= ∠ 的對邊 = 斜邊

(1)

108 下高一數學(單元 10) 第 1 頁龍騰版 CJT

單元 10 直角三角形的三角比一年____班座號：____ 姓名：

重點 1：直角三角形邊的比例

意義：兩相似的三角形，其三邊長的比例是固定的固定的固定的固定的，不因三角形的大小不同而改變註：(1)若△ABC～△A′B′C′ (根據 AA 相似)，則對應邊成比例，對應角相等

(2)如右圖，相似的三角形△ABC～△ADE～△APQ 中，

邊長的比例和三角形的大小無關，只和銳角 θ (讀做 theta)的大小有關

例 1.1：試觀察下列大小不同的 30°－60°－90°直角三角形：

(1)根據_________性質，上列直角三角形皆相似，其三邊長的比都是__________

(2)試求下列各比值：

(A) 斜邊長

°的對邊長

30 ＝______ (B)

斜邊長

°的鄰邊長

30 ＝______ (C)

的鄰邊長的對邊長

°

° 30

30 ＝______

重點 2：銳角三角函數(三角比)

1.定義：直角△ABC 中，設∠C = 90°，如右圖

對∠A 而言，

BC

稱作∠A 的對邊對邊對邊對邊，

AC

稱作∠A 的鄰邊鄰邊鄰邊鄰邊， AB 稱作∠A 的斜邊斜邊斜邊斜邊

(1)∠A 的正弦正弦正弦正弦函數(sine A)，

sin A BC

A AB

= ∠ 的對邊 = 斜邊

(2)∠A 的餘弦餘弦餘弦餘弦函數(cosine A)，

cos A AC

A AB

= ∠ 的鄰邊 = 斜邊

(3)∠A 的正切正切正切正切函數(tangent A)，

tan A BC

A A AC

= ∠ =

∠

的對邊

的鄰邊

2.性質：(1)以

θ

表示任一銳角時，則三角函數表為 sin

θ

^，cos

θ

^，tan

θ

(2)銳角

θ

^{的 sin}

θ

^，cos

θ

^，tan

θ

皆為兩邊長的比值，為不具單位不具單位不具單位的正數不具單位 (3)∠A為銳角時， 0 sin< A<1且 0 cos< A<1， tanA>0

註：如右圖，設∠B＝

φ

^，則

BC

稱作∠B 的_____邊邊邊，邊

AC

稱作∠B 的_____邊邊邊邊

⇒^{sin ＝}

φ

^{cos ＝}

φ

^{tan ＝}

φ

例 2.1：在三角形 ABC 中，已知∠C＝90°， AB ＝13，

AC

＝12，

BC

＝5，試求 sin A，cos A，tan A 的值 A

B

C

D

E

P

Q

斜邊

鄰邊

對邊

θ

φ

A

B

C

φ

^的____邊

φ

^的____邊斜邊

A

B

C 13

12

5

(2)

例 2.2：已知∠A 為銳角且 sinA =2

3

，

求 cosA 和 tanA 的值。

重點 3：正射影

意義：在直角三角形 ABC 中，∠C 為直角，以 a，b，c 分別表示∠A，∠B，∠C 的對邊長 則

AC

為 AB 在直線 AC 上的正射影，其長度 b＝

AC

＝ AB cosA＝c cosA

同理 a＝

BC

＝ AB sinA＝c sinA 說明：由三角比的定義：

由 sin A＝

c

a，得知 a＝c cosA 由 cos A＝

c

b ，得知 b＝c cosA

例 3.1：如圖，∆ABD 與∆BCD 皆為直角三角形，已知 AB ＝17，sin

θ

^＝ 17

15，cos

φ

^＝ 5

3，試求：

(1) BD ＝_____ (2)

BC

＝_____ (3)

CD

＝_____

重點 4：常用直角三角比(銳角三角函數) 1.意義：常用的三角板分別有，如下圖：

(1)正方形的一半(45°－45°－90°) (2)正三角形的一半(30°－60°－90°)

利用畢氏定理可得這兩個三角形的邊長比分別為 1：1：

2

與 1： 3：2 故將 30°，45°，60° 稱為三個常用的直角三角比(特別角)

2.當角度不是特別角時，可以透過計算機的操作求三角比

例 4.1：利用計算器，求 sin 5°，cos 20°，tan 37° 等值解：sin 5°：

A

B

C A 30°

B

45° C

A

B

C a b

c

A

B C

D 17

θ

φ

A

B

C 60°

(3)

例 4.2：(1)試分別求出 sin 30°，sin 45°及 sin 60°的值

(2)利用直尺測量右圖三角形的三邊長來估算 sin A 的值與 A 的角度(四捨五入到小數點以下第 1 位)

重點 5：三角比的基本關係

1.意義：在直角△ABC 中， C∠ 為直角，若 A∠ =

θ

，且以 a，b，c 分別表示∠A，∠B，∠C 的對邊長，如下圖則 sin a

θ

= c， cos b

θ

= c， tan a

θ

= b 2.基本關係：0°＜θ＜90°

(1)商數關係式：^{tan ＝}

θ θ θ

cos sin

(2)平方關係式：^sin²

θ

^＋^cos²

θ

＝1 ( (sinθ )²＝^sin²

θ

^{，(cosθ )}²^＝^cos²

θ

⁾ (3)餘角關係式：sin(90°－θ )＝cosθ cos (90°－θ )＝sinθ

例 5.1：利用商數關係式與平方關係式，完成下列空格：

(1)sin18 cos18° =

° _________ (2) tan20°⋅cos20°＝_______

例 5.2：試求下列各式的值：

(1) cos²34°＋cos²56° (2) tan²65°－ ₂ ₀ 65 cos

1

重點 6：三角(比)函數的基本性質

1. (sinθ＋cosθ)²＝sin²θ＋2 sinθcosθ＋cos²θ＝1＋2 sinθcosθ (sinθ－cosθ)²＝sin²θ－2 sinθcosθ＋cos²θ＝1－2 sinθcosθ

2. sin³θ＋cos³θ＝(sinθ＋cosθ)(sin²θ－sinθcosθ＋cos²θ)＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ) 3.

θ θ

sin 1−cos

＝

θ θ

cos 1

sin

+ ＝

θ

θ θ

θ

cos sin

1

cos sin

1

+ +

− +

4.

θ θ

sin 1−cos

＋

θ θ

cos 1

sin

+ ＝

θ

sin

2 背

A

B

C

A

B

C a b

c θ

90°－θ

(4)

視線鉛直線

視線 例 6.1：已知 θ 為銳角，且 sin θ＋cos θ＝

5

7，試求下列各值：

(1) sin θ cos θ (2) sin³ θ＋cos³ θ

重點 7：銳角三角比的應用與簡易測量

1.意義：運用三角比之定義，計算三角函數之值，並作簡易量測 2.常用測量的名詞

(1)鉛垂線：物體與地心的連線稱做鉛垂線 (2)水平線：和鉛垂線垂直的線稱為水平線

(3)視線(觀物線)：觀測者眼睛與目標物觀測點的直線 (4)仰角：觀測高處目標時，視線與水平線間的夾角 (5)俯角：觀測低處目標時，視線與水平線間的夾角

例 7.1：早上升旗時，陽光沿著同一個方向平行照射而來，與地面形成了一個固定的角度

θ

，如右示意圖，又某生的身高為 150 公分，且測得影子長度為 250 公分，試求：

(1) tan

θ

的值 (2)已知升旗桿影子長度為 750 公分，求升旗桿的高度

例 7.2：想測量臺北 101 大樓的高度，先在地面上 A 點測得樓頂的仰角為 45°，再朝大樓方向前進 370 公尺到達 B 點，

得樓頂的仰角為 75°，求大樓高度。(四捨五入到整數位)