台南一中106學年度第一學期第二次段考高二數學科 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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台南一中 106 學年度第一學期第二次段考高二數學科

--- 第一部分：填充題

1. 設A(7, 4)、B(1, 2)、C(3, 2)− ，則∆ABC過B點的高所在直線方程式為__________

(答案以ax by c+ + =0表示)

2. 坐標平面有兩點A(2, 0)、B(0, 3)− ，直線L與AB

平行且通過P( 1, 2)− ，則直線L的方程式為__________ (答案以ax by c+ + =0表示)

3. 設一圓圓心A(3,1)，且與直線x− + =y 2 0相切，求此圓方程式__________

4. 圓C上有一弦AB，過AB上一點P作AB垂線交圓C於Q點，已知PA=4、PB=6、PQ=12，求圓C的半徑=__________ (hint：可利用坐標先求圓方程式)

5. 已知三直線L y₁: =1、L₂: 2x− − =y 4 0、L₃: 3x+2y+ =5 0圍成一三角形∆ABC，已知 (2 1, 2)

P k+ k− 點在∆ABC內部(不含邊界)，則實數k的範圍為__________

6. 一中學生會販售校慶紀念品”紀念帆布袋”及”紀念背包”，售價分為100元、150元，數學科老師決定購買此兩項紀念品以獎勵第二次段考數學成績優秀同學，其中紀念背包個數不得低於2個，

且為了增加獎品個數，紀念帆布袋個數至少為紀念背包個數2倍。目前數學科老師的預算不超過 2000元，且提供至少1000元經費，試問會有__________種購買紀念品的方法

(2)

7. 設( , )a b 為圓C x: ² +y²−2x−2y+ =1 0上的動點，試求 (a−4)²+ +(b 3)² 的最大值__________

8. 坐標平面有兩點A(5,1)、B( 3, 5)− ，若k為整數且使圓C x: ²+ + − + =y² 4x 2y k 0與AB線段有兩個交點，則所有可能k值總和為__________

9. 過A(3,1)與圓C x: ²+ y²−12x−6y+36=0相切的直線有兩條，其中有一條方程式為x=3，另一條直線方程式斜率為__________

10.兩實數a<b，Ω表聯立不等式 2

5 7

a x y b x y

≤ − ≤

− ≤ + ≤

 ^{所圍成區域，}P x y( , )在Ω上，若− +2x 3y最大值為6、最小值為−25，則數對( , )a b 為__________

11.直線L y: − =3 m x( +1)與圓C x: ²+ y²−2x+12y−84=0交於A、B兩點，隨著 m 可得不同直線 L，則使AB弦長度為整數值的直線L有__________條

12.平面直角坐標∆ABC中， BAC∠ 內角角平分線為x= ， ABC4 ∠ 內角角平分線為x− = − ，已知 (8,3)y 1 C ，則A、B坐標各為__________

第二部分：多重選擇題：

( )13.如圖，四邊形ABCD 中，∠ADC = ∠BCD= ° 、90 ∠BCO= ° 、 25 AD<BC， C 位於 x 軸正向，若 AB



_、_BC



_、_CD



_{、 DA}



_{之斜率分別}

為m 、₁ m 、₂ m 、₃ m ，下列那些敘述正確？ ₄

(1)m m₂ ₃ = − (2)1 m m₁ ₄ > − (3)1 m m m m₁ ₂ ₃ ₄ > (4)0 ₄ 1 3

m > − (5)m₂+m₃+m₄ < 0

( )14.在平面直角坐標中，一直線 : 3L x−2y=155及三相異點 (90,80)A 、 (100,50)B 、 (110, 65)C ，則下列哪些敘述正確？

(1)直線L斜率為²

3 (2)直線L與 AB 線段有交點 (3)直線L與BC



_{直線有交點}

(4) ( , )P a b 在 ABC∆ 內部(含邊界)上，且 3a−2b≥155，則P點所形成區域為一梯形

(5) ( , )P a b 在 ABC∆ 內部(含邊界)上，且 3a−2b≤155則P點所形成區域面積= ABC∆ 面積 ¹

×4 O

B D

C A

B C(8, 3)

A

(3)

( )15.Ω表多邊形 ABCDEFG 所圍成內部的區域(含邊界)，其頂點坐標 如圖所示且以x= 為對稱軸，5 P點在FG上 ( , )x y 為Ω上的點，

目標函數 ax by+ 則下列敘述哪些正確？

(1)存在實數a 、 b 使得 ax by+ 最大值可能發生在E點

(2) ax by+ 的最小值發生在B點，則 ax by+ 最大值可能發生在F點 (3) ax by+ 的最小值發生在P點，則 ax by+ 最大值發生在A點 (4) ax by+ 的最大值發生在F點，則a> 且0 b< 0

(5) ax by+ 的最大值唯一發生在F點，則 bx ay− − 最大值發生在A點 ( )16.在平面直角坐標中，下列哪些條件可決定唯一的圓方程式？

(1)通過三點 ( 3,1)A − 、 (1, 0)B 、 (5, 1)C − 的圓

(2)通過四邊形ABCD 頂點的圓，其中 (3, 4)A 、 ( 4,3)B − 、 ( 3, 4)C − − 、 (4, 3)D − (3)圓心在第一象限，與x 軸、y軸及直線 3x+4y=2017均相切的圓

(4)通過兩點 ( 3, 2)A − 、 (0, 6)B 且圓心在直線 4x−3y=2017上 (5)通過兩點 ( 3, 2)A − 、 (0, 6)B 且圓心在直線 3x+4y=2017上。

第三部分：計算題

17.A為圓C x₁: ²+y²+2x−4y− = 上的動點，4 0 B為圓C₂:x²+ − − − = 上的動點，y² 4x 6y 12 0 P為直線 :L x− − = 上的動點，兩線段 PA PBy 3 0 + 長度和最小值為何？

(1)圓C 、圓₁ C 之圓心及半徑各為何？ ₂

(2)將圓C 對直線₁ L取對稱圖形，則對稱圖形方程式為何？

(3)兩線段PA PB+ 長度和最小值為何？

18.某建設公司購買一塊1440 坪的建築土地後，用以興建甲、乙兩種類型透天房屋，其中：甲型房屋每棟：占地 30 坪、樓地板面積120 坪、建築費及其他花費1仟萬元、售價1.8 仟萬元；乙型房屋每棟：占地 45 坪、樓地板面積 90 坪、建築費及其他花費1仟萬元、售價1.7 仟萬元。因相關法規導致樓地板總面積不得超過 4320 坪，基於預算建築及其他費用總經費不得超過 38 仟萬元。若全數房屋均以售價可賣出，則建築公司如何興建兩類型透天房屋可獲利最大？

(1)興建甲型屋x 棟、乙型屋y棟，請寫下含x≥ 、0 y≥ 必須滿足不等式組 0 (2)畫出滿足(1)可行解區域的圖形。

(3)請寫出獲利目標函數。

(4)兩類型透天房屋各應興建幾棟才可獲利最大利潤？

(0,8) A

(2, 2)

(3, 4) E(7, 4) (10,8) G

(5, 1) D −

(8, 2) F

P y

x 5

x=

(4)