shiue and E. B. Kahn, Problems and Proofs in Numbers and Algebra, Springer International Publishing, Switzerland, 2015.
12. J. H. Silverman, A Friendly Introduction to Number Theory(4th Edition), Pearson Education, Inc. 2012. 孫智偉等 (譯)。《數論概論》。 北京 : 機械工業出版社, 2016。
13. J. R. Silvester, A Matrix Method for Solving Linear Congruences, Math. Mag. 53(2), 90-92, 1980.
—本文作者任教中國西北農林科技大學理學院—
