凸多邊形各邊中點連線所圍的面積
王文光
摘要: 本文借助於 GSP 套裝軟體所提供的環境, 觀察凸 n 邊形各邊中點連線 所圍成區域面積與原來凸 n 邊形面積之比值。 我們得到如下的結論: 當 n = 3 時, 該值為 1/4; 當 n = 4 時, 該值為 1/2; 當 n = 5 時, 該值介於 1/2 和 3/4 之間;
當 n ≥ 6 時, 該值介於 1/2 和 1 之間。
在國中數學課本中, 我們知道三角形、 四邊形各邊中點連線所圍成面積與原來面積的比值, 分別為 1/4 和 1/2。 在本文裡, 我們擬針對凸五邊形及其他凸 n 邊形, 探討是否也有類似的固 定比值? 如果沒有, 是否有其他的關係呢? 為對任意多邊形更進一步探討此一關係, 我們先利 用 GSP 軟體, 進行一般的觀察, 瞭解其中的關係, 並進行驗證。
1. 三角形、 四邊形的情形
首先重溫三角形、 四邊形的性質, 來進行瞭解, 如圖一、 二所示, 作為進一步觀察五邊形的 情形的預備工作。
圖一 圖二
定理一: 在 △ABC 中, 若 E、 F 、 G 分別為 AB、 AC、 BC 的中點, 則 1. EF 平行 BC 且 EF = BC/2;
2. △EF G = 14△ABC。
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證明: . . . (skip) . . . 證畢。
定理二: 在任意四邊形 ABCD 中, E、 F 、 G、 H 分別為 AB、 BC、 CD、 AD 的中點, 則
1. 四邊形 EF GH 為平行四邊形;
2. EF GH = 12ABCD。
證明: . . . (skip) . . . 證畢。
2. 五邊形的情形
我們利用 GSP 檢驗五邊形的各邊中點連線所圍成面積與原來五邊形面積的比值。 如圖 三、 四所示, 可以看出其比值分別為 0.65和 0.69, 並非定值。
圖三 圖四
然而該比值會不會落在某一範圍之內呢? 由圖五、 六的觀察, 將 A 和 B 兩點, 往 CE 中 點移動時, 我們觀察到越靠近, 該比值越靠近 1/2; 當 A 與 B 落在 CE 的中點時, 我們觀察 到其比值恰好為 1/2。
圖五 圖六
在凸五邊形 ABCDE 內, 如圖七所示虛線所成的五角星形面積與其內部所圍五邊形 KLMNO 面積皆為正數。 如圖八, 當點 C、 D 落在線段 BE 上, 且讓 C、 D 兩點無限接近時, 五角星形 面積與五角星形內部所圍五邊形 KLMNO 面積兩者皆為 0, 於是得到該比值的下限 1/2。 仿 得到下界 1/2 的模式, 利用下面的圖形, 針對該比值的上界進行觀察。 如圖九, 將 A 與 B 分
別往 C 與 E 移動時, 我們可得恰好移到點上時其比值上限會等於 3/4。 又如圖十, 當點 C、 D 分別趨近點 B、 E 時, 五角星形面積極為接近五邊形 ABCDE 的面積, 五角星形內部所圍五 邊形 KLMNO 面積則接近 0, 於是得到比值上限 3/4。
圖七 圖八
圖九 圖十
我們於是預測下述不等式
1/2 ≤ 凸五邊形面積各邊中點連線所圍成面積 原來凸五邊形面積 < 1, 並將利用面積分割的方法, 證明上述觀察所得到的不等式的確成立。
定理三: 五邊形 ABCDE 中, F 、 G、 H、 I、 J 分別為 AB、 BC、 CD、 DE、 AE 的 中點, 則
1. 五邊形 F GHIJ 的面積
= ABCDE/2 + (△ACD + △BDE − △CDE)/4,
= (五邊形 ABCDE 的面積)/2
+(五角星形面積 + 五角星形內部所圍五邊形 KLMNO 面積)/4;
2. 1/2 < 凸五邊形面積各邊中點連線所圍成面積
原來凸五邊形面積 < 3/4。
證明: 因為
五邊形 F GHIJ 的面積
= 五邊形 ABCDE 的面積 − (△F AJ + △JEI + △IDH + △HCG + △GBF );
若將
(△F AJ + △JEI + △IDH + △HCG + △GBF )
= (△BAE + △AED + △EDC + △DCB + △CBA)/4,
= (2 倍五邊形 ABCDE 的面積 − 五角星形面積
−五角星形內部所圍五邊形KLMNO 面積)/2, 代入上式, 得
五邊形 F GHIJ 的面積
= 五邊形 ABCDE 的面積/2
+(五角星形面積 + 五角星形內部所圍五邊形 KLMNO 面積)/4。
. . . (skip) . . . 證畢。
3. n ≥ 6 邊形的情形
根據凸五邊形的經驗, 我們繼續針對凸六邊形的情形考察。 如圖十三、 十四所示, 若把 C、
D、 E 三點向線段 BF 的中點趨近時, 六角星形面積與六角星形內部所圍六邊形 MNOP QR 面積都會變成 0, 於是得比值下限 1/2。 又如圖十五所示, 若分別把 A、 C、 E 分別趨近 B、 D、
F , 則可得比值上限 1。
圖十二 圖十三
圖十四 圖十五
定理四: 在凸六邊形 ABCDEF 中, G、 H、 I、 J、 K、 L 分別為 AB、 BC、 CD、 DE、
EF 、 AF 的中點, 則
1. 六邊形 GHIHKL 的面積
= 12ABCDEF + 14(△ACE + △BDF )
= 六邊形 GHIHKL 的面積 = (原來六邊形 ABCDEF 面積)/2 + (六角星形面積 + 六角星形內部所圍六邊形 MNOP QR 面積)/4;
2. 0.5 < 六多邊形各邊中點連線所圍成面積 原六邊形面積 < 1。
證明: . . . (skip) . . . 證畢。
根據對於凸五邊形圖形的觀察, 我們得到一個很簡要的關係式, 五邊形 F GHIJ 的面積
= (五邊形 ABCDE 的面積)/2
+(五角星形面積 + 五角星形內部所圍五邊形 KLMNO 面積)/4,
令人驚訝的是對任意 n ≥ 6 邊形, 也有類似的結論; 這些結論是經由數學實驗而得到的結果。
對任意 n ≥ 6 邊形, 也有類似於凸五邊形、 凸六邊形的結論, 亦即 1. 凸 n 邊形各邊中點連線所圍面積
= (原來 n 邊形面積)/2 + (n 角星形面積 + n 角星形內部所圍 n 邊形面積)/4;
2. 1/2 < 任意 n 邊形各邊中點連線所圍成面積 任意 n 多邊形原來面積 < 1。
參考文獻
1. Understanding ratios of areas, e-example 7.3 in
http://standards.nctm.org/document/eexamples/index.htm
2. 李政豐: 多邊形面積比是否為常數 — 動態學習的例子, 數學傳播季刊 106 期 (民 92 年 6 月), 66-73 頁。
—本文作者任教於台北市北政國中—
