聞書解數，創新思考-情境認知理論網出數學寫作

類別：行動研究論文發表類

作品名稱：

聞書解數，創新思考-情境認知理論網出數學寫作

作者姓名：林鳳美

服務機關：臺北市立成淵高級中學

摘要

本研究透過情境認知理論的真實情境進行數學寫作，以促進解決數學問題歷 程，以自主學習非課程與融入課程情境環境教學，也運用建構主義的理論建構「主 動」學習的學習情境，進行六個層次的數學寫作活動，實踐方式是策動「聞書解 數，創新思考」階段進行，同時配合認知學徒制與小組加速教學促進數學寫作的 學習成效，其歷程中深信數學是創新思考所發展出的語言，是理性溝通的重要工 具，注重數學的概念結構與思考訓練，以導正「零碎解題技巧」以及「不經慎思 只求快速解答」的學習文化，掌握主要脈絡展現以簡馭繁的數學創新思考，最終 可見獨特數學的創作。

本研究包含量與質的研究，分析結果對數學寫作活動給予高度的肯定，學生 因而更能體會深耕閱讀的價值，活動後會用不同思考方式想數學，而邀請作者當 評審與談數學寫作，讓學生看到深層數學脈絡，習得有效的數學語言，加上多元 課程引導與小組加速教學，促使數學概念至創意思考延伸，萌生創新創作的歷程。

關鍵詞：情境認知理論、認知學徒制、數學寫作

壹、緒論

一 、 研 究 動 機 與 背 景

美國數學教師協會(NCTM，2000)出版的「數學課程與評量標準」之中強調

透過溝通組織以加強學生的數學思考，把學生的數學想法清楚地傳達給同儕、教

師、和其他人以及用數學的語言來精確表達數學想法，明顯點出數學教育目標是

重視學生個體，強調數學本質以及數學讀寫能力，該從過去經驗與先前知識上理

解的方式，將數學知識形成有意義、推理的過程呈現，培養學生真正創新思考的

能力，而非強記的知識，此歷程即是數學寫作的歷程。

偉大科學家伽利略說：「自然之書(the Book of Nature)是用數學語言寫成的，

不懂數學就讀不懂這本偉大的書。」數學是用來描述大自然、處理數量運算以及 陳述抽象概念的語言，以便有效解決生活問題，可見數學對科學發展的重要性。

愛因斯坦說： 『數學之所以比一切其他科學受到尊重，一個理由是因為他的 命題是絕對可靠和無可爭辯的，而其他的科學經常處於被新發現的事實推翻的危 險。….數學之所以有高聲譽，另一個理由就是數學使得自然科學實現定理化，

給予自然科學某種程度的可靠性。』可見數學教育推廣極為重要的。

有感目前教育現狀教學者能充分營造真實情境環境進行教學是欠缺的，因而 啟動本研究真實情境環境進行教學的原動力，實踐方式是先讓學生從自主閱讀與 思考數學開始，教師從旁「引導」共同探究潛藏在的關鍵問題，促進學生由一步 一步的小階梯而獲得數學概念，而得出規律或驗證定理化，進而「再創新發明」

數學的機會，也結合校內外各種數學寫作競賽目標引導，以開啟學生的內在天賦 潛能與接受指教至創新創作，真正培育具有科學素養的人才。

二、研究目的與問題

本研究透過情境認知理論的真實情境進行數學寫作促進解決數學問題，實踐 方式是策動「聞書解數」與「創新思考」兩階段進行，過程中重視真實情境環境 中進行教學，而其真實情境環境方式與意涵說明如下：

(一)從只是學生聚在教室轉變成師生互動 Facebook 與 NewMoodle 學習平 台，以及課堂小組合作真實情境環境。

(二)從教師提供單一答案轉變至思考數學問題到邏輯推理及驗證定理化。

(三)從強記計算過程轉變至運用數學多元思考推理過程。

(四)從機械式尋找答案轉變至多元運用科學方法去推理、創新和解題論證。

(五)從把數學當作獨立的概念轉變至把數學概念、理論和應用連接起來。

本研究強調透過聽、說、讀、寫是語言訓練的四種基本技巧，來促進學生程

序性與觀念性的融會貫通，以達到數學語言的有效學習，增進數學能力，其主要

目的有五項如下：

(一)透過情境認知理論的真實情境進行數學寫作促進解決數學問題實施成效 (二)運用建構主義的理論讓學生自我建構「主動」學習的學習情境實施成效 (三)透過認知學徒制與小組加速教學以增強的數學概念理解與聯結至連貫 (四)透過數學寫作活動發表以促進數學溝通與表達能力的提昇

(五)透過數學寫作活動以激發學生創新思考且完成一份創作作品

貳、文獻探討

一、 情境認知理論基礎與情境教學探討

Brown, Collins & Duguid在1989年提出情境認知的理論，強調提供真實情境 的學習環境，並且以解決問題為導向，而非以事實為導向，重視的是「從做中學」

的「主動認知過程」 。本研究採真實情境環境教學的學習原理說明如下：

(一)在真實情境環境中進行在數學寫作，強調學習活動的真實性與主動探索與 寫作，重視情境中小組合作學習演練、推演與論證，以從邊際參與到核心 參與的學習過程，其學習環教學模式有五階段教學模式：參與、探索、解 釋、精緻化與評量，說明如圖一：

圖一：學習環教學模式有五階段教學模式 本研究真實情境學習環境方式說明如表一：

參與（Engagement）

教師提供多元活動

探索（Exploration）

教師提供真實情境

解釋（Exploration）

師生共同釐清概念 精緻化（Elaboration）

教師擴展知識與應用 評量（Evaluation）

教師提供多元評量

表一：本研究真實情境學習環境方式

學生學習方式 真實情境環境(自主學習非課程與融入課程情境環境) 聞書解數-自主學習 台北市立成淵高中學習網(NewMoodle)，網址

http://163.21.105.14/點選聞書解數,創新思考

聞書解數-課堂引導學習 班級教室

創新思考-寫作進階學習 數學專科教室、Facebook 與手機簡訊 聞書解數， 創新思考-發表 5 樓研討室

(二)落實情境學習理念最佳的途徑就是透過「認知學徒制」 ，本研究運用認知 學徒制學習且強調經驗學習模式如表二：

表二：認知學徒制課程學習與經驗學習模式

認知學徒制 經驗學習模式

1.重視主動的學習：是一種個體「由做中學」的 系統化、主動性的過程。

2.強調反省的學習：學生經由自我覺察、檢驗、

推演與應用的學習過程中，發展出新的理論。

3.提倡團隊的學習：強調學生間的合作與互動，

所以學習不是獨自進行的，而是在團隊合作下 學習的。

二、 運用建構主義的理論基礎

本研究除了運用情境認知理論外，也運用建構主義理論基礎，是指學習者將

基於本身的舊經驗而主動建構新知識與詮釋外在世界，所以知識不是絕對客觀

性，而是相對主觀性。教師是扮演企劃引導者的角色，在學生學習前，營造讓學

生自我建構「主動」學習的學習情境，學生在學習情境經過內心的理解與整合推

演的真相，其教學流程如表三說明：

表三：運用建構主義的理論基礎教學流程

三、數學寫作

美國數學教師協會(NCTM，1989)出版的「數學課程與評量」一書建議將寫 作活動融入數學教學中，而本研究中數學寫作係指學習者透過各種數學活動歷程 真實情境中，透過紙筆進行探索、表徵、討論、解釋、省思、回顧、組織或連結、

創新各種不同數學概念的表徵、數學經驗與知識，進而悟出數學的美與論證！

四、小組加速教學(TAI)

小組加速教學是學生小組學習法中的一種，其精神融合了個別化教學和小組 學習。本課程在進行數學寫作歷程採取小組加速教學，是融合了個別化學習與合 作學習的理論，發揮小班教學精神，也發揮「多元化、個別化及適性化」的教學 精神。

參、研究方法

一、研究對象

本研究透過情境認知理論的真實情境進行數學寫作促進解決數學問題，實踐

方式是策動「聞書解數」與「創新思考」兩階段進行，分為自主學習非課程與融

入課程的二種課程學習方式，以及研究對象說明如表四：

表四：課程學習方式與研究對象

課程學習方式 研究對象-實驗組 研究對象-對照組 自主學習

非課程

高二數理實驗班共 41 位同學 高一數理實驗班共 39 位同學 融入課程 高二數理實驗班修數學科學

研究課程共 11 位同學

高二數理實驗班未修數學科學 研究課程共 31 位同學

二、實施期程圖

本研究教學設計分為自主、導向、引發、重組、應用與回顧等六階段學習階 段，其實施期程圖分別如圖二：

圖二：教學設計分為六階段其實施期程圖

而各組研究主題與小組人員分配：自主學習非課程學習每組約 3-4 人，共分

11 組進行數學寫作歷程；融入課程學習分為五組且人數分配有 1,2,3,2,3 等五種組

合，研究主題為 1.樓梯數列與連分數 2.巴斯卡三角形中碎形 3.多項式定理的延

伸應用 4.立體著色問題 5.遞迴數列幾何圖形呈現 進行進階數學寫作歷程。至今

已完成的篇數有小論文共十篇；校內科展共五篇，參賽北市科展共有三篇且青培

計畫、科學獎、數學獎共 2 篇。

三、數學寫作活動架構圖

本研究透過情境認知理論的真實情境進行數學寫作促進解決數學問題，實踐 方式是策動「聞書解數」與「創新思考」兩階段進行，其數學寫作活動架構圖如 圖三：

圖三：數學寫作活動架構圖

同時數學寫作活動在情境教學下分別完成師生階段內涵與目的說明如表五：

表五：數學寫作活動在情境教學下分別完成師生階段內涵與目的

寫作活動 教學資源 內涵與目的

活動一：

自主閱讀 數學書籍

提供蔡聰明教授的四本課外數學 書籍與 AMC12 試題書籍如下：

1.數學的發現趣談 2.數學拾貝 3.從算術到代數之路

4.微積分的歷史步道

在學生自主閱讀推薦書籍部分，

撰寫包含圖書作者與內容簡介、

內容摘錄、我的觀點與討論議題 等四部份，而選定主題書籍部分 閱讀及課堂解說分享。

活動二：

師生互動 小組探究

透過學習網(NewMoodle) 或課堂 師生互動且小組探究

利用學習平台或課堂教學進行數 學概念釐清與發問，以及立即回 饋。

活動三：

共同偵錯 解決問題

1.蔡教授的四本課外數學書籍 2.全美數學能力 AMC12 試題 3.自創研究教材

教師從旁引導且學生寫出數學解 題創新想法與解法，教師指導與 偵錯，直到學生全盤瞭解。

活動四：

數學寫作 課程發表

場地-數學專科教室或研討室、簡 報檔與電腦數台

分公開與非公開的課程發表 非公開課程發表-培訓學生發表 技巧；而公開課程發表-讓學生發 揮發表潛力舞台，並與作者談論 數學寫作，更深層的看待數學寫 作，議題討論是培養發現問題的 與思辯的能力。

活動五：

進行進階 數學寫作

數學專科教室、簡報檔、網路設 備與電腦數台

教師透過教學現場與小組加速教

學，來進行進階數學寫作，體會

數學研究歷程包含發想問題、數

據分析、求證驗證、萌發創思與 應用延伸。

活動六：

創新創作 美的欣賞

數學專科教室、簡報檔、網路設 備與電腦數台

深層思考創作意涵，學會勇於嘗 試與組織連結的能力與多元探究 的能力，進而發展其應用與鑑賞 的能力，有助解決能力的發展。

四、課程發表

本課程透過公開與非公開的課程發表來探究實施歷程學習成效，同時在教學 相長中更突破寫作的嚴謹度。而課程發表說明如表六：

表六：課程發表

課程發表性質 發表次數 發表地點

非公開 上下學期各二次 數學專科教室

公開 102.12.6 數理實驗班發表 103.5.30 全校性專題製作發表

5 樓研討室 音樂廳

發表評分標準分口語與數學內涵評分兩種，其中口語評分包含組織架構、組織架 構、簡報製作、互動情況與團隊合作等五個方向；而數學內涵評分包含創意思考、

解決問題、議題討論與作品價值等四個方向。

其中102.12.6 數理實驗班數學寫作發表流程說明如下

個人組-聞書解數分享說明：

每人5分鐘讀後感分享，接著3~5分鐘提出議題與作者、師生三方對談。

團體組-聞書解數分享說明：

每組 7 分鐘讀後感分享，接著 3~5 分鐘提出議題與作者、師生三方對談。

五、研究方法

本研究從自主探索至進階數學寫作活動，每個活動脈絡相連，實踐方式是策 動「聞書解數」與「創新思考」兩階段進行，而在研究主題活動的課程設計及 教學歷程中不斷地互動、檢視進行，培養學生的創新創作能力及數學知識的獲得。

1.數學寫作課程教學實施歷程流程圖：如圖五

活動一： 自主閱讀數 學書籍

活動六：

創新創作 美的欣賞

活動五：

進行進階 數學寫作 活動二：

師生互動 小組探究

活動三：

共同偵錯 解決問題

數學寫作

起

承

聞 書 解 數

起

活動四：數學寫作課程發表-

作者談論數學寫作.議題探討

轉

轉 合

清 楚 表 達 數 學 概

念 創意思考延伸

圖五：數學寫作課程活動實施流程圖 2.數學寫作訓練歷程的學習層層脈絡藍圖：如圖六

聞書 解數

校外

校內

不著文法正確與墨在文字優美 對數學概念有更好的理解

表達其數學想法 檢視自己的數學想法

創新思考延伸 將數學理論描述清楚

創新 作品

鼓勵學生參與校 外競賽，持續創 作與累積經驗，

保持創作熱忱。

積極創作並參與 校外競賽，再創 數學價值。

創新 思考

圖六：數學寫作訓練歷程的學習層層脈絡藍圖

3.教學活動設計

本研究教學活動設計理念為透過情境認知理論與建構主義理論而設計的，其 教材來源是根據推薦五本書或主題書籍，以及自編數學教材來設計，結合數學理 論與應用在真實情境環境中深層探究知識，強調學習活動的真實性與主動探索的 重要性，期間重視情境中小組學習演練、推演與論證，以從邊際參與到核心參 與的學習過程，其學習環教學模式：參與



探索



解釋



精緻化



評量，促使 學生明瞭數學寫作的目的與價值，能從一個思考層次提昇到創新的思考層次，讓 創作精益求精，最終期盼能看到創作中感動與美的數學理論的歷程。

六、研究工具

本研究進行數學數作活動歷程，期間設計六個活動進行，其書寫讀書心得與 回饋表、書籍作者評語回饋、讀書心得發表簡報檔、每週三題學習單、議題討論 回饋單、歷程學習成果、創意思考評量、創新思考的創作與校內外競賽成績等等，

在資料分析與蒐集方面，是採取量的研究與質的研究兩種方式進行分析。

(一)包括量的研究

１.階段性主題目的架構圖：學生清楚寫作主題發展脈絡。

２.每週三題學習單：依據學習單的設計和學生填寫內容進行分析回饋。

３.學生歷程學習成果與創意思考評量：就學生學習階段歷程進行資料分析。

(二)包括質的研究方面：

1.訪談：在教學實施前後，不定時約談學生，其中包含學習高成就、中等 程度學生和學習低成就，進行個別訪談。

2.真實情境觀察：課程或虛擬課堂情境教學觀察學生整體反應。

3.教師歷程檔案：進行資料分析。

4.數學寫作學習單：此學習單是解釋錯誤、創作性、總結式、開放性問題 與改正錯誤的寫作，進行資料分析。

4.回饋單：進行資料分析。

5.透過各種方式傳達主題訊息：不定時透過 facebook、學習平台或簡訊或簡 訊傳達主題訊息，激發學生的靈感與思考。

6.創新創作競賽校內外具體成果

肆、實施成效與結果

一、數學寫作-書寫讀書心的寫作

在數學寫作訓練歷程第一步是讓學生每個人選定推薦蔡聰明教授四本書自 主閱讀並書寫讀書心得，其撰寫包含圖書作者與內容簡介、內容摘錄、我的觀點 與討論議題等四部份，評分標準是由兩位數學老師初評42個學生讀書心得選出16 個優秀學生作品，再由作者-蔡聰明教授進行複審選出11個優秀學生作品發表與 評語回饋，接著進行校內發表與校外競賽，其實施具體成效說明如下：

(一)自主學習閱讀讀懂統計分析

自主學習閱讀讀懂百分比

2.4% 14.6%

39.0% 39.0%

0.0% 5.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

80% 70%-80% 60%-70% 50%-60% 50%以下

由上表統計分析與教師回饋為蔡聰明教授所著四本書，是專為中小學生所著，內 容簡潔易懂，真實地寫出數學內涵與多元論證呈現，學生雖自主學習閱讀讀懂內 涵達70%以上人數占17%，但讀懂內涵能50%~70%的人數卻達78%，而閱讀書籍重在 探索知識，激發潛能及創造思考的原動力，在此角度來說所選四本書很符合達到 此信念，對啟發數學本份的學生值得一看再看的書籍。

(二)作者-蔡教授評語回饋如表七(其中六位同學評語回饋)

表七：作者-蔡教授評語回饋

姓名 評語回饋

尤同學 眼光要放大放遠，探索大自然才是數學最重要的應用。另外一面，數 學追求融貫的明確知識，這些都展現了如詩之美。

陳同學 對於超乎自己程度很多的書敢於去挑戰，精神可嘉。許多地方讀不懂，

高三再讀一遍，大一又讀一遍，領略就會不同。一般而言，微積分需 要讀好幾遍！

陳同學 讀數學最重要的是求得理解並且連貫成有機整體的知識。多找自己喜 歡的書來讀，功力就會逐漸增加。

楊同學 學習數學要有自己獨立想出來的經驗。觀察、觀察、再觀察；想、想、

再想。最後能夠達到享受思考的樂趣，就上軌道了。

劉同學 大多數學子的數學經驗是慘痛的，通常是遇到一位好的數學老師或一 本喜歡的數學書，努力讀、思考才逐漸好轉的。

賴同學 數學除了本身嚴謹與美之外，更重要的是用來探索大自然的祕密，沒 有它就沒有限代文明，沒有電燈，也沒有電腦。

由上表教師回饋為作者-蔡聰明教授給予學生真正學習數學的方法與概念，要眼 光要放大放遠，該追求深廣的數學殿堂，下功夫一遍再一遍直到融會貫通為止，

最後悟出不同層次數學的洗禮，這也是最珍貴的寶藏。

(三)數學讀書心得發表簡報檔與精彩照片

個人組-數學讀書心得發表 第一名簡報檔…製作內涵相當有數學內涵

數學讀書心得發表精彩照片…發表是最佳數學語言得傳神

(四)參與全國高級中學讀書心得寫作佳績成效

由11個優秀學生作品寫二篇參與校外競賽-第 1021031梯次全國高級中學讀 書心得寫作，其中一篇閱讀書名「數學的發現趣談」榮獲甲等與一篇閱讀書名「微 積分的歷史步道」榮獲優等。

二、數學寫作-每週三題揭開數學解

美國數學家P.R.Halmos認為「問題是數學的心臟」，而數學寫作是傳神說理 論證的語言最佳方式。而選全美中學數學分級能力測驗AMC12歷屆試題書學生自 行先閱讀且演練，並進行每週三題揭開數學解，展現學生多元思維能力與書寫邏 輯推理脈絡，其實施具體成效說明如下：

(一)每週三題AMC12解題書寫指導回饋

不佳者-邏輯脈絡不佳 認真者-圖解輔助佳與解題脈絡清楚明瞭

教師回饋為數學寫作學習歷程有助於自己意識到運算法則，並偵測出錯誤之處，

透過寫出將把新的觀念展現出來，進而師生能看到不同思維來新觀點的知識。

(二)AMC12解題觸動數學寫作回饋統計表

AMC12解題觸動數學寫作回饋統計表

0%

20%

40%

60%

80%

100%

相當不符合 不符合 符合 相當符合

相當不符合 0.0% 0.0% 0.0% 0.0%

不符合 0.0% 0.0% 0.0% 0.0%

符合 87.8% 95.1% 90.2% 90.2%

相當符合 12.2% 4.9% 9.8% 9.8%

能增加擬得數學 思考能力

能帶動解題連接 知識與融會貫通

能體會完整書寫 解題過程是重要

能偵錯與發現邏 輯思考完備與否

由上表統計分析與教師回饋為學生自行閱讀演練AMC12試題，並進行每週三題揭 開數學解，而老師從旁協助引導，在統計表上看到學生增加數學思考能力、帶動 解題連接知識與融會貫通、體會完整書寫解題過程是重要與偵錯與發現邏輯思考 完備與否符合與相當符合達百分之百，已把數學寫作精神傳達至琳琳盡致。

(三)AMC12試題進行數學寫作參賽得獎具體成效

2014年參與AMC12測驗成績表現

0.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

其他 優良 非常優良 傑出

其他 0.0% 0.0% 0.0% 21.7%

優良 0.0% 2.7% 45.9% 0.0%

非常優良 1.8% 21.9% 0.0% 0.0%

傑出 5.4% 0.0% 0.0% 0.0%

全球前1％且 受邀請賽

受邀請賽 AIME者

台灣地區成績 前平均分數

台灣地區成績 後50%平均分

由上表統計分析與教師回饋為2014年AMC12A成績在全球前1％（109.5分以上）

之學生且受邀美 國 國 際 數 學 邀 請 賽 AIME 共 有 4 人 且 其 中 有 1 位 榮 獲 各報

名團體中 AMC12A 成績最高分。有此優異成績關鍵是鼓勵學生留下解題痕跡以發 展算式或符號，在條件與結論之間緊密相聯的因果關係，讓學生以自主思考描述 將所學的新知識與舊知識或經驗加以聯結，以表徵數學概念，將所學的新舊知識 或經驗加以聯結的歷程，學生學會了增強的數學概念理解與聯結至連貫的能力。

三、數學寫作發表-議題討論

(一)學生提出議題討論與議題討論學生踴躍發言畫面

(二)議題討論教授、老師與學生三方對談回饋

 學生所感

教師回饋部分簡報檔

(三)議題討論學生回饋單

問：你對哪些「議題討論」讓你最感興趣或最吸引你？為什麼？

學生回答

學生回答

問：你對最感興趣的「議題討論」，請寫出你具體的看法。

學生回答

學生回答

四、數學寫作發表-創新思考的展現

(一)書籤-書籤內文字皆是由學生從蔡聰明教授四本書內的勉勵佳句。

創新 思考

| 書籤

「一個圖就是知識的一步進展，而不是一個圖值一個錢幣。」

印象 派 畫

家莫

內

：

「對我來說，題材只是次要的，我想要表達的是我和題材之間一種活的東西。」

(二)創新思考創作中得到的幾何圖形

5 1 m

Gn_

5 1 m

Gn_ G⁵_n^m₁

5 1 m

Gn_ ⁵1 m

Gn_ G⁵_n^m₁

5 1 m

Gn_ ⁵ 1 m

Gn_ G⁵_n^m₁ G_n^5m_1

5 1 m

Gn_ G_n^5m_1 G_n^5m_1 ⁵1 m

Gn_ G_n⁵_^m₁

3 1 m

Gn_

3 1 m

Gn_ G_n^3m_1

3 1 m

Gn_ G_n³_^m₁ G_n³_^m₁

31 2 m Gn^

31 2 m Gn^

31 2 m Gn_^

233

mnG 233mnG

233m

nG

 2

33 mnG 233mnG

233

mnG

2

33 mnG 233mnG

233m

nG

233m

nGnG233m

233

mnG

233 mnG233mnG

233

mnG 233mnG 233mnG

2

33

m

nG

31 2 m Gn^

31 2 m Gn^

1 3

2 m Gn_^

233

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m

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233m

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233

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233m

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233

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233 mnG233mnG

233

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233 mnG 233mnG

233m

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2

33 mnG 233mnG

233m

nG

31 2 m Gn^

31 2 m Gn^

1 3

2 m Gn_^

233m

nGmnG233

233

mnG 233mnG233mnG

233

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233m

nGnG233m

233

m

nG

 233mnG 233mnG

233m

nG

233

mnG 233mnG

233m

nG

2

33

m

nGmnG233

233mnG

教師回饋為藉由進階寫作

課程師生共同利用創新思

考的策動美的創作，歷程中

一次又一次推論與論證，同

時也激發學生建構知識的

過程，將所學過的概念與知

識去建構數學知識應用，期

盼能得到創新數學價值。

(三)參賽校內外競賽的具體成效

作品名稱 具體成效

連分數，數層費氏，層出高階近似根

全國小論文寫作比賽第 1021115 梯次

甲等 繪出平面幾何，著出遞迴，著出立體

全國小論文寫作比賽第 1021115 梯次

甲等 k 階遞迴見矩形，非似完美卻完美

全國小論文寫作比賽第 1021115 梯次

甲等 巴結費氏，碎形變變變

全國小論文寫作比賽第 1021115 梯次

甲等 觀看平面與立體，狀觀拓墣與尤拉

全國小論文寫作比賽第 1030331 梯次

優等 談冰山下的斐波那契數列

全國小論文寫作比賽第 1030331 梯次

甲等 正多邊形「層」出巴斯卡三角形

全國小論文寫作比賽第 1030331 梯次

特優 無窮 k 階遞迴幾何現，非似完美卻完美

全國小論文寫作比賽第 1030331 梯次

甲等

繪出平面幾何，著出遞迴，著出立體 校內科展甲等 二階遞迴沿

k

階，平面幾何無窮現 校內科展甲等

多項式定理「係」出巴斯卡三角形 校內科展優等與台北市 47 屆科展佳 作獎與團隊合作獎

階入旋妙門-k 階樓梯數列式出一般式 與識出黃金螺旋

校內科展特優與台北市 47 屆科展 佳作獎與研究精神獎

「費」盡心思從巴斯卡「 碎」 變 校內科展特優與台北市 47 屆科展特 優，並取得台北市參加全國科展的代 表權

旋入螺旋門-k 階線性遞迴數列「式」

出行列式推廣

103 年青少年科學人才培育計畫(專 題組)且邱成桐中小學數學獎入選獎 千迴百轉，軌出螺線 前往國際科展

教師回饋為創新思考的創作是不斷激發學生的潛力與開啟教師的智慧歷程，傳達 學術實質深層價值，是師生共享的知識饗宴，富給無價之經驗饗宴。

五、數學寫作發表-創新思考 (一)實驗組的回饋

1.在數學寫作活動後，是否能提昇閱讀數學書籍的意願嗎？

實驗組統計出相當符合占 21.5%；符合占 69.0%；不符合占 9.5%

對照組統計出相當符合占 17.9%；符合占 69.2%；不符合占 12.9%

學生回答

學生回答

2.在數學寫作活動後，是否會用多元角度去閱讀數學書籍嗎？

實驗組統計出相當符合占 42.9%；符合占 54.7%；不符合 2.4%

對照組統計出相當符合占 25.6%；符合占 59.0%；不符合占 15.4%

學生回答

3.在數學寫作活動後，是否增強了什麼數學觀念或數學能力呢？

實驗組統計出相當符合占 14.3%；符合占 78.6%；不符合占 7.1%

對照組統計出相當符合占 12.8%；符合占 64.1%；不符合占 23.1%

學生 回答

4.在數學寫作活動後，是否增加對數學的興趣？

實驗組統計出相當符合占 21.4%；符合占 78.6%

對照組統計出相當符合占 23.1%；符合占 56.4%；不符合 20.5%

學生 回答

5.特別回饋分享 學

生

回

答

學

生

回

答

(二)對照組的回饋 學生

回答 學生 回答

學生 回答

五、透過認知學徒制與小組加速教學，來促進數學寫作的學習成效

(一)課程中學生透過認知學徒制與小組加速教學增進三項統計表如下：

透過認知學徒制與小組加速教學 來促進數學寫作的學習成效

16.7%

83.3%

0.0% 0.0%

25%

75%

0% 0%

75%

25%

0% 0%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

相當符合 符合 不符合 相當不符合

更能體會團體合作是重要的 更讓你能反省的學習 更讓你能主動學習

(二)在具體經驗、概念統整、結構分析、解決問題與論證應用上各獲得

什麼幫助與啟示呢？

學

生

回

答

(三)從數學寫作至完成創作最想要說的一段話…

學 生 回 答

六、數學寫作活動-歷程學習成果量表【實驗組是紅色數據；對照組是黑色數據】

歷程學習成果

^已達

到

部分

達到 未達到

52.4% 40.5% 7.1%

1.在數學寫作活動中學會了數學理論發表的技巧。

30.8% 38.5% 30.7%

66.7% 28.6% 4.7%

2.在數學寫作活動中激發有更多的想法有助於問題解決。

41.0% 33.3% 25.7%

61.9% 35.7% 2.4%

3.在數學寫作活動中提昇自我察覺、欣賞能力，並特別是

能涵蓋人文、數理或藝術才能等領域。 38.5% 35.9% 25.6%

66.7% 28.6% 7.1%

4.在數學議題討論活動中可增進與釐清數學基本觀念。

46.2% 23.8% 30%

47.6% 42.9% 7.1%

5.在數學議題討論活動中可以提高我的學習成效。

41.0% 30.8% 28.2%

54.8% 35.7% 7.1%

6.在數學議題討論活動中提高我的學習動機。

43.6% 30.8% 25.6%

64.3% 31.0% 4.7%

7.在數學議題討論活動中我更積極參與討論。

28.2% 43.6% 28.2%

50.0% 42.9% 7.1%

8.在數學議題討論活動中使我更敢於發表個人想法。

23.8% 40.1% 35.2%

69.0% 28.6% 2.4%

9.在數學議題討論活動中覺得共同討論時是很有趣的。

53.8% 20.5% 25.7%

66.7% 26.2% 7.1%

10.在數學議題討論活動中激發創新思考與數學概念提昇。

48.7% 20.5% 30.8%

11.在數學議題討論活動中激發我有更多的想法有助於問 66.7% 28.6% 4.7%

題解決。 41.0% 33.3% 25.7%

64.3% 31.0% 4.7%

12.在最後成果當中，勇於向外探索並嘗試具有風險性的方

向或方法。 35.9% 33.3% 30.8%

52.4% 38.1% 7.1%

13.能將一新穎或獨特的想法、問題或形式延伸，並創造出

新的或跨領域的知識。 30.8% 35.9% 33.3%

由上表統計分析與教師回饋為瞭解數學就是要做數學，而從第 1~3 題實驗組平均 統計數據對數學寫作活動約 60%已達到其學習意涵，僅未達到有 2%~7%，明顯得 數學寫作學習歷程有助於幫助學生釐清他們的想法與觀念，並加深他們原有的觀 念：有助於學生組織與整理數學概念，聯結學生的直覺想法、數學語言、邏輯 思考與抽象符號，促進解決數學問題。然而公開發表中加入數學議題討論活動，

從第 4~11 題實驗組統計數據更有助於發展說理論證的語言數學歷程，更有效解 決問題歷程。從第 12~13 題實驗組統計數據在數學寫作活動後，更能觸動學生創 新思考的因子，也助於發展創新創作。上表觀察出各題平均統計數據未達到百分 比實驗組與對照組分別為 5.6%與 28.89%，明顯可得數學寫作活動歷程的學習成 效實驗組比對照組明顯大幅領先，因此數學寫作活動歷程是必要且重要的。

伍、結論、建議與未來展望

本研究透過情境認知理論的真實情境進行數學寫作 ，以促進解決數學問題實 施成效，精神在於學生培養閱讀數學與數學寫作的習慣，利用數學基本概念去糾 正的迷思概念，提昇數學溝通與表達能力，增強了數學概念理解與聯結至連貫，

而數學寫作發表活動是更能提昇數學溝通與表達能力，而進階數學寫作是激發學 生創新思考與建構知識的歷程，直到創新創作與獨特數學理論美的欣賞。

一、結論

(一)多元真實情境環境的深層內涵

本研究是透過參與生活情境中的非課程活動-師生互動Facebook與

NewMoodle學習平台與課程小組合作引導探究至研究，學生經由閱讀、觀察、參

與與獨立思考，不僅提高學習動機，在此環境不是在腦海中塞進一大堆抽象的符 號與文字，而真正掌握知識脈絡，以創造更佳的學習效果及學習遷移。

本研究在數學寫作活動後增加對數學的興趣相當符合占21.4%；符合占 78.6%，從此可知在數學寫作活動是達到增加對數學的興趣相當符合的。本研究 教師運用多元真實情境環境分為六階段深層內涵說明如表八：

表八：教師運用多元真實情境環境分為六階段深層內涵

階段一 階段二 階段三

製造認知情境：針對主題 的概念，設計真實的認知 情境學習，此階段重在培 養學習自主獨立思考，奠 定新舊數學概念。

主題引導：安排情境中出 現認知衝突的問題，教師 給予支援與解惑，此階段 重在澄清數學概念迷失，

也奠定數學研究脈絡階 段。

小組探究：針對問題來提 出各種不同的解決方法，

並真實論證產生最佳的方 法，此階段重在單一答案 轉變至思考數學問題到邏 輯推理及驗證定理化。

階段四 階段五 階段六

課程發表：各組發表該組 的寫作結果，接受其他同 學的質疑並進行澄清，得 到最完美作品，此階段重 在獨立的概念轉變至把數 學概念、理論和應用連接 並成說理論證的語言。

活動反省：各組發表完 後，共同比 較各組解法的 優缺點，並反省自己的解 法，進而得到更創新的思 維應用，此階段重在從計 算過程轉變至運用數學多 元創新思考推理的突破。

專家示範：老師或教授提 出更佳解法，並說出創新 思考的方向引導與歷程，

讓學生觀摩並比較和其他 解法間的差異，此階段重 在創新創作的美的欣賞。

(二)善用認知學徒制

本研究課程中學生透過認知學徒制與小組加速教學，以增進三項學習：重視 主動的學習、強調反省的學習與提倡團隊的學習其統計數據顯示相當符合與符合 占了百分之百，可見透過認知學徒制—示範、教導、提供鷹架並逐漸撤除、闡明、

反省和探究，師生共同解決數學問題，更能培養學生獨立思考及問題的解決者，

深信「認知學徒制」是一種教學新典範，如果能善加利用，對於提升的教學成果

來增進學生學習的效能，或是培育主動解決問題的人才，必定有其積極的功能與

價值。

(三)數學閱讀的重要性

數學是一門特殊的語言，閱讀數學書籍的特殊性，其具備符號化、邏輯化、

嚴謹性、抽象性。讀懂過程需較強的邏輯思維能力，靈活轉化把一個抽象的內容 轉化為具體的或較不抽象的內容，把用符號語言或圖示語言表述的關係轉化為文 字語言的形式、符號或圖式語言以及用自己的語言來理解定義或定理，所以學生 自主學習閱讀讀懂是有難度的，也與問卷數據呈現吻合，其讀懂內涵達70%以上 人數占17%，但讀懂內涵能60%~70%的人數占39%，而深信閱讀書籍重在探索知識，

激發潛能及創造思考的原動力，所以本研究設計六大活動能融入數學寫作教學之 中，更能帶動學生對數學問題的深思、辯證、推理及數學語言展現，有效的靈 活運用創新思考的創作。

(四)數學寫作的價值

本研究透過情境認知理論的真實情境，策動兩階段為「聞書解數」與「創新 思考」進行數學寫作，以促進解決數學問題，其數學寫作的價值如下說明：

1.寫作是清楚表達自己的數學概念

數學寫作的主要精髓所在是「學生能藉由數學寫作清楚表達自己的數學概 念，策動自己的思考邏輯」，透過數學寫作活動歷程，學生能將先前所擁有的數 學知識加以思考、整合、組織連結，再以學生能理解的表徵方式表達出其想法。

2.寫作是建構知識的活動

本研究進行數學寫作活動，每活動都是促使學生獨立思考、解釋、理解、省 思、回顧、組織、或連結數學至看到數學美的理論與應用。寫作活動如同口述思 考，促進學生學習者思考歷程的自我察覺、反省思考與主動建構知識的功能。

3.寫作促成後設認知能力的發展

弗里德曼曾說過： 「解題不能教會，只能靠自己學會。」本研究鼓勵數學寫

作中鼓勵學生藉著閱讀、再閱讀與重新檢驗已有的數學概念，深刻地對其所認知

的部分進行思考，並引導釐清重整學生的想法，將主題所適當的數學知識，加以

應用、組織、重整，學生屬於自我對話的階段，其歷程產生省思、分析或陳述活 動，將有助於後設認知能力的發展。

4.寫作是師生間的一種互動關係

本研究真實地從學生的數學寫作中，了解學生數學概念的理解層次，並明確 學生的迷思概念，再由教師引導回饋，學生立即瞭解，在師生互動小組探究歷程，

常常發展出彼此不同的思考觀點，也產生更多的學習機會，如此將成為師生良好 互動的關係的建立，有助於整體的學習。

5.寫作是聯絡不同表徵的活動

數學是一種說理論證的語言，善用溝通技巧才能突破學習數學的盲點，數學 寫作就是幫助學生自己聯絡各種不同數學概念的表徵，呈現具體物、圖像的、符 號的、語言文字的、算式與心理的表徵，學生在不同的表徵方式中自由的轉譯過 程中，就表示已真正瞭解數學概念的意義。

6.寫作是一種評量與診斷工具

教師藉閱讀學生的數學寫作中，可從文字題的解題或其他批判性的思考 訓練中，發現學生的迷失概念或另類想法或創新數學思考，來評估學生的認 知學習能力，診斷學生的學習狀況，可以讓教師得知自己教學是否有效，協 助教師教得更好，同時也可以幫助老師清楚地明瞭學生問題所在，更透過此 種溝通方式，幫助老師修正自己的教學模式，讓學生可以學得更好。

二、研究建議

(一)善用真實情境環境進行教學

善用真實情境環境進行教學的優點是在主動探索與小組合作下可感受真實

性，以使學生將所習得之知識立即運用在生活中；也可感受熟習特定知識間交織

性與連結性，使學生能一面學到解決問題的能力，教導學生對所做深入思考，有

利於學習遷移且學到應用至各情境之共同知識；進而過程中反思性與循環性，讓 數學概念不停地反覆奠定，使學生精益求精，促使發展潛在能力。

(二)重視數學寫作歷程

荷蘭的真實數學教育強調教育應該「引導」學生經由做數學而有「再發明」

數學的機會，是個「數學化」的過程，本研究很深刻體認教師在解決問題中，該 回歸數學本質上，重視數學讀寫能力，該用理解的方式來學習數學，不再強調正 確答案，而是注意學生的數學思考與創造力，能對問題能提出各種不同的觀點，

積極的在過去經驗與先前知識上建立新知，而重視學生個體、數學知識形成有意 義與推演論證的過程，培養學生真正的數學能力，而非強記的知識，此歷程即是 數學寫作的歷程。

(三)啟動數學寫作教學策略

1.珍視學生自然不完備的想法以增進學生對數學的信心

在學生學習歷程中，由於經驗不足或缺乏完整思慮來進行運算、符號或推 論，往往會導致對算則或符號的意義的不了解，因此數學寫作解題記錄的發展需 要循序漸進，加上具體推導過程，然後再逐步抽象化。

2.讓學生用自己的話推敲數學概念以回饋教師的教學

數學寫作是多重不同表徵與整合的活動，歷程中將口述思考的語言變成文字 的符號，常常中教學相長的，是整合也是回饋的。

3.要求學生說明自己的解題策略以了解其迷失概念

數學寫作不只是額外的作業，而是學生的學習中溝通方法，也是找尋學生迷 失的概念，乃是教學過程的整合的最佳方法。

4.讓學生自創解題程序以開啟數理邏輯能力

根據Piaget的理論，數理邏輯知識非存在於外在實體，而是由個人內心所創

的「關係」所組成，一般人錯以為此知識必須由他人傳授灌輸或由外在實物內化，

忽略了數理知識可由兒童與環境互動中創造而得。

5.讓學生利用表徵圖以以開啟解題之門

最好的解題方式是設計有用的表徵圖，當學生在解題的過程中，他們的工作 記憶區很容易超載，外在的表徵圖可以減輕這個負荷。

(四)啟動學生創新思考

學生學習必須重視創新思考、真實體驗與知識學習的連結，透過真實或似真 的學習情境安排，激發學生真實體驗，將抽象到具體的概念建構，進而引發其主 動投入的積極態度，讓學生在行動中實踐求知與反省，培養學生推理、後設認知 與問題解決的技巧。學生本身就是學習的主人，教師的目標導向，促使有效學習，

加上小組加速教學，學生透過彼此的探究對話，對話歷程也啟動學生創新思考歷 程，促進知識深廣度的學習，慢慢走入知識的殿堂，終可見創新創作。

三、教師專業成長與未來展望 (一)開啟閱讀數學語言歷程

美國心理學家L. Bloonfield說：「數學不過是語言所能達到的最高境界」。

而前蘇聯數學教育家斯托利亞爾亦說：「數學教學也就是數學語言的教學。」

深信未來社會除了具有的閱讀能力，已不再只是語文閱讀能力，而是一種以語文 閱讀能力為基礎，包括外語閱讀能力、數學閱讀能力、科技閱讀能力在內的綜合 閱讀能力。而英國數學家Keith Devlin認為：「數學讓不可見變成可見。」與愛因 斯坦： 「數學作為人類思想的產物，獨立於經驗之外，怎麼可能和現實世界配合 得如此天衣無縫？」所以閱讀數學語言是師生共同開發有深度天賦的能量來源。

(二)數學寫作是最佳的溝通工具

數學問題是數學建構的泉源及數學思考的工具，而數學解題被視為是一

個解決問題的情境，情境中需要用到一些數學概念、理論及科學方法等來解決問

題，即把數學解題歷程在數學活動進行最佳的方式。而數學是理性溝通的重要工

具，更強調透過溝通組織以加強學生的數學思考，把學生的數學想法清楚地傳達 給同儕、教師、和其他人以及用數學的語言來精確表達數學想法，而數學寫作就 是最佳的溝通工具，也是教師佳的一種教學有效評量與診斷工具。

(三)激發學生潛能與共享數學樂園

本研究在真實情境環境中，教師必須引發學生探究潛藏在關鍵問題與不停地 勉勵的話(如表九)，研究精神的脈絡，不僅讓教師提升專業知能，同時師生發揮 團隊合作精神，也深刻體會「同舟共濟」的真價值，燃燒生命共享師生的數學樂 園，促進創新創作與培植科技潛能人才。

表九：在真實情境環境中教師的勉勵的話

透過科技傳訊 教師勉勵

facebook

facebook

簡訊 你們很棒的，勇於接受結果吧！每篇作品都是老師的生命，

為它喜！為他泣！

(四)數學寫作是數學學習的基石

數學寫作對教師而言，是輔助教學與進一步瞭解學生數學學習效果的方法；

同樣地對學生而言，具有協助學生澄清他的想法，加深他對數學概念的理解，進

而幫助學生發展溝通的能力。而在真實情境環境中，讓學生體悟英國數學家Keith

Devlin所說： 「數學讓不可見變成可見。」的歷程，在解決問題中，不再強調單

一正確答案，而是串連建構知識歷程，發揮學生的數學思考與創造力，能對問題

能提出各種多元的觀點，是多元角度學習的歷程，激發獨立研究之潛能，培養創

新思考模式，提昇應用能力、科際知識整合及人際溝通合作能力，其所學經驗乃

無價之寶。

英國哲學家培根不但提出「知識就是力量」的名言，更說明閱讀良書的益處 是：「歷史，令人聰明；詩，令人機靈；數學，令人精巧；倫理，令人莊重；邏 輯、修辭，令人能說善道。」所以深信藉由推廣閱讀的習慣，能開啟學生智慧的 捷徑，進而引領學生懂得明辨是非、思考問題，同時更有能力活用應用知識來解 決問題。

本研究是進行數學寫作活動歷程中，期間遇到眾多的阻礙，秉持『同舟共濟，

創新思考』的信念，教師帶領學生親身實踐，共同體會數學寫作下創新創作數學 之美，如同人飲水般，點滴在心頭。活動中教師傳承學術的研究精神，透過不同 校內外競賽目標宗旨，努力專研學術創作的極品，閱讀眾多相關書籍與文章，期 盼數學種子終有一天長成生命的大樹，生生不息歌頌它的美好，特別寫下一首詩 與學生分享勉勵如下：

希望種子 ◎桔梗 2013.12.5 希望種子 潛藏在泥土裡 春來夏至 種下希望的心 相互享受 再見天日的喜悅

雨雪冷酷 曾經摧毀小小生命 春暖花開 喚醒種子希望之芽 春去又春回 沒有剝奪永恆希望 雨雪的冷酷 曾經成為水的滋潤 如今朝上呼吸 看到空前璀璨天空

今後種子 開出生命的煙花 日後種子 遨遊與自然常在 生生不息 歌頌著生命的大樹

數學寫作活動是傳承數學概念的理論化過程，深信終有一天必能萌生創新思考的

創作，真正走入學術知識殿堂。

陸、參考文獻

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