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0930 三角函數 學測歷屆試題 班級 姓名 座號 一、單選題 (10 題 每題 10 分 共 100 分)

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Academic year: 2022

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(1)

( )1.令 a  cos

2﹐試問下列哪一個選項是對的﹖ (1)a   1 (2) 1 1 a 2

    (3) 1 2 a 0

   (4) 1

0 a 2 (5)1

2 a 1﹒

【98 學測】

( )2.試問共有幾個角度

滿足 0 

 180﹐且 cos(3

 60)﹐cos3

﹐cos(3

 60)依序成一等差數列﹖ (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)5 個﹒

【107 學測】

( )3.令 a  cos(

2)﹐試問下列哪一個選項是對的﹖ (1)a   1 (2)  1  a  1

2 (3) 1

  a  0 (4)0  a 2 1

2 (5)1

2 a  1﹒

【98 學測】

( )4.莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球﹒在上午 10:00 熱氣球的仰角為 30﹐到上午 10:10 仰角變成 34﹒請利用下表判斷到上 午 10:30 時﹐熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數? (1)39 (2)40 (3)41 (4)42 (5)43﹒

30 34 39 40 41 42 43

sin

0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 cos

0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 tan

0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933

【102 學測】

( )5.下圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形﹐且OD8﹒問﹕直角三角形 OAB 的高 AB 為何﹖ (1)1 (2) 6 2 (3) 71 (4) 3 (5)2﹒

A O

D

30 15 15 8

B C

o o

o

【學測】

( )6.廣場上插了一支紅旗與一支白旗﹐小明站在兩支旗子之間﹒利用手邊的儀器﹐小明測出他與正東方紅旗間的距離為他與正西方白 旗間距離的 6 倍﹔小明往正北方走了 10 公尺之後再測量一次﹐發現他與紅旗的距離變成他與白旗距離的 4 倍﹒試問紅白兩旗之 間的距離最接近下列哪個選項﹖ (1)60 公尺 (2)65 公尺 (3)70 公尺 (4)75 公尺 (5)80 公尺﹒

【學測】

( )7.試問有多少個實數 x 滿足 3 2 x 2

 

且 cosx  cosx ﹖ (1)0 個 (2)1 個 (3)2 個 (4)4 個 (5)無窮多個﹒

【106 學測】

( )8.在坐標平面上有一橢圓﹐它的長軸落在 x 軸上﹐短軸落在 y 軸上﹐長軸﹑短軸的長度分別為 4﹐2﹒如圖所示﹐通過橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45的直線在第一象限跟橢圓相交於 P﹐則此交點 P 與中心 O 的距離為 (1)1.5 (2) 1.6 (3) 2 (4) 2.5 (5) 3.2 ﹒

x y

O 45o

P

【學測】

( )9.請問 sin73﹐sin146﹐sin219﹐sin292﹐sin365這五個數值的中位數是哪一個﹖ (1)sin73 (2)sin146 (3)sin219 (4)sin292

(5)sin365﹒

(2)

【105 學測】

( )10.假設甲﹑乙﹑丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里﹒兩條筆直的公路交於丁鎮﹐其中之一通過甲﹑乙兩鎮而另一通過丙鎮﹒今在 一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 45﹐則丙﹑丁兩鎮間的距離約為 (1)24.5 公里 (2)25 公里 (3)25.5 公里 (4)26 公里 (5)26.5 公里﹒

【98 學測】

二、多選題 (9 題 每題 9 分 共 81 分)

( )1.下列哪些方程式有實數解﹖ (1)x3  x  1  0 (2)2x  2  x  0 (3)log2x  logx2  1 (4)sinx  cos2x  3 (5) 9 4sin 3cos

xx 2﹒

【99 學測】

( )2.在坐標平面上﹐廣義角

的頂點為原點 O﹐始邊為 x 軸的正向﹐且滿足 2

tan

3﹒若

的終邊上有一點 P﹐其 y 坐標為  4﹐則 下列哪些選項一定正確﹖ (1)P 的 x 坐標是 6 (2)OP2 13 (3) 3

cos

 13 (4)sin2

 0 (5) cos 0 2

【101 學測】

( )3.最近數學家發現一種新的可以無縫密鋪平面的凸五邊形 ABCDE﹐其示意圖如下﹒關於這五邊形﹐請選出正確的選項﹒ (1)AD2 2 (2)DAB  45 (3)BD2 6 (4)ABD  45 (5)△BCD 的面積為 2 2 ﹒

105°

90° 2 2

6 2

4 D 2

E

A B

C

【106 學測】

( )4.已知 2

sin

 3且 cos

 0﹐請問下列哪些選項是正確的﹖ (1)tan

 0 (2) 2 4

tan

9 (3)sin2

 cos2

(4)sin2

 0 (5)標準位置

與 2

的終邊位在不同的象限﹒

【100 學測】

( )5.在△ABC 中﹐已知A  20﹐AB5﹐BC4﹒請選出正確的選項﹒ (1)可以確定B 的餘弦值 (2)可以確定C 的正弦值 (3) 可以確定△ABC 的面積 (4)可以確定△ABC 的內切圓半徑 (5)可以確定△ABC 的外接圓半徑﹒

【105 學測】

( )6.試問下列哪些選項中的數是有理數﹖ (1)3.1416 (2) 3 (3)log10 5log10 2 (4)sin15 cos15 cos15 sin15

 

  (5)方程式 x3  2x2  x  1  0 的唯一實根﹒

【98 學測】

( )7.設

1

2

3

4分別為第一﹑第二﹑第三﹑第四象限角﹐且都介於 0 與 2

之間﹒已知|cos

1|  |cos

2|  |cos

3|  |cos

4| 1

3﹐請問

下列哪些選項是正確的﹖ (1) 1 4

(2)

1

2

(3) 3 1

cos

 3 (4) 4 2 2

sin

 3 (5) 4 3 2

【99 學測】

( )8.在△ABC 中﹐已知 50  A  B  60﹒試選出正確的選項﹒ (1)sinA  sinB (2)sinB  sinC (3)cosA  cosB (4)sinC  cosC (5) ABBC

【108 學測】

( )9.若 0

4

 

  ﹐試問以下哪些選項恆成立﹖ (1)sin

 cos

(2)tan

 sin

(3)cos

 tan

(4)sin2

 cos2

(5) 1 tan tan

2 2

(3)

1.坐標平面上﹐以原點 O 為圓心的圓上有三個相異點 A(1,0)﹐B﹐C﹐且 AB BC﹒已知銳角三角形 OAB 的面積為 3

10﹐則△OAC 的面積為 ____________﹒(化為最簡分數)

【學測】

2.如圖所示﹐ABCD 為圓內接四邊形﹒若DBC  30﹐ABD  45﹐CD6﹐則線段 AD____________﹒

A

B

C D

【學測】

3.在△ABC 中﹐若 D 點在 BC 邊上﹐且AB7﹐AC13﹐BD7﹐CD8﹐則 AD____________﹒

【學測】

4.如圖所示(只是示意圖)﹐將梯子 AB 靠在與地面垂直的牆 AC 上﹐測得與水平地面的夾角ABC 為 60﹒將在地面上的底 B 沿著地面向外拉 51 公分到點 F(即FB51公分)﹐此時梯子 EF 與地面的夾角EFC 之正弦值為 sinEFC  0.6﹐則梯子長 AB____________公分﹒

A E

F B C

【107 學測】

5.小鎮 A 距離一筆直道路 6 公里﹐並與道路上的小鎮 B 相距 12 公里﹒今欲在此道路上蓋一家超級市場使其與 A﹑B 等距﹐則此超級市場與 A 的 距離須為____________公里﹒(化為最簡根式)

【103 學測】

6.設圓 O 之半徑為 24﹐OC26﹐OC 交圓 O 於 A 點﹐CD 切圓 O 於 D 點﹐B 為 A 點到 OD 的垂足﹐如下圖﹐則 AB____________﹒(化為最 簡分數)

A

O B

C D

【103 學測】

7.在△ABC 中﹐AB10﹐AC9﹐ 3

cosBAC8﹒設點 P﹐Q 分別在邊 AB ﹐ AC 上使得△APQ 之面積為△ABC 面積之一半﹐則 PQ 之最小可 能值為____________﹒(化成最簡分數)

【98 學測】

8.四邊形 ABCD 中﹐AB1﹐BC5﹐CD5﹐DA7﹐且DAB  BCD  90﹐則對角線 AC 長為____________﹒

【100 學測】

9.如圖﹐老王在平地點 A 測得遠方山頂點 P 的仰角為 13﹒老王朝著山的方向前進 37 公丈後來到點 B﹐再測得山頂點 P 的仰角為 15﹒則山高 約為____________公丈﹒

(四捨五入至個位數﹐tan13  0.231﹐tan15  0.268)

(4)

【104 學測】

10.如下圖﹐直角三角形 ABD 中﹐A 為直角﹐C 為 AD 邊上的點﹒已知BC6﹐AB5﹐ABD  2ABC﹐則 BD____________﹒(化成最 簡分數)

C A D

B

【99 學測】

11.在邊長為 13 的正三角形 ABC 上各邊分別取一點 P﹑Q﹑R﹐使得 APQR 形成一平行四邊形﹐如下圖所示﹕

A

B C

P

Q R

若平行四邊形 APQR 的面積為 20 3 ﹐則線段 PR 的長度為____________﹒

【101 學測】

12.如下圖所示﹐在△ABC 中﹐BAC 的平分線 AD 交對邊 BC 於 D﹔已知BD3﹐DC6﹐且 ABAD﹐則 cosBAD 之值為____________﹒

(化成最簡分數)

A

B D C

o o

【學測】

13.設 cos

 3sin

 2﹐且 0 

 90﹐求 cos

 sin

 ____________﹒

【學測】

14.工匠在窗子外邊想做一個圓弧型的花臺﹐此花臺在窗口的中央往外伸出 72 公分﹐窗的口寬度是 168 公分﹐則此圓弧的圓半徑為____________

公分﹒

72公分

168公分

【學測】

15.下圖為汽車迴轉示意圖﹒汽車迴轉時﹐將方向盤轉動到極限﹐以低速讓汽車進行轉向圓周運動﹐汽車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉半 徑﹐如圖中的 BC 即是﹒已知在低速前進時﹐圖中 A 處的輪胎行進方向與 AC 垂直﹐B 處的輪胎行進方向與 BC 垂直﹒在圖中﹐已知軸距 AB 為

2.85 公尺﹐方向盤轉到極限時﹐輪子方向偏了 28 度﹐試問此車的迴轉半徑 BC 為____________公尺﹒

(小數點後第一位以下四捨五入﹐sin28  0.4695﹐cos28  0.8829)

(5)

17.在△ABC 中﹐M 為 BC 邊之中點﹐若AB3﹐AC5﹐且BAC  120﹐則 tanBAM  ____________﹒(化成最簡根式)

【學測】

18.某人隔河測一山高﹐在 A 點觀測山時﹐山的方位為東偏北 60﹐山頂的仰角為 45﹐某人自 A 點向東行 600 公尺到達 B 點﹐山的方位變成在 西偏北 60﹐則山有____________公尺﹒

【學測】

19.設銳角三角形 ABC 的外接圓半徑為 8﹒已知外接圓圓心到 AB 的距離為 2﹐而到 BC 的距離為 7﹐則 AC____________﹒(化成最簡根式)

【102 學測】

20.如圖﹐正△ABC 的邊長為 1﹐並且1  2  3  15﹒已知 6 2 sin15

4

   ﹐則正△DEF 的邊長為____________﹒(化為最簡根式)

A A

B C

D

E F

1

2

3

【103 學測】

21.如圖(此為示意圖)﹐在△ABC 中﹐AD 交 BC 於 D 點﹐BE 交 AD 於 E 點﹐且ACB  30﹐EDB  60﹐AEB  120﹒若CD15﹐ED7﹐ 則 AB____________﹒

60°

30°

7

15 A

C

D 120° B E

【108 學測】

參考文獻

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