純屬巧合

純屬巧合

黃文璋

1. 人生何處不相逢

西元 1995 年 8 月我與內人帶著女兒至 北京開會, 開完會搭飛機至西安遊覽。 在北京 機場遇到一個中原大學的教授訪問團, 也要 搭同一班飛機至西安。 其中有一位還是數學 系的教授。 那時覺得真巧, 因在台灣還不容易 碰到他。 抵西安後, 去參觀兵馬俑。 排隊買票 時, 遇到一位我們系上的教授, 我事先並不知 道他也到西安來。 在西安除了參觀古蹟, 有一 晚我們去欣賞仿唐樂府的表演。 那是一場頗 具水準的演出。 中場休息回頭一看, 見到中央 研究院統計科學研究所的一位研究員及其夫 人, 再度事先我並不知他們也來到西安。 真是 人生何處不相逢!

浙江餘姚人的余秋雨, 在“鄉關何處”

一文中, 也提到底下的經歷 (見余秋雨 (1995))。 他十歲離開家鄉, 到上海求學, 自 此很長一段時間未回故鄉。 重新揀回故鄉是 在上大學之後。 先是發現王陽明亦為餘姚人, 接著黃宗羲、 朱舜水等中國文化史上兩位讓 他景仰的大師亦為同鄉。 進上海戲劇學院讀 書後, 發現全院學術威望最高的兩位教授都 是餘姚人。 近幾年怪事更多了。 有一次他參 加上海市的一個教授評審組, 其中有好幾個

來自各大學的評審委員都是餘姚人。 他又舉 了好些例子, 以佐證故鄉在追蹤和包圍他, 使 他到處遇到餘姚人。

生活中常充滿著各式各樣令我們感到很 驚訝的巧合。 某回你至美國洛杉磯 (Los An- geles) 的迪斯奈樂園 (Disneyland) 旅遊, 突 然遇到一多年未見的朋友。 你可能覺得很神 奇, 居然在同一段時間你們都來到美國, 而美 國這麼大, 在同一天你們卻來到同一地方。

Diaconis and Mosteller (1989) 一 文, 及 Weaver (1982) 一書的 Chap- ter XIII, 列出不少令人吃驚的巧合事件。

Weaver(1982) 還引了 Lewis Carroll 所著 愛麗思夢遊仙境 (Alice in Wonderland) 中 的一段話:

“There is no use trying,” Al- ice laughed, “One can’t be- lieve impossible things.”

“I daresay you haven’t had much practice,” said the (White) Queen. “When I was your age I always did it for half an hour a day. Why, some- times I’ve believed as many

6

as six impossible things before breakfast.”

在早餐前就有 6 件不可能的事! 這是怎 麼回事? 事實上如果我們留意的話, 經常就 是會遇到我們以為絕不可能發生的事。 但為 什麼這麼許多巧合, 這麼許多不可能發生的 事, 一再地發生呢?

Fraser (1999) 一文舉出許多她認為巧 不可言的例子。 然後說, 這些事例說明為什麼 正統科學家都只把巧合當成偶然現象: 因為 這樣的巧合違背了已知的因果律, 也違背了 時空關係律。 然而, 也正是如此匪夷所思才引 人遐想。 精神病學家卡爾·榮格 (Carl Jung) 指出, 認為巧合毫無意義是既忽視了巧合冥 冥中自有道理, 也忽視了其中的人為因素。

Fraser又寫著, 大多數現代的研究者只收集 整理巧合事件, 把理解巧合發生過程的工作 留給物理學家, 把解釋巧合意義的任務交給 心理學家。

Fraser 顯然忘了除了精神病學家、 物理 學家及心理學家, 正統科學家中, 尚有機率學 家的存在。 那麼機率學家是如何看待巧合事 件呢?

註1. Fraser (1999) 文中之 Carl Jung, 即為 Diaconis and Mosteller (1989) 一文所屢提及的 C.G. Jung。

今生緣

我們先看底下著名的生日問題 (birth- day problem, 或稱重覆生日問題, problem of repeated birthdays)。 一個房間中要有多 少人, 才會使其中有兩人生日相同的機會超 過沒有人生日相同的機會? 所謂生日相同是 指出生的月份及日期皆相同。 為了簡化問題, 我們不妨忽略二月份有時會有 29 天, 因此共 有 365 個不同的生日。 又我們也假設每日出 生的機會皆相同, 即 1/365 。 雖然有研究指 出, 假日之出生率較低 (見 Cohen(1983) 及 其中所列文獻), 但忽略這些因素對整個問題 並無太大影響。

曾有人對一群大學生提出上述問題, 結 果學生所猜答案的中間值 (median) 為 385。

大部分人的答案明顯地太高且不合理, 此因 只要一房間中有 366 人 (或 367 人, 若考慮 2 月 29 日), 則必至少有 2 人生日相同。 事實上 正確的答案是只要 23 個人便夠了。 推導並不 困難。 首先一房間中之 n 個人生日皆相異的 機率為

pn= 365 365

364

365· · ·365− n + 1 365

= 365· 364 · · · (365 − n + 1) 365ⁿ

=

n−1

Y

i=1

(1− i

365), (1) 當然 n 要不超過 365, 若 n > 365, 顯然 pn = 0。 因此 n 人中, 至少有 2 人生日相同 的機率為 1 − pn。 又可看出 n≤ 365 時, pn

隨著 n 之增大而減小。 對一些不同的 n, 我 們列出 1− pn 之近似值如下:

表1. n 人中至少有二人生日相同的機率

n 4 16 20 22 23 32 40 48 56 64 1− pⁿ .016 .284 .411 .476 .507 .753 .891 .961 .988 .997 由表 1知, 一房間中只要有少少的 23人,

則會有 2 人生日相同的機率便超過 1/2, 也就 是此時有人生日相同較沒有人生日相同更易 發生。 若有 40人, 則會有2人生日相同的機率 約為 0.891。 若有 64 人, 則會有 2 人生日相同 的機率約為 0.997, 已相當接近 1了。

在一場足球賽中, 兩方各有 11 名球員, 再加上 1 名裁判 (那麼大的足球場中只有 1 名 疲於奔命的裁判), 場中共有 23 人, 因此不難 在其中找到2人生日相同。 不少團體人數都在 23人以上, 如國中一班有40人左右, 要找到2 人生日相同的機率約為0.891。 也就是約有九 成的國中班級, 可在班上找到 2 人生日相同。

在一團體中,2 人若生日相同, 可能彼此覺得 真有緣份, 備感親切。 我們現在知道這其實是 一很容易發生的事件。

在紅樓夢第 62 回, 於發現寶玉、 平兒、

寶琴及岫煙 4 人生日相同後, 探春笑道“倒有 些意思, 一年十二個月, 月月有幾個生日, 人 多了, 就這樣巧。 也有三個一日的兩個一日 的。 大年初一也不白過, 大姐姐占了去, 怨不 得他福大, 生日比別人都占先, 又是太祖太 爺的生日冥壽。 過了燈節, 就是大太太和寶 姐姐, 他們娘兒兩個遇的巧。 三月初一是太太 的, 初九是璉二哥哥, 二月沒人。” 襲人道“二 月十二是林姑娘, 怎麼沒人? 只不是偺們家 的。” 探春笑道“你看我這個記性兒!” 寶玉笑 指襲人道“他和林妹妹是一日, 他所以記得。”

生日問題為下述問題之一特例。

例1. 將 n 個球隨機地丟進 M 個盒子, n ≤ M, 則沒有一盒子中有兩個以上的球之 機率為

P (A) = (M)n

Mⁿ =

n−1

Y

i=1

(1− i

M), (2) 其中

(M)n = M(M−1) · · · (M −n + 1)。 (3) 至於 n > M 會如何? 由鴿籠原理 (The Pigeon-Hole Principle) 知, 此時至少有一 盒子中有兩個以上的球之機率為 1。 現設 n 個球, 隨機地放進 n 個盒子, 則每一盒子 中恰有一球之機率, 由 (2) 式知為 n!/nⁿ。 當 n = 7, 此值約為 0.00612, 比我們想像 的小很多。 換句話說, 至少有兩球在同一盒 中之機率很大, 約為 0.99388。 假設你住在一 棟 8層樓的大廈, 若有7人自一樓同時進電梯, 則要每一層恰有一人出電梯的機會其實很小, 1,000 次中才約 6 次。 也就是至少有一層有兩 人以上一起出去的機會相當大。 大家可能也 曾注意到, 要嘛就一天好幾通電話找你, 要嘛 就一整天一通也無, 較少是均勻的, 每天一樣 多通。 這其實也是差不多的道理。

類似的問題很多。 假設高雄市某國中的 某一班有5人畢業後進入高雄女中就讀。 又設 高雄女中一年級有 24 班, 且新生是隨機地分 班。 則此 5人中至少有 2人高一同班的機率為 1− (24)5/24⁵, 約等於0.359。 超過三分之一 的機會, 並不算低。 所以若國中時同班, 高一 又同班, 對她們而言, 很可能覺得今生真是有 緣。 你現在知道了, 發生的機會並不低。

例2. 一團體中若人數增多, 則要有更 多人生日相同的機會也會增大。 那至少要有 多少人, 才會使至少有 k 個人生日相同的機 率大於 1/2? 此問題等價於將 n 個球隨機

地丟進 365 個盒子, 求 n 要多大, 才會保證 至少有一盒子中有 k 個以上的球之機率大於 1/2。 Levin(1981) 解出此問題, 他並給出表 2(見 Diaconis and Mosteller(1989))。

表2. 至少有 k 個人生日相同之機率大於 1/2所需之人數 n k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n 23 88 187 313 460 623 798 985 1,181 1,385 1,596 1,813 所以若一個年級有 1,000 個學生, 則不

難 (機率大於 1/2) 在其中找到 9 個人生日相 同。 不過各位應也看出, n 並非隨著 k 而線 性增大, 而是成長快速: k = 2 時, n僅為 23;

k = 3 時, n 便跳至 88; k = 10 時, n更跳 至 1,181了。

例3. Abramson and Moser(1970) 推 廣生日問題, 並得到要使有2人之生日差距不 超過 m 天之機率大於 1/2, 所需之最少人數 s(m)(m = 0 即對應生日相同) 的求法。 他 並給出表 3。

表 3 指出, 只要有 14 人, 則其中有 2 人 生日差距不超過1天之機會便超過一半。 而只 要有 7 人, 便有一半以上的機會, 其中有 2 人 之生日差距不超過一週。 雖然不是完美的吻 合, 但只要少少的 7 個人, 也常可造成不小的 驚訝。

表3. 有 2 人生日差距不超過 m 天之 機率大於1/2所需之最少人數 s(m) m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 s(m) 23 14 11 9 8 8 7 7 6 6

對於要使有 2 人生日相同之機率大於

1/2 所需之最少的人數 23 人, Stewart (1998) 給出其中有兩對生日相同的機率約為 0.111, 所以差不多 9 場足球比賽就會發生一 次。 而有三對生日相同之機率約為 0.018, 差 不多每 55 場比賽有一次。 至於有 3 人生日相 同之機率約為 0.007, 小很多, 此可與表 2 對 照。

看了以上的例子, 各位應已了解原來生 活中所充滿的巧合, 其發生的機會, 往往並非 我們所以為的那麼低。 處處留意皆文章, 看來 在早餐前, 就遇到 6 件“不可能” 的事, 似乎 是不難的。

另一方面, 我們之所以對所遇的某些事 件, 感到不可思議, 乃是因其發生違反我們 的“常識”。 若原先的常識被修正了, 則對有些 並非巧合的事件, 便不至於再驚訝了。

3. 他生緣

期待他日再相逢, 共度白首。 這是在鳳 飛飛 (一位民國六十年代的著名歌手) “流水 年華”中, 令人聞後惆悵不已的一句歌詞。 再 相逢是否容易呢?

我們先考慮一個與上節所討論的生日問 題略微不同的問題。 在一房間中, 除你以外,

要有多少人, 方能使其中會有人生日與你相 同的機會超過沒有人生日與你相同的機會?

要不要猜猜看? 364/2+1=183 似乎是一合 理的猜測。 此因一年中與你生日相異的日數 (仍將一年當作有 365 天) 有 364 天, 因此若 有超過此日數之半的人在房間中, 似乎便較 可能有人生日與你相同。 正確的答案卻是253 人。

作法仍類如解生日問題。 先求出生日皆 與你生日相異的機率, 再用 1減去此機率。 設 房間中除你之外有 n 個人, 因每個人生日與 你生日相異的機率為 364/365, 故至少有一 人生日與你生日相同的機率為

qn = 1− (364

365)ⁿ。 (4) 若要使 q_n > 1/2, 經由取對數, 可解出最小 的 n 為 253。 比我們直觀上認為的值大很多。

靈巧的讀者可能已看出 253 剛好等於生 日問題中的 23人所產生的對數, 即 23人中有



2



對此結果你有什麼體會呢? 要在一班上 找到有兩人生日相同很容易, 但要找到有人 與“你”生日相同, 則相當不容易。 再以丟球為 例。 你依序將球隨機地丟進 M 個盒子。 本來 你很高興才丟了幾個, 便有兩球落在同一盒 中。 但若要你再讓一球進入已有兩球的那個 盒子, 你可能便很納悶為何丟了許多卻再也 丟不進了。

一足球場上的 23 人, 其中共有 253 對生 日, 若有一對相同我們便很驚訝, 至於其餘 252 對生日若都不同, 我們可能並不留意。 因 為不相同, 所以未能引起我們的注意。 我們一

向只在意一致或吻合的事, 以前言中之巧遇 為例, 算一算我們其實認識不少人, 若再加上 與我們有關係的 (如校友、 同鄉、 弟弟的朋友 等), 那更是不得了。 而旅遊時, 一般人所去 的通常是幾個點, 如機場、 名勝古蹟、 大飯店 等, 要遇到熟人, 仔細想一想, 可能已不是那 麼不容易了。 而巧遇事件總是令我們多年後 都難忘。 甚至我們連對朋友碰過的巧遇都印 象深刻。 至於你自己某次旅歐 21 天中, 一個 熟人都沒遇到的事當然早就拋到九霄雲外了。

沒遇到熟人的事怎會值得記住? 所以長期下 來, 留在我們腦海中的, 盡是一些巧遇事件。

有一次我對女兒說“妳怎麼每次上車後 不是喊很冷就是喊很熱。” 她答“如果不冷也 不熱我就不說了。”的確也是, 我只記得她“有 喊”的時候, 由此便產生她“每次”都如何如何 的印象。 這似乎常是我們印象產生的模式。

我們常說“眾裏尋他千百度, 暮然回首, 那人卻在, 燈火闌珊處” (這是辛棄疾“青玉 案”詞中的一句, 被王國維拿來做為古今之成 大事業、 大學問者, 必經過三種境界的第三 境) 也是類似的情景。 我們回首千百次, 什麼 都沒看到時, 當然不會有特殊的感覺, 但若見 到“那人”, 可能便感動莫名。

白居易 (772-846) 及元稹 (779-831), 此二位感情很好, 且共創元和體, 提倡通俗 化詩歌的名詩人, 各有一句詩可拿來做為我 們所討論的巧合問題之註腳 (見邱燮友註譯 (1996) 新譯唐詩三百首第 208 及 207 首, 兩 首詩接連在一起只是巧合。 又元和體並非元 白體之誤。 此名之由來, 乃因其風行於唐德宗 貞元至唐文宗太和的三十年間。 元與元稹的

姓相同也只是巧合): 一夜鄉心五處同; 他生 緣會更難期。 對於與你鄉心同的今生緣, 若想 有他生緣, 一千多年前的詩人早就告訴我們:

太難了。

4. 近似公式

在前兩節中, 我們以生日為例, 來說明有 些事件之發生為真正巧合, 而有些我們視為 巧合的事件, 卻其實毫不足為其奇。 之所以用 並不聳動的生日當例子, 乃是因其中涉及的 機率較易計算。 讀者不難將其想法應用到其 他情況。

底下對一些巧合事件, 我們給出近似公 式, 以增進實用性。

問題1. 標準生日問題。

首先在例 1 中, 當 M 大些, 而 n 與 M^2/3比算是小的, 則沒有一盒中有兩個以上 的球之機率有下述近似關係:

n−1

Y

i=1

(1− i

M)= e. ^−n2/2M。 (5) 此處用到因 log(1 − i/M)=. −i/M, 故

n−1

X

i=1

log(1− i/M) .

=−

n−1

X

i=1

i M

=−n(n− 1) 2M

=. − n²

2M。 (6) 要令至少有一盒中有兩個以上的球之機 率為 p 所需之 n, 可由下式解出其近似值:

1− p = e^−n2/2M。 (7) 當 p = 1/2 時, 解出

n= 1.2. √

M 。 (8)

事實上, 若要精確些, 應是 n .

= 1.1774√ M , 不過因在(6) 式中, 我們以 n²取代 n(n−1), 所以這裡取大一點的 n。 我們不過是要藉一 簡潔的公式, 使得對不同的 M, 能了解 n 約 要多大才行。 當 p = 0.95 時, 由 (7) 式解出

n .

= 2.5√

M , (9) 再度應是 n .

= 2.4477√

M 。 當 M = 365, 且 p = 1/2 時, 由 (8) 得 n .

= 22.9, 故 取 n = 23; 當 p = 0.95 時, 由 (9) 得 n .

= 47.76, 故取 n = 48。

問題2. 多類巧合問題。

生日問題有下述推廣。 假設有一群人相 遇在一起, 互相談論及介紹自己。 這時不同的 巧合便可能出現了, 包含生日相同、 高中校 友、 同鄉、 同一年出生、 太太同姓、 父親在同 一機構上班等。 問至少會有某一項巧合之機 率為何?

為了簡化問題, 假設這些不同的類之發 生與否為獨立事件, 且設有 k 類, 每類分別 有 M₁, M₂,· · · , Mk 項, 又設每類中的每項 之發生可能性皆相同。 例如第一類中, 每項之 發生可能性皆為 1/M1, 餘類推。 現設有 n 個 人, 則仿 (5) 式, 沒有一類中, 有兩項以上發 生的機率為:

k

Y

j=1 n−1

Y

i=1

(1− i Mj

) .

= e⁻

^P

k

j=1n²/2Mj。 (10) 故要使至少有一類中有兩項以上發生的機率 至少為 p, n 須滿足 (近似值)

n ≥ (−2 log(1 − p)/

k

X

j=1

M_j⁻¹)^1/2。 (11)

如前, 常以1.2取代 (−2 log(1/2))^1/2。 例如, p = 1/2, 且 M1 = M2 =· · · = M^k = M, 則 n ≥ 1.2(M/k)^1/2 (若 p = 0.95, 則以 2.5 取代 1.2)。 又如設 k = 4, 且 p = 1/2, 且取 M₁ = 365 (表生日), M₂ = 30 (表 高中數), M₃ = 20 (表出生年, 一群朋友年 紀差距通常不超過 20 歲), M4 = 35 (表 35 省)。 則由 (11),

n≥ 1.2( 1 365+ 1

30+ 1 20+ 1

35)^−1/2 .

= 3.54, 故只要 4人便足夠。 換句話說, 只要有 4個人, 則其中有人生日相同、 或是高中校友、 或同年 出生、 或同鄉, 其機會為一半以上。 要攀拉關 係真是太容易了。

問題3. 多重巧合問題。

對於表 2 至少 k 個人生日相同之機 率大於 1/2 所需人數 n, Diaconis and Mosteller(1989) 以一 k 之函數來求 n 之 近似值。 當 k 不太大時 (譬如說小於 20), 還 算接近。 即

n = f (k) = 47(k. − 1.5)^3/2。 (12) 例如, k = 5 時, 得 f (5) = 307.7, 實 際之 n 值 (見表 2) 為 313; k = 10 時, f (10)=1,164.7, 實際之 n 值為 1,181。 雖有 些誤差, 但至少對不同的 k, 可快速地掌握 n 約需要有多大。

Diaconis and Mosteller(1989) 還對 M (1 類中之項數, 如例 1 中之 M) 較大時 (但 k 並未隨著變大), 給出其中至少有 k 個 為同一項之機率為 p, 所需之 n (球數或人數 等) 之近似值, 可由解下述方程式得到:

ne^{−n/(M k)}(1− n/(M(k + 1)))^−k−1

= (−M^k−1k! log(1− p))^k−1。 (13)

例如, 某人常對他的妻子及女兒, 與他生日的 日期相同 (譬如說都是 5 號) 感到很奇妙。 事 實上將 M = 30 (每月的日數), k = 3 及 p = 1/2 代入 (13) 式, 解出 n = 18 (讀者. 不妨將 n = 18, M = 30, k = 3, p = 1/2 代入 (13) 式, 左側得約 15.5575, 右側得約 15.5264)。 換句話說, 在每 18 個人中, 有 3 個 人生日的日期相同, 其機率便超過二分之一。

問題4. 生日接近問題。

對於例 3中, 要使有2人之生日差距不超 過 m 天之機率大於 1/2, 所需之人數 n, Di- aconis and Mosteller (1989) 亦給出 n 之 近似值。 設項數為 M, p = 1/2, 則

n = s(m) = 1.2(M/(2m + 1)). ^1/2。 (14) 例如 M = 365, m = 1, 代入 (14) 式, 得 n = 13.2; 若 m = 9, 得 n. = 5.2。 由 表 3,. 實際之 n 值分別為 14及 6, 相當精確。

5. 其他巧合事件

1. 新字現象

相信不少人都有下述經驗, 當你第一次 聽到或讀到某一新的字 (或新的詞), 過不久 便又再度聽到或讀到該新字, 甚至那一段時 間該新字常在各種地方出現。 類似的例子很 多。 例如, 你有位朋友買了一輛新車, 性能不 錯, 讓你也有些心動。 之後, 你便常在路上看 到該款車, 你很奇怪為什麼過去卻都未曾注 意到。 我們以新字為例, 來解釋這種巧合。

首先可能是因你的閱讀習慣改變了, 你 常讀此字較易出現的報章雜誌, 當然便較易

讀到該新字。 其次可能是因此字令你印象深 刻, 在閱讀時你不禁特別留意該字, 聽到該字 時, 也不由豎起耳朵。 通常我們在閱讀時, 眼 睛是以掃描的方式, 大部分的詞句是一掃即 過, 因此讀完一段文章, 只粗略知道該段的 意思。 但現在可能一遇到該字, 便停頓一下, 自然讓我們覺得該字變成常出現了。 另一個 原因, 可稱之為環境的改變。 例如, “戒急用 忍”四字, 以前並不常出現, 僅見之於二月河 (1994)p.53: 雍正皇帝被他那幾位弟弟氣得 手腳冰涼, 正要發作, 猛抬頭看見康熙皇帝賜 給自己的條幅, 一筆楷書端正寫著四個字“戒 急用忍”, 氣遂消了。 不過自李登輝總統提出 來後, 許多人便常引用, 於是此四字就到處出 現了, 成為一流行用語。

這種新字現象, 其實並非屬於巧合的一 種。 但通常我們習而不察, 也誤以為是巧合, 而每每拿來印證巧合的確處處在。

2. 隨機取樣

某校的一年級有五百位學生, 每逢要出 公差, 該校便隨機抽取 (將學生編號 1 至 500)。 一學期下來, 共抽了 50 位, 其中有 4 位被抽中兩次, 但並沒有被抽中超過兩次者。

該校有位數學老師懷疑這真的是隨機抽取的 嗎?

事實上, 隨著母體數 M 的增大, 自該母 體中, 隨機地抽取 (每次取後放回) 10% 的 樣本, 愈來愈不容易所抽中的皆相異。

由 於 一 般 的 桌 上 型 計 算 機 無 法 計 算 (500)50, 我們考慮較小的母體數 M, 且自 其中取 10% 的樣本。 例如, 設 M = 20,

則樣本數為 2。 易見從 20 個相異事物中抽取 兩個 (每次抽取後放回), 皆相異之機率為 (20)2/20² = 0.95。 故會有重覆之機率為 1− 0.95 = 0.05。 一般而言, 若樣本數為 n, 母體數為 10n, 且每次取出後放回, 則樣本中 會有重複之機率 r_n 為

rn= 1−(10n)n

(10n)ⁿ= 1−

n−1

Y

i=1

(1− i

10n)。 (15) 對一些不同的 n, 我們列出此機率值如表 4(取自 Nixon (1998/9))。

由表 4 看出 n 愈大, 取樣重覆之機率 愈大。 由 Apostol (1974) Theorem 8.55 (設an ≥ 0, 則 n → ∞ 時,

^Q

^P

^P

n→∞lim

n−1

Y

i=1

(1− i

10n) = 0, 即 n→ ∞ 時,rn→ 1 。

表4. 自數量為 10n 之母體中隨機取 n 個樣 本(每次取出後放回), 會有重覆之機率

母體數 樣本數 取樣重覆之機率 30 3 0.098 40 4 0.143 50 5 0.186 60 6 0.227 70 7 0.226 100 10 0.372 200 20 0.626 300 30 0.777 380 38 0.853

隨著母體數之增加, 自其中取 10% 的樣 本, 愈來愈容易重覆 (重覆之機率趨近至 1)。

所以日後對禍不單行 (或福不單行), 不用再 太怨嘆 (或太感激上帝) 了, 原來是這麼容易 發生。

上述重覆取樣的容易讓我們驚訝, 可能 是與下述事件混淆。

分別丟一公正銅板二次, 十次及一百次, 何者較易得到正反面數相同? 不少人以為丟 的次數愈多愈容易。 事實上, 恰好相反, 愈不 容易。

設丟一公正銅板 2n 次, 則會得到 n 個 正面及 n 個反面之機率為

sn = 2n n

!

(1

2)²ⁿ。 (16) 當 n = 1 時, s₁ = 1/2。 當 n = 5 時, s₅=252/1,024, 約為 1/4 < 1/2。 利 用 Stirling(1696-1770, 蘇格蘭著名的數學 家) 公式 (Stirling formula):

n!∼√

2πn^n+1/2e⁻ⁿ, (17) 其中符號“∼”表“n → ∞”時, 兩側之商趨 近至 1, 即所謂近似相等 (asymptotically equal), 可得

2n n

!

(1

2)²ⁿ= (2n)!

(n!)²2²ⁿ

∼

√2π(2n)^2n+1/2e⁻²ⁿ (√

2πn^n+1/2e⁻ⁿ)²2²ⁿ

= 1

√πn。 (18) 由 (18) 知投擲一公正銅板100次, 恰出現50 個正面之機率, 約為 (50π)^−1/2 .

= 0.0798, 遠小於 1/4。

有些初學者以為丟銅板的次數 (假設為 偶數) 愈多, 愈容易出現各一半正面及反面。

現在你知道其實愈不容易。 這也牽涉到大數 法則 (Law of Large Numbers) 及中央極 限定理 (Central Limit Theorem) 的區別。

有些事件是很容易發生的 (如 n 很大時, r_n 很接近 1), 有些事件是很難發生的 (如 n 很 大時, sn 很接近 0), 由於對機率大小未能正 確估算, 使我們常做出錯誤的判斷, 也分不清 何者才是真正的巧合。

3. 非巧合事件

有些看似巧合的事件, 背後其實有其原 因 (因此並非巧合事件)。 由於知識的不足, 使我們將很多不是巧合的事件, 皆視為巧合 事件。 我們先以首位數字現象 (first signif- icant digit phenomenon) 為例。

假若你有位朋友提議就下述事項與你打 賭。 隨意翻閱某百科全書, 任選一頁統計數 字, 若首位是 1,2,3,4的多, 則你付他一元, 若 首位是 5,6,7,8,9的多, 則他付你1元。 你一聽 當然對你有利, 因9個數字 (首位不會是0) 你 佔了 5 個。 結果翻了幾頁, 你都輸了。 運氣實 在太不好了, 你可能會這樣想。

以簡明大英百科全書為例 (台灣中華書 局印行, 1989 年版), 附錄有各種統計數字。

在面積和人口項, 按字母排列, 第一頁共 有 46 個國家或地區, 面積最小的為 5.6 平方 哩, 最大的為 3,696,100 平方哩。 其中首位為 1,2,3,4的共有35個 (佔 35/46 .

= 0.761), 首 位為 5,6,7,8,9的共有 11個。 若改為平方公里 呢, 首位為1,2,3,4的共有31個 (佔 31/46 .

= 0.674)。 而最近普查的人口, 首位為 1,2,3,4

的共有 32 個 (佔 32/46 = 0.696)。 在運. 輸項的第二頁, 有 45 個國家或地區。 在公路 長度欄, 首位為 1,2,3,4 的, 以哩計有 32 個 (佔 32/45 .

= 0.711), 以公里計有 31 個 (佔 31/45 .

= 0.689)。

這並非偶然, 並且是一很早就被注意到 的現象, 就稱為首位數字現象。 在諸如物理 上、 化學上、 經濟調查等數據, 首位數字小於 或等於 n 之出現頻率, 常約為 log₁₀(n + 1), n = 1, 2,· · · , 9。 Pinkham(1961) 也證出 此結果。 利用此結果, 首位數字為 1,2,3,4 的 約佔 log₁₀5 .

= 0.699。 檢視我們由百科全 書所查出的一些數據, 算是很精準的。 連費 氏數列 (Fibonacci sequence) 的首位亦有 此現象 (見黃文璋 (1999) 第十五章)。 由 Pinkham(1961) 的結果知, 首位為 n 之出 現頻率約為

log₁₀(n + 1)− log10(n) = log₁₀(1 + 1/n), (19) 隨著 n 之增大而遞減。 當 n = 1 時, 頻率約 為 log₁₀2 .

= 0.3010, n = 9 時, 頻率約為 0.0458, 明顯地小很多。

再看一例。 在第 2及第 3節, 兩個不同的 生日問題中, 各有一 253 =

^

^

由微積中的結果知, 當 i 與 365 相比很 小, 則下述近似公式成立:

(364

365)ⁱ = (1− 1 365)ⁱ .

= 1− i

365。 (20) 利用 (20), 對 m 個人裡, 至少有二人生日相 同的機率 1− pm (見 (1) 式), 可得下述近

似:

1− pm= 1−

m−1

Y

i=1

(1− i 365)

= 1. −

m−1

Y

i=1

(364 365)ⁱ

= 1− (364

365)1+2+···+(m−1)

= 1− (364

365)^m(m−1)/2。

另外, (4) 式給出 n 個人中, 至少有一人生日 與你相同的機率 q_n:

q_n = 1− (364 365)ⁿ。

因此, 當 m(m− 1)/2 與 n 很接近時, 二機 率 1− pm 與 q_n 近似。 反過來也是對的。

現由於 23 是滿足 1 − p^m > 1/2 之最 小的整數 m, 253 是滿足 qn > 1/2 之最小 的整數 n, 1 − p23 與 q₂₅₃ 當然很接近。 因此



2



再舉一非巧合的事件。 一些研究指出 (見 Phillips(1972)), 有些人可“延遲”其死 亡日期, 以等待某件他們認為重大的事。 如 生日, 特別是名人生日, 為一顯著的例子。

另外, 美國每逢總統大選前, 死亡率也常降 低 (企盼投票)。 John Adams (1735-1826) 及 Thomas Jefferson(1743-1826), 分別為 美國第二位 (1797-1801) 及第三位 (1801- 1809) 總統。 他們皆死於西元 1826 年 7 月 4 日, 恰是美國通過獨立宣言 (Declaration of Independence) 的五十年後。 這兩位美國開 國元勳皆在美國獨立紀念日那天去世, 可能 並非巧合。 我們引用 Jefferson 的醫生所記 載 Jefferson 最後所講的話做為佐證:

About seven o’clock of the evening of that day, he (Jef- ferson) awoke, and seeing my staying at his bedside ex- claimed, “Oh Doctor, are you still there?” in a voice how- ever, that was husky and in- distinct. He then asked, “Is it the Fourth?” to which I relpied, “It soon will be.”

These were the last words I heard him utter.

4. 有趣事件

打橋牌時, 每人分到 13 張牌, 每人會拿 到的牌, 總共有

52 13

!

= 635, 013, 559, 600 (21) 種可能性。 因此會拿到任何一組 13 張牌的機 率, 皆為 635,013,559,600 分之一, 可說非常 地小。 任何一手牌, 雖然出現的機會均極小, 幾乎是不可能, 但出現的機會均相同。 因此 任何一手牌都不該被視為驚訝的事件 (sur- prising event)。 所以當你拿到一手 13 張皆 為黑桃, 你只能說, 雖然此手牌出現的機會 幾乎是不可能, 為一稀有事件 (rare event), 但它並非一驚訝的事件, 而是一有趣的事件 (interesting event)。 要知拿到 13 張黑桃的 機會, 與拿到紅桃 6、 J, 黑桃 4、6、A, 方塊 3、5、Q、K, 梅花 5、7、J、Q 的機會是一樣的。

但你大概不會到處告訴人家說“真神奇! 我居

然拿到紅桃 6、J、· · ·”。 提醒各位, 不要將有趣 的事件視為驚訝的事件。

每個人感到有趣的事件並不相同, 每次 發牌, 你總會拿到某 13 張牌, 它們出現的機 會均相同, 並不須對某一種組合的出現感到 驚訝, 雖然任何一組合均為一稀有事件。 一驚 訝事件必為一稀有事件, 但卻並非所有稀有 事件均為驚訝事件。 有那些才屬驚訝事件呢?

前面已指出, 丟一公正銅板100次, 出現50個 正面之機率約為 0.08。 但出現 95 個以上的正 面之機率呢? 由中央極限定理, 令 X 表出現 的正面數, 則

P (X ≥ 95) = P ( X− 50

√100· 0.5 · 0.5

≥ 95− 50

√100· 0.5 · 0.5)

= P (Z. ≥ 9) ≤ P (Z ≥ 4)

= 0.00003,. (22)

其中 Z 有N (0, 1)(標準常態) 分佈。 之所以 只求出 P (Z ≥ 4), 乃是因一般常態分佈的 數值表沒有給出 z > 4 時之 P (Z ≥ z)。 求 P (Z ≥ 4) 對應 P (X ≥ 70)。 要出現“70個 以上” 的正面之機率便已較出現 50個正面的 機率小很多了, 更不要說要出現 95 個以上的 正面了, 其機率是微乎其微的。 所以對丟 100 個銅板而言, 出現95個以上的正面之事件, 不 但是一稀有事件, 也是一驚訝事件, 當然對大 部分的人來說, 亦為一有趣事件。 底下我們引 一段二月河 (1997) pp.54-57的故事。

清朝施琅於準備攻打台灣前, 拿出一把 銅錢, 向將士們說“一百枚康熙銅錢, 擲向台 灣海域圖, 倘若我軍出師順利, 當有九十五枚

以上的字面朝上!”一語既出, 將台上下將士們 無不失色。 結果一擲之下, 有九十九枚是“康 熙”字面朝上。 一霎時, 將台上下轟動了, 有人 直呼“天心厭鄭, 武將們全身的血都在奔湧。

李光地心思靈動, 陡地一轉念: 莫非有九十 五枚銅錢是特鑄的兩面字兒? 不禁莞爾一笑, 卻跟著高呼“萬萬歲”。 原來施琅離京前, 康熙 特賜了一百枚兩面字兒的銅錢, 且叫他如此 操作。 只施琅怕有精明人起疑, 特在裡頭換取 了五枚, 倒使眾人信得更其紮實。

註2. 上段中“倘若 · · · 朝上”一句, 邏 輯上是有問題的, 讀者可否看出? 又熟知歷 史掌故的讀者, 或許知道上述故事原先流傳 的版本, 主角為宋朝名將狄青。 狄青在征討濃 智高前, “取百錢自持之, 且與神約果大捷, 則 投此期盡錢面也”。 在萬人注視下, 他“揮手倏 一擲, 則百錢盡面矣”。 這是出自宋朝蔡絛撰 的“鐵圍山叢談”一書第二卷。 其改寫版可見 陳雨明 (1997) pp.224-225。 如今二月河所 寫的故事, 有可能是他 (或康熙) 模仿來的。

不過他也做了一些修改, 如丟完後有一字面 朝下, 使眾人信得更紮實。

註3. 令 φ(x) 及 Φ(x) 分別表N (0, 1) 分佈之機率密度函數及分佈函數, 即

φ(x) = 1

√2πe^−x2/2, Φ(x) =

Z

−∞

√1

2πe^−u2/2du, x∈ R。

則

φ(x)/(x+x⁻¹) < 1−Φ(x)<φ(x)/x, x>0, (23)

且 x→ ∞ 時,

1− Φ(x) ∼ φ(x)/x。 (24) 證明並不難, 可參考黃文璋 (1994) p.304。

利用 (23) 即得

P (Z ≥ 9) = 1 − Φ(9) < φ(9)/9

= 1 9√

2πe^−81/2= 1.028. · 10⁻¹⁸, 可說非常地小 (二月河應是不曉得此機率值, 他只知道很小)。 所以丟一公正銅板 100 次, 要得 95 個以上的正面, 幾乎是不可能 (得 到 100 個正面之機率則為 0.5¹⁰⁰ .

= 7.888 · 10⁻³¹)。 又同理求出 P (Z ≥ 4) <

0.000037, 而查表所得為0.00003。 當無法由 查表得到 Φ(x) (或 1 − Φ(x)), 便可藉助 (23) 及 (24) 得到近似值。

6. 當稀有碰到大數

機率裡有所謂確實大的數之法則 (The Law of Truly Large Numbers)。 一件事雖 發生的機率很低, 但若樣本數夠大, 便有可能 發生了。 以橋牌裡拿到 13張黑桃的事件而言, 雖其發生的機率很低 (僅約 1.57· 10⁻¹²), 但 想想每天全世界有多少人在玩橋牌, 每次玩 多少副牌, 一年下來 13 張黑桃的出現並不足 為奇。 又如若某件巧合, 在每個人身上每天會 發生的機率為百萬分之一, 台灣有兩千萬以 上的人口, 因此每天共發生的次數之期望值 便超過 20 次, 一年便超過七百次。 所以當稀 有事件碰到大樣本, 其發生便有可能處處可 見了。 此道理看似簡單, 但真正了解的人可能 並不多。見下例。

例 4. 民國 83 年 10 月 15 日聯合報繽紛 版有幅漫畫, 其中文字說明為“根據指紋學家 的研究, 六百四十億個指紋才會出現一次相 同的指紋; 若以現在世界五十億人口, 每個人 有十個指紋來計算, 世界上的指紋總數是五 百億個, 所以還是找不到指紋相同的人”。

我們對指紋的辨識毫不了解, 猜想其含 義為指紋有些特徵, 若將任兩指紋拿來比對, 會被判定相同之機率為 640 · 10⁸ 分之一。 只 是難道小拇指也可拿來與大拇指比對嗎? 我 們姑且就相信此報導好了。 依其報導, 任兩指 紋不吻合之機率為

1− 1 640· 10⁸,

而 500億個指紋, 任取兩個來比對, 共有 k = 500· 10⁸

2

!

= 1.2475· 10²¹ 對。 因此兩兩指紋比對, 皆不相同的機率為

(1− 1

640· 10⁸)^k。

而會找到一對相同之機率為1 減去上述機率 值。 利用微積分裡的結果: 當 |an| 很小, 而 bn 很大, 則

(1 + an)^bn = e. ^anbn, (25) 只要{anbn} 不會趨近至 ∞, 否則此時 (1 + an)^bn 的值會很大。 利用 (25) 即得

(1− 1

640· 10⁸)^k = e. ^{−1.9492·109}, 此值微乎其微幾乎是零了 (以桌上型計算機 可得 e⁻²²⁶ = 7.07. · 10⁻⁹⁹, 再高的次方就 得不到了)。 因此會找到一對指紋相同之機率

極接近 1。 一件幾乎確定會發生的事件, 居然 被以為不會發生, 相差真是不可以道里計。 這 是比將事件發生所需實驗次數之期望值, 視 為所需次數更離譜者。

我們亦可求出, 若將500億個指紋, 分別 拿來跟某一特定的指紋比對, 則會有相同的 機率為

1− (1 − 1

640· 10⁸)^500·108 = 1. − e^−50/64

= 0.5422,. 大於 1/2, 也是極易發生的。

有些門禁是以指紋辨識 (這是電影裡常 有的情節), 預存合法可進入的指紋, 雖每一 指紋會被判定相同的機率很低 (640 · 10⁸ 分 之一), 但若指紋數很多 (500 億個), 則會 有被誤判相同的時候就不難發生了 (機率約 0.5422)。 附帶一提, 根據民國 88 年 7 月 12 日聯合報第 10 版之報導, 聯合國估計在西元 1999 年 10 月, 世界人口將達到六十億。

註4. 在台灣究竟可不可以做國民卡的 爭論中, 新新聞週報第 606 期 (1998 年 10 月 18 日-10 月 24 日) 專訪中華國民卡團隊總經 理張公僕。 他指出“不是你本人的指紋卻被誤 認為是你的之機率 (錯誤接受率), 現在的數 據是機率必須小於十萬分之一, 是相當安全 的。 而是你本人卻被誤認為不是你的 (錯誤拒 絕率), 目前要求你按兩次而被拒絕的機率必 須要小於千分之一。” 可見現今指紋的辨識儀 器, 並沒有那麼精準。 另外, 依據報導 (88 年 1月8日聯合報第49版, 記者黃裕元), 星友科 技宣稱其所開發出之 FG-60 指紋辨識器, 符 合 FBI 國際標準, 且其錯誤接受率及錯誤拒 絕率, 與前述數據近似。

例5. 美國紐約時報 (New York Times) 曾在第一版報導 (西元 1986 年 2 月 14 日), 一位名叫做 Adams(Evelyn Marie Adams) 的女士第二度贏得紐澤西 (New Jersey) 州的樂透獎 (lottery)。 她第一次獲 三百九十萬美元, 第二次獲一百五十萬美元。

紐約時報說這是十七兆分之一 (1 in 17 tril- lion) 的機會。

十七兆分之一其實是另一問題的答案, 若你有兩次各買一張紐澤西州的樂透獎券, 則兩次皆獲獎的機率便約為十七兆分之一 (Adams 女士其實常買彩券, 且每次買好幾 張)。

事實上此問題從某個角度看, 乃是類似 生日問題及指紋問題。 人們真正想知道的是:

在美國千萬買樂透獎券的人裡, 有人一生中, 曾贏兩次的機會。 不要忘了不少人每次都買 許多張。

美國普渡大學 (Purdue University) 統計系的兩位教授 Stephen Samuels 及 George McCabe, 於前述報導刊登後兩週, 亦在紐約時報登出他們的投書。 他們指出雖 然 Adams 女士在一生中要贏兩次樂透獎的 機會很小, 但在全美中有人贏得兩次, 可說是 一件必然的事 (practically a sure thing)。

他們估計 7 年內有人贏得兩次的機會超過二 分之一。 他們也估計四個月 (Adams 女士贏 兩次之間距) 內有人贏兩次之機會超過三十 分之一。 他們的預測並不離譜, 於西元 1998 年 5 月, Robert Humphries 第二度贏得賓 夕凡尼亞 (Pennsylvania) 州樂透獎 (合計 有六百八十萬美元)。

千萬不要低估大數的威力。

習題

1. 自一副標準的52張樸克牌中, 隨機地取5 張牌, 求其中至少有一張牌為8點之機率, 並求至小數 4位之近似值。

2. 設 1,000 張彩券中有 5 張有獎, 某人買 10 張彩券, 求其中至少有一張中獎之機率, 並求至小數 4位之近似值。

3. 要利用機器將 n 個人的薪資單放進 n 封 貼有名字的信封, 由於作業錯誤, 變成隨 機地將薪資單放進信封, 每個信封恰放進 一個。 求至少有一個信封放的是正確的薪 資單之機率。 註: 此稱為 Montmort 問 題 (Montmort’s Problem)。

4. 令 A 表投擲4個公正的骰子一次, 其中至 少有一個 1點的事件, B 表投擲 2個公正 的骰子 24次, 其中至少有一次得到兩個1 點的事件。 問何者機率較大? 註: 此即著 名的 de M´er´e 詭論(paradox)。 在西元 1654年, de M´er´e 向Pascal 請教此問題 之解。

5. 問一團體中, 除你之外, 要有多少人, 才 會使有人生日與你相同的機率大於 0.9?

6. (i) 求夫妻二人生日相同之機率 (假設一 年有 365天);

(ii) 求最少要有多少對夫妻, 才會使其 中至少有一對夫妻生日相同之機率大於 1/2。

7. 假設每月皆有 30 天, 求一三口之家生日 之日期皆相同之機率。

8. 假設美國大學籃球隊中, 有 30 隻球隊每 場比賽獲勝之機率均超過 0.8。 則在某一 球季, 有球隊自開打後, 連勝 20 場之機 率, 至少為若干?

9. 設全世界每人每天各丟一公正銅板 100 次。 試求平均約要多久, 才會出現有人某 天得到 95個以上的正面。

10. 試指出註 2 中提及的“倘若 · · · 朝上”一 句, 邏輯上的問題。

11. 在例 4 中, 利用二項分佈趨近至 Poisson 分佈, 估計若將 500 億個指紋, 分別拿來 跟某一特定的指紋比對, 會找到有 (i)1 個, 或 (ii)2個以上指紋相同的機率。

12. 假設任兩指紋相同的機率為 5·10¹⁰分之 一。 全世界設有 60 億人, 每人各有 10 個 指紋, 求會找到有一指紋與你任一指紋相 同之機率, 並求其近似值。

13. 假設指紋之錯誤接受率為十萬分之一。 則 在兩千萬人中, 若皆辨識大拇指, 將約有 多少人會被判定與你指紋相同?

14. 舉出一件你曾遇過之很巧合的事情, 並嘗 試說明其發生的原因。

15. 不少人都常有下述經驗: 要找某件物品, 卻偏找不到, 過了一段時間, 都已經不找 了, 該物卻突然出現了。 試釋斯事。

參考文獻

1. 二月河, 雍正皇帝—雕弓天狼<上>, 巴 比倫出版社, 台北, 1994。

2. 二月河, 康熙大帝—玉宇呈祥<下>, 巴 比倫出版社, 台北, 1997。

3. 余秋雨, 山居筆記, 爾雅出版社有限公司, 台北, 1995。

4. 邱燮友註譯, 新譯唐詩三百首, 修訂九版, 三民書局股份有限公司, 台北, 1996。

5. 陳雨明, 歷代人物外傳, 漢欣文化事業有 限公司, 台北縣, 1997。

6. 黃文璋, 機率論講義, 全華科技圖書有限 公司, 台北, 1994。

7. 黃文璋, 數學欣賞, 華泰文化事業股份有 限公司, 台北, 1999。

8. Abramson, M. and Moser, W. O.

J., More birthday surprise, Ameri- can Mathematical Monthly 77, 856- 858, 1970.

9. Apostol, T. M., Mathematical Anal- ysis, 2nd ed. Addison-Wesley, Read- ing, Massachusetts, 1974.

10. Cohen, A., Seasonal daily effect on the number of births in Israel. Jour- nal of the Royal Statistical Society Series C: Applied Statistics 32, 228- 235, 1983.

11. Diaconis, P. and Mosteller, F., Meth- ods for studying coincidences. Jour- nal of the American Statistical Asso- ciation84, 853-861, 1989.

12. Fraser, S., 真是巧! 哪能真是那麼巧?

一定有點道理在。 讀者文摘, 1999年三月 號, 13-16, 1999。

13. Nixon, C., Mathematics in the class- room. Mathematical Spectrum 31, 17-18, 1998/9.

14. Phillips, D. P., Deathday and birth- day: an unexpected connection. In Statistics: A Guide to the Unknown (Edited by J.M. Tanur and by J.

Mosteller, W. H. Kruskal, R. F.

Link, R. S. Pieters and G. R. Ris- ing). Holden-Day, Inc., San Fran- cisco, 1972.

15. Pinkham, R. S., On the distribu- tion of first significant digits. Annals of Mathematical Statistics 32, 1223-

1230, 1961.

16. Stewart, I., What a coincidence. Sci- entific American 278, No.6, 76-77, 1998.

17. Weaver, W., Lady Luck: The Theory of Probability. Dover Publications, Inc., New York, 1982.

—本文作者任教於國立中山大學應用數學 系—