第七章 能量守恆(習題詳解) 5.

第七章 能量守恆(習題詳解)

5.某質量為 m 的物體，分別沿著兩條路線從點 1 移動到點 2 如圖 7.14 所示，

試分別計算摩擦力對此物體所做的功，已知摩擦係數𝜇在平面上為固定值。

(註：本圖位於水平面上) 解:

𝑓_𝑘= 𝜇_𝑘𝑚𝑔𝐿 𝑊 = 𝑓⃗⃗⃗ ∙ 𝑑 = −𝜇_{𝑘 𝑘}𝑚𝑔𝑑 (a)

𝑊_𝑎 = −𝜇_𝑘𝑚𝑔𝐿 + (−𝜇_𝑘𝑚𝑔𝐿) = −2𝜇_𝑘𝑚𝑔𝐿 (b)

位移 𝑠 = √𝐿²+ 𝐿² = √2𝐿

𝑊_𝑏= −𝜇_𝑘𝑚𝑔𝑠 = −√2𝜇_𝑘𝑚𝑔𝐿

6.現在假設圖 7.14 位於垂直面上，當某物體分別沿著圖中兩條路線從點1移動 到點2，試分別計算重力對此物體所做功。

解:

(a)

𝑊_𝑎= 𝐹⃗⃗⃗ ˙𝑆_𝑔 ⃗⃗⃗ + 𝐹₁ ⃗⃗⃗ ˙𝑆_𝑔 ⃗⃗⃗ ₂

= −𝑚𝑔𝐿 + 0 = −𝑚𝑔𝐿 (b)

𝑊_𝑎 = 𝐹⃗⃗⃗ ˙𝑆 _𝑔

= 𝑚𝑔(√2𝐿) cos 135˚

= −𝑚𝑔𝐿

10.一架質量為 10,000 kg 之海軍噴射機降落在航空母艦上時，抓住一條鋼索以 減低滑行的速率，鋼索連結到彈性常數為 k ＝ 40 kN/m 的彈簧，如果彈簧 伸長了 25 m 時飛機停住，則飛機降落時的速率為多少？

解:

飛機減少的動能=彈簧增加的位能 1

2𝑚𝑣₀² =1 2𝑘𝑥²

∴ 𝑣₀ = √𝑘

𝑚𝑥 = √40 × 10³

10000 × 25 m s⁄ = 50 m s⁄

14.一個粒子沿著光滑的軌道從靜止開始，從 A 點靜止開始滑動，如圖 7.15 所 示，求它 (a) 在 B 點的速率，(b) 在 C 點的速率，(c) 在曲線右邊之轉折 點的大概位置。

解:

(a)

由機械能守恆:

1

2𝑚𝑣_𝐴²+ 𝑚𝑔𝑦_𝐴 =1

2𝑚𝑣_𝐵²+ 𝑚𝑔𝑦_𝐵

∴ 𝑣_𝐵 = √2𝑔(𝑦_𝐴 − 𝑦_𝐵)

=√2 × 9.8 × (3.8 − 2.6) m s⁄ = 4.9 m s⁄ (b)

同理

𝑣_𝐶 = √2𝑔(𝑦_𝐴− 𝑦_𝐶)

=

折返點的高度為 3.8m (即同 A 點高度)，大約在 x≈11m。

20.在光滑的水平面上，質量為 200 g 的木塊於兩彈簧之間來回滑動，如圖 7.16 所示，左邊彈簧的彈性常數為 k ＝ 130 N/m， 最大壓縮量為 16 cm， 右 邊彈簧則為 k ＝ 280 N/m，求 (a) 右邊彈簧之最大壓縮量，(b) 木塊在兩 彈簧之間的速率。

解:

(a)

左邊彈簧的彈性位能全部傳到右邊彈簧 1

2𝑘₁𝑥₁² = 1 2𝑘₂𝑥₂²

𝑥₂ = √𝑘₁

𝑘₂𝑥₁ = √130

280× 0.16m = 0.11m ≈ 11cm (b)

彈簧的位能全部轉換成木塊動能

1

2𝑘₁𝑥₁² = 1 2𝑚𝑣²

∴ 𝑣 = √𝑘₁

𝑚𝑥₁ = √130

0.2 × 0.16 m s⁄ = 4.1 m s⁄

23.一個木塊沿著斜坡滑下，再接到翻筋斗迴圈滑行，如圖 7.17 所示，求木塊 從靜止開始滑行而可以繞行一圈之最低高度 h。

解:

由牛頓第二運動定律

∑𝐹 = 𝑚𝑎 𝑚𝑔 + 𝑛 = 𝑚𝑣²

𝑅

𝑣² = 𝑅

𝑚(𝑚𝑔 + 𝑛) ≥ 𝑔𝑅 = 𝑣_𝑚𝑖𝑛² (當 n = 0 時，速度有最小值𝑣_𝑚𝑖𝑛 = √gR)

由機械能守恆

𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔(2𝑅) +¹₂𝑚𝑣² ℎ= 1

𝑔(2𝑔𝑅 +1

2𝑣²) ≥ 1

𝑔[2𝑔𝑅 +1

2(√𝑔𝑅)²] =5 2𝑅

32.一個小孩從高度為 7.2 m 的光滑斜坡滑溜下來，底部為水平之粗糙表面，其 動摩擦係數為 0.51，求她在水平面滑行的距離。

解:

∆𝑈 + ∆𝐾 = 𝑊_𝑛𝑐

−𝑚𝑔ℎ + 0 = −𝜇_𝑘𝑚𝑔𝑥 𝑥 = ℎ

𝜇_𝑘 = 7.2

0.51m = 14m