0930 三角函數 學測歷屆試題 班級 姓名 座號 一、單選題 (10 題 每題 10 分 共 100 分)
（ ）1.令 a cos
2﹐試問下列哪一個選項是對的﹖ (1)a 1 (2) 1 1 a 2 (3) 1 2 a 0
(4) 1
0 a 2 (5)1
2 a 1﹒
【98 學測】
解答 2
解析 a cos
2 cos9.86﹐
2 3.14 3.14 9.86 為第三象限角﹐且 10 3 9.86
3
﹐∴ 1
1 a 2
﹐故選(2)﹒
（ ）2.試問共有幾個角度
滿足 0
180﹐且 cos(3
60)﹐cos3
﹐cos(3
60)依序成一等差數列﹖ (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)5 個﹒【107 學測】
解答 3
解析 因為 cos(3
60)﹐cos3
﹐cos(3
60)成等差數列﹐所以 cos(3
60) cos(3
60) 2cos3
﹒利用和角公式展開﹐得(cos3
cos60 sin3
sin60) (cos3
cos60 sin3
sin60) 2cos3
﹐ 整理得 2cos3
cos60 2cos3
cos3
0﹒因為 0
180 0 3
540﹐所以 3
90﹐270﹐450
30﹐90﹐150﹒故選(3)﹒
（ ）3.令 a cos(
2)﹐試問下列哪一個選項是對的﹖ (1)a 1 (2) 1 a 12 (3) 1
a 0 (4)0 a 2 1
2 (5)1
2 a 1﹒
【98 學測】
解答 2
解析 a cos(
2) cos(9.86)﹐
2 3.14 3.14≒9.86 為第三象限角且 3
9.86 103
﹐∴ 1 a 12﹐ 故選(2)﹒
（ ）4.莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球﹒在上午 10：00 熱氣球的仰角為 30﹐到上午 10：10 仰角變成 34﹒請利用下表判斷到上 午 10：30 時﹐熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數？ (1)39 (2)40 (3)41 (4)42 (5)43﹒
30 34 39 40 41 42 43sin
0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 cos
0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 tan
0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933【102 學測】
解答 3
解析 如圖﹐設底邊為 1﹐10：00 時熱氣球高 a﹐10：10 升高 x﹐
則 10：30 再升高 2x﹒因為 tan 30 0.577 tan 34 0.675 a
a x
﹐
所以 x 0.675 0.577 0.098﹒因此﹐
a 3x 0.577 3 0.098 0.871 tan41﹒
故選(3)﹒
30°34°
2x x a
1
（ ）5.下圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形﹐且OD8﹒問﹕直角三角形 OAB 的高 AB 為何﹖ (1)1 (2) 6 2 (3) 71 (4) 3 (5)2﹒
A O
D
30 15 15 8
B C
o o
o
【學測】
解答 4
解析 △OCD 中﹐OC4 3﹐
△OBC 中﹐OBOCcos15 4 3 cos15﹐
△OAB 中﹐ABOBsin15 (4 3 cos15 ) sin15 2 3(2sin15cos15 ) 2 3 sin 30 1
2 3 3
2 ﹐ 故選(4)﹒
（ ）6.廣場上插了一支紅旗與一支白旗﹐小明站在兩支旗子之間﹒利用手邊的儀器﹐小明測出他與正東方紅旗間的距離為他與正西方白 旗間距離的 6 倍﹔小明往正北方走了 10 公尺之後再測量一次﹐發現他與紅旗的距離變成他與白旗距離的 4 倍﹒試問紅白兩旗之 間的距離最接近下列哪個選項﹖ (1)60 公尺 (2)65 公尺 (3)70 公尺 (4)75 公尺 (5)80 公尺﹒
【學測】
解答 1
解析 如圖﹐設AW x﹐則AR6x﹐
2 2 2 2
(6 ) 10 36 100
BR x x ﹔BW2x2102 x2100﹐
∵BR4BW﹐∴BR216BW2
36x2 100 16(x2 100) x2 75 x 5 3﹐ 紅白兩旗之間的距離為7x35 360.6公尺﹐故選(1)﹒
x A
W 6x
10 B
R
（ ）7.試問有多少個實數 x 滿足 3 2 x 2
且 cosx cosx ﹖ (1)0 個 (2)1 個 (3)2 個 (4)4 個 (5)無窮多個﹒
【106 學測】
解答 1
解析 因為
3.14﹐所以 1.57 2
﹐3 2 4.71
﹐即 x約介於 1.57與 4.71之間﹐因此 cosx 0﹒
又因為2
弧度 3x 2
弧度﹐所以 cosx 0 或 cosx 0﹒於是 cosx恆大於 cosx﹒故選(1)﹒
（ ）8.在坐標平面上有一橢圓﹐它的長軸落在 x 軸上﹐短軸落在 y 軸上﹐長軸﹑短軸的長度分別為 4﹐2﹒如圖所示﹐通過橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45的直線在第一象限跟橢圓相交於 P﹐則此交點 P 與中心 O 的距離為 (1)1.5 (2) 1.6 (3) 2 (4) 2.5 (5) 3.2 ﹒
x y
O 45o
P
【學測】
解答 2
解析 OP斜角 45﹐故 P 點坐標可設成(t,t)﹐t 0﹐
又 P 在
2 2
4 1 1
x y 上﹐故
2 2
4 1 1
t t ﹐t 0﹐解得 4
t 5 ﹐（ ）9.請問 sin73﹐sin146﹐sin219﹐sin292﹐sin365這五個數 值的中位數是哪一個﹖ (1)sin73 (2)sin146 (3)sin219 (4)sin292 (5)sin365﹒
【105 學測】
則 4 8
2 1.6
5 5
OP ﹐故選(2)﹒
解答 5
解析 利用換算公式﹐將角度化為銳角﹐得 sin146 sin(180 34) sin34﹐
sin219 sin(180 39) sin39﹐
sin292 sin(360 68) sin68﹐
sin365 sin(360 5) sin5﹒
因為在 0～90的範圍內﹐正弦值為正且角度愈大值愈大﹐
所以 sin73 sin146 sin365 sin219 sin292﹒
得知中位數為 sin365﹐故選(5)﹒
（ ）10.假設甲﹑乙﹑丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里﹒兩條筆直的公路交於丁鎮﹐其中之一通過甲﹑乙兩鎮而另一通過丙鎮﹒今在 一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 45﹐則丙﹑丁兩鎮間的距離約為 (1)24.5 公里 (2)25 公里 (3)25.5 公里 (4)26 公里 (5)26.5 公里﹒
【98 學測】
解答 1
解析 △ACD 中1 120﹐2 45﹐AC20﹐
由正弦定理知 20 20 3
10 6 24.5 sin 45 sin120 2
CD CD
﹐故選(1)﹒
D(丁)
B(乙) C(丙)
A(甲)
20 1
2
二、多選題 (9 題 每題 9 分 共 81 分)
（ ）1.下列哪些方程式有實數解﹖ (1)x3 x 1 0 (2)2x 2 x 0 (3)log2x logx2 1 (4)sinx cos2x 3 (5) 9 4sin 3cos
x x 2﹒
【99 學測】
解答 15
解析 (1)○﹕三次實係數方程式至少有一實根 (2)╳﹕2x 2 x 2﹐∴2x 2 x 0 無解 (3)╳﹕令 t log2x﹐原式 1 2
1 1 0
t t t
t ﹐又 D 0﹐∴無實根 (4)╳﹕sinx 1﹐cos2x 1﹐∴sinx cos2x 2﹐∴sinx cos2x 3 無解 (5)○﹕ 5 4sinx 3cosx 5﹐∴ 9
4sin 3cos
x x2必有實數解 故選(1)(5)﹒
（ ）2.在坐標平面上﹐廣義角
的頂點為原點 O﹐始邊為 x 軸的正向﹐且滿足 2tan
3﹒若
的終邊上有一點 P﹐其 y 坐標為 4﹐則下列哪些選項一定正確﹖ (1)P 的 x 坐標是 6 (2)OP2 13 (3) 3 cos
13
(4)sin2
0 (5) cos 0 2
【101 學測】
解答 24
解析 ∵ 2
tan
3﹐又
終邊的 P 點﹐y 坐標為 4∴
在第三象限(1)╳﹐ 2 4
tan 3 y x x
x 6∴ P 的 x 坐標為 6 (2)○﹐OP 4262 522 13
(3)╳﹐ 6 3
cos 2 13 13
x OP
(4)○﹐ 4 6
sin 2 2sin cos 2( )( ) 0 2 13 2 13
(5)╳﹐180 360k
270 360k﹐k90 180 135 180
k
2 k ﹐k
當 k 0 時﹐
2
在第二象限﹐cos 0 2
當 k 1 時﹐
2
在第四象限﹐cos 0 2
故選(2)(4)
（ ）3.最近數學家發現一種新的可以無縫密鋪平面的凸五邊形 ABCDE﹐其示意圖如下﹒關於這五邊形﹐請選出正確的選項﹒ (1)AD2 2 (2)DAB 45 (3)BD2 6 (4)ABD 45 (5)△BCD 的面積為 2 2 ﹒
105°
90°
2 2
6 2
4 D 2
E
A B
C
【106 學測】
解答 14
解析 (1)利用畢氏定理﹐得AD 2222 2 2﹒ (2)DAB 105 45 60﹒
(3)利用餘弦定理﹐得
2 ( 6 2)2 (2 2)2 2( 6 2)(2 2)cos60
BD
(8 4 3) 8 (4 3 4) 12 ﹐
即BD2 3﹒ (4)利用正弦定理﹐得
2 3 2 2 3
2 3 sin 2 2
sin 60 sin ABD 2
ABD
﹐
解得 2
sinABD 2 ﹐即ABD 45﹒
(5)在△BCD 中﹐因為4222(2 3)2﹐ 所以△BCD 為直角三角形﹐其面積為2 2 3
2 2 3
﹒
故選(1)(4)﹒
45°
90°
60°
2 3 2 2 2 2
6 2
4 D 2
E
A B
C
（ ）4.已知 2
sin
3且 cos
0﹐請問下列哪些選項是正確的﹖ (1)tan
0 (2) 2 4tan
9 (3)sin2
cos2
(4)sin2
0 (5)標準位置 角
與 2
的終邊位在不同的象限﹒【100 學測】
解答 12 解析 2
sin
3﹐且 cos
0﹐∴
在第四象限 (1)○﹕∵
在第四象限﹐∴tan
0(2)○﹕ 2
tan
5 ﹐ 2 4 4 tan
5 9(3)╳﹕ 2 4
sin
9﹐ 2 2 5 cos 1 sin
9﹐∴sin2
cos2
(4)╳﹕ 2
sin
3﹐ 5cos
3 ﹐ 2 5 4 5sin 2 2sin cos 2( )( ) 0
3 3 9
(5)╳﹕ 2 5 1
cos 2 2cos 1 2( ) 1 0
9 9
﹐∵sin2
0﹐cos2
0﹐∴2
在第四象限﹐又
也在第四象限﹐∴
與 2
的終邊位於相同的象限 故選(1)(2)﹒（ ）5.在△ABC 中﹐已知A 20﹐AB5﹐BC4﹒請選出正確的選項﹒ (1)可以確定B 的餘弦值 (2)可以確定C 的正弦值 (3) 可以確定△ABC 的面積 (4)可以確定△ABC 的內切圓半徑 (5)可以確定△ABC 的外接圓半徑﹒
【105 學測】
解答 25
解析 滿足條件的三角形共有△ABC1與△ABC2兩個三角形﹐如下圖﹕
4
A C1 C2
B
5 4
20?
設AC2B
﹐則ABC2 160
﹐AC1B 180
﹐ABC1
20﹒(1)因為 cos(160
)不恆等於 cos(
20)﹐所以 cosB 的值不確定﹒(2)因為 sin(180
) sin
﹐即 sinAC1B sinAC2B﹐所以 sinC 的值確定﹒(3)由圖知﹐△ABC1的面積小於△ABC2的面積﹒
(4)由圖知﹐△ABC1的內切圓半徑小於△ABC2的內切圓半徑﹒
(5)根據正弦定理﹐兩個三角形的外接圓半徑均為 4
2sin 20﹒ 故選(2)(5)﹒
（ ）6.試問下列哪些選項中的數是有理數﹖ (1)3.1416 (2) 3 (3)log10 5log10 2 (4)sin15 cos15 cos15 sin15
(5)方程式 x3 2x2 x 1
0 的唯一實根﹒
【98 學測】
解答 134
解析 (1)○﹕ 31416 3.1416
10000
(2)╳﹕ 3為無理數
(3)○﹕ 10 10 10 1 10 1
log 5 log 2 log 10 log 10
2 2
(4)○﹕
2 2
sin15 cos15 sin 15 cos 15 2 2 cos15 sin15 cos15 sin15 2sin15 cos15 sin 30 4
(5)╳﹕由牛頓定理知 x3 2x2 x 1 0 的有理根僅有 ± 1﹐將 x ± 1 代入均不合 故唯一實根必為無理數
故選(1)(3)(4)﹒
（ ）7.設
1﹐
2﹐
3﹐
4分別為第一﹑第二﹑第三﹑第四象限角﹐且都介於 0 與 2
之間﹒已知|cos
1| |cos
2| |cos
3| |cos
4| 13﹐請問 下列哪些選項是正確的﹖ (1) 1
4
(2)
1
2
(3) 3 1cos
3 (4) 4 2 2sin
3 (5) 4 3 2
﹒【99 學測】
解答 23
解析 1 2 3 4 1
| cos | | cos | | cos | | cos |
31
cos 1
3 ﹐ 2 1
cos
3﹐ 3 1cos
3﹐ 4 1 cos
3﹐(1)╳﹕ 2 1 1
cos cos
4 2 3
﹐∴ 1 4
(2)○﹕
2
1
1
2
(3)○﹕ 3 1
cos
3(4)╳﹕ 4 1 4 2 2
cos sin
3 3
(5)╳﹕
3
1﹐
4 2
1﹐∴ 4 3 2
故選(2)(3)﹒
1 2
x y
O
（ ）8.在△ABC 中﹐已知 50 A B 60﹒試選出正確的選項﹒ (1)sinA sinB (2)sinB sinC (3)cosA cosB (4)sinC cosC (5) ABBC﹒
【108 學測】
解答 12
解析 因為 50 A B 60﹐所以 60 C 80﹒
因此﹐50 A B C 90﹒
(1)因為 0 A B 90﹐所以 sinA sinB﹒
(2)因為 0 B C 90﹐所以 sinB sinC﹒
(3)因為 0 A B 90﹐所以 cosA cosB﹒
(4)因為 45 C 90﹐所以 sinC cosC﹒
(5)因為C A﹐所以ABBC﹒ 故選(1)(2)﹒
（ ）9.若 0
4
﹐試問以下哪些選項恆成立﹖ (1)sin
cos
(2)tan
sin
(3)cos
tan
(4)sin2
cos2
(5) 1 tan tan2 2
﹒【學測】
解答 15
解析 (1)○﹕cos
sin
(2)╳﹕ sin sin tan cos 1
(3)╳﹕不一定
(4)╳﹕∵0 2 2
﹐∴不一定
(5)○﹕
2
2 tan tan tan(2 ) 2
2 1 tan 2
﹐去分母 tan tan tan2 2 tan
2 2
1 1 2 1 2 1
tan tan tan tan tan (1 tan ) tan
2 2 2 2 2 2 2
（∵0 tan 1
2
﹐∴tan2 1 2
） 故選(1)(5)﹒
三、填充題 (21 題 每題 21 分 共 441 分)
1.坐標平面上﹐以原點 O 為圓心的圓上有三個相異點 A(1,0)﹐B﹐C﹐且 AB BC ﹒已知銳角三角形 OAB 的面積為 3
10﹐則△OAC 的面積為 ____________﹒（化為最簡分數）
【學測】
解答 12 25
解析 令 B(cos
,sin
)﹐0
90﹐C(cos2
,sin2
)﹐△OAB 面積 1 3
1 1 sin
2
10 ﹐∴ 3 4
sin cos
5 5
﹐故△OAC 面積 1 1 3 4 12
1 1 sin 2 (2sin cos )
2
2
5 5 25 ﹒
A(1,0) B(cos ,sin ) C(cos2 ,sin2 )
x y
O
2.如圖所示﹐ABCD 為圓內接四邊形﹒若DBC 30﹐ABD 45﹐CD6﹐則線段 AD____________﹒
A
B
C D
【學測】
解答 72
解析 △BCD 中 6
2 2 12
sin 30 1
2 CD R R
﹐
△ABD 中 2
sin 45 AD R
﹐∴ 2
2 sin 45 12 6 2 72 AD R 2 ﹒
3.在△ABC 中﹐若 D 點在 BC 邊上﹐且AB7﹐AC13﹐BD7﹐CD8﹐則 AD____________﹒
【學測】
解答 7
解析 △ABC 中
2 2 2
7 15 13 cosB 2 7 15
﹐△ABD 中
2 2 2
7 7 cos 2 7 7
B x
2 2
49 225 169 49 49 105 98 2
49 7
2 7 15 2 7 7 15 7
x x
x x
（負不合）﹒
A
C D B
x
13 7
7 8
4.如圖所示（只是示意圖）﹐將梯子 AB 靠在與地面垂直的牆 AC 上﹐測得與水平地面的夾角ABC 為 60﹒將在地面上的底 B 沿著地面向外拉 51 公分到點 F（即FB51公分）﹐此時梯子 EF 與地面的夾角EFC 之正弦值為 sinEFC 0.6﹐則梯子長 AB____________公分﹒
A E
F B C
【107 學測】
解答 170
解析 設ABEFx﹒因為ABC 60﹐所以 2 BC x﹒
又因為 3
sinEFC5﹐所以
51 2 4
cos 5
x EFC x
5
255 4
2x x
﹒ 解得 x 170﹒故AB170﹒
5.小鎮 A 距離一筆直道路 6 公里﹐並與道路上的小鎮 B 相距 12 公里﹒今欲在此道路上蓋一家超級市場使其與 A﹑B 等距﹐則此超級市場與 A 的 距離須為____________公里﹒（化為最簡根式）
【103 學測】
解答 4 3
解析 設超級市場蓋在 P 點﹐且PAPBx﹐如下圖所示﹒
B 12
A A
H P
6 x
x 6 3- x
利用畢氏定理﹐得HB 12262 6 3﹐則HP6 3x﹒ 再利用畢氏定理﹐得
2 62 (6 3 )2 2 36 108 12 3 2
x x x xx ﹐
解得 144 12
12 3 3 4 3
x ﹐即超市與 A 的距離為4 3公里﹒
6.設圓 O 之半徑為 24﹐OC26﹐OC 交圓 O 於 A 點﹐CD 切圓 O 於 D 點﹐B 為 A 點到 OD 的垂足﹐如下圖﹐則 AB____________﹒（化為最 簡分數）
A
O B
C D
【103 學測】
解答 120 13
解析 由題意 24 12 cosCOD 2613
5 120 sin 24( )
13 13 AB OA AOB
﹒
7.在△ABC 中﹐AB10﹐AC9﹐ 3
cosBAC8﹒設點 P﹐Q 分別在邊 AB ﹐ AC 上使得△APQ 之面積為△ABC 面積之一半﹐則 PQ 之最小可 能值為____________﹒（化成最簡分數）
【98 學測】
解答 15 2
解析 設APx﹐AQy﹐BAC
﹐ 12 sin 1 45 110 9sin 22 APQ xy ABC xy
△
△ ﹐
△APQ 中﹐ 2 2 2 2 2 3
2 cos 2
PQ x y xy
x y xy83 5 5 225
2 45
4 4 4 4
xy xy xy
﹐
則 15
PQ 2 ﹐故PQ的最小值為15 2 ﹒
A
B C
P
x yQ
8.四邊形 ABCD 中﹐AB1﹐BC5﹐CD5﹐DA7﹐且DAB BCD 90﹐則對角線 AC 長為____________﹒
【100 學測】
解答 32
解析 ∵四邊形 ABCD 中﹐DAB BCD 90﹐
∴ABC ADC 180﹐即ABC 180 ADC﹐
利用 cosABC cos(180 ADC) cosABC cosADC﹐
則
2 2
25 1 25 49
2 5 1 2 5 7 32
AC AC
AC
﹒
1A B
C
D 5
5 7
9.如圖﹐老王在平地點 A 測得遠方山頂點 P 的仰角為 13﹒老王朝著山的方向前進 37 公丈後來到點 B﹐再測得山頂點 P 的仰角為 15﹒則山高 約為____________公丈﹒
（四捨五入至個位數﹐tan13 0.231﹐tan15 0.268）
【104 學測】
解答 62
解析 設 B 到山腳為 x 公丈﹐山高為 h 公丈﹐則 tan13 0.231
37 tan15 0.268
h x h x
﹐
(37 ) 0.231 0.268
h
h 0.231
37 0.231
0.268
h h 0.231
(1 ) 37 0.231 0.268
h
0.268
37 0.231 61.908 62 0.037
h ﹒
10.如下圖﹐直角三角形 ABD 中﹐A 為直角﹐C 為 AD 邊上的點﹒已知BC6﹐AB5﹐ABD 2ABC﹐則 BD____________﹒（化成最 簡分數）
C A D
B
【99 學測】
解答 90 7
解析 △ABC 中﹐ 5
cos
6﹐則 2 5 2 7cos 2 2cos 1 2( ) 1
6 18
﹐△ABD 中﹐ 5
cos 2 BD
﹐∴ 5 5 90cos 2 7 7 18
BD
﹒C A D
B 6 5
11.在邊長為 13 的正三角形 ABC 上各邊分別取一點 P﹑Q﹑R﹐使得 APQR 形成一平行四邊形﹐如下圖所示﹕
A
B C
P
Q R
若平行四邊形 APQR 的面積為 20 3 ﹐則線段 PR 的長度為____________﹒
【101 學測】
解答 7
解析 ∵ APQR 為平行四邊形﹐∴ PAR BPQ QRC 60
△PBQ﹑△RQC 為正三角形 令APx﹐BPAR13x
1 APR 2
平行四邊形 APQR 面積
1 1
( )(13 ) sin 60 (20 3) 2 x x 2
x2 13x 40 0 (x 8)(x 5) 0 x 8 或 5
∴ PR 8252 2 8 5 cos 60 497
12.如下圖所示﹐在△ABC 中﹐BAC 的平分線 AD 交對邊 BC 於 D﹔已知BD3﹐DC6﹐且 ABAD﹐則 cosBAD 之值為____________﹒
（化成最簡分數）
A
B D C
o o
【學測】
解答 3 4
解析 設ABa﹐則ABADa﹐AC2a﹐BAD DAC
﹐△ABD 中﹐
2 2 2
cos 3
2 a a
a a
△ACD 中﹐
2 2 2
(2 ) 6
cos 2 2
a a
a a
由得
2 2
2
2 2
2 9 5 36 2 4 18
a a
a a a
﹐
故
2 2
2 9 2 18 9 27 3
cos 2 2 18 36 4
a
a ﹒
A
B D C
a 2a a
3 6
13.設 cos
3sin
2﹐且 0
90﹐求 cos
sin
____________﹒【學測】
解答 4 6 5
解析 cos
3sin
2 3sin
2 cos
(3sin
)2 (2 cos
)2 9sin2
4 4cos
cos2
9(1 cos2
) 4 4cos
cos2
10cos2
4cos
5 0 4 16 200 4 216 4 6 6 2 3 6
cos
20 20 20 10 （取正）2 3 6 18 3 6 3sin 2 cos 2
10 10
∴ 6 6
sin
10 ﹐故 4 6 sin cos
5 ﹒14.工匠在窗子外邊想做一個圓弧型的花臺﹐此花臺在窗口的中央往外伸出 72 公分﹐窗的口寬度是 168 公分﹐則此圓弧的圓半徑為____________
公分﹒
72公分 168公分
【學測】
解答 85
解析 設圓半徑為 r﹐則 r2 842 (r 72)2
r2 842 r2 144r 822 144r 7056 5184 12240 r 85﹒
72 84
r
r 72
15.下圖為汽車迴轉示意圖﹒汽車迴轉時﹐將方向盤轉動到極限﹐以低速讓汽車進行轉向圓周運動﹐汽車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉半 徑﹐如圖中的 BC 即是﹒已知在低速前進時﹐圖中 A 處的輪胎行進方向與 AC 垂直﹐B 處的輪胎行進方向與 BC 垂直﹒在圖中﹐已知軸距 AB 為
2.85 公尺﹐方向盤轉到極限時﹐輪子方向偏了 28 度﹐試問此車的迴轉半徑 BC 為____________公尺﹒
（小數點後第一位以下四捨五入﹐sin28 0.4695﹐cos28 0.8829）
【104 學測】
解答 6.1
解析 依題意﹐得cos 62 2.85 BC ﹐即 2.85 2.85 2.85 cos 62 sin 28 0.4695 6.1
BC ﹒
16.已知△ABC 中﹐AB2﹐BC3且A 2C﹐則 AC____________﹒（化成最簡分數）
【99 學測】
解答 5 2
解析 由正弦定理知 2 3 3
sin
sin 2
2sin
cos
﹐∵sin
0﹐∴ 3 cos
4﹐由餘弦定理知
9 2 4 3
cos 2 3 4
x
x
2x2 9x 10 0 (2x 5)(x 2) 0 5 x 2
或 x 2（不合）﹒
A
B C
2 x
3 2
17.在△ABC 中﹐M 為 BC 邊之中點﹐若AB3﹐AC5﹐且BAC 120﹐則 tanBAM ____________﹒（化成最簡根式）
【學測】
解答 5 3
解析 △ABC 中﹐BC2 3252 2 3 5 cos120 49﹐∴BC7﹐
利用中線定理﹐ 2 2 2 2 2 49 19
2( ) 9 25 2( )
4 2
AB AC AM BM AM AM ﹐
△ABM 中﹐
2 19 2 7 2
3 ( ) ( ) 2 2 1 cos
19 2 19 2 3 2
﹐∴ 5 3
tan 5 3
1 ﹒A
B M C
3 5 7 2
18.某人隔河測一山高﹐在 A 點觀測山時﹐山的方位為東偏北 60﹐山頂的仰角為 45﹐某人自 A 點向東行 600 公尺到達 B 點﹐山的方位變成在 西偏北 60﹐則山有____________公尺﹒
【學測】
解答 600
解析 如圖﹐設山高為PQ﹐M 為AB中點﹐
依題意﹐AM BM 300﹐
在△AMQ 中﹐AM 300﹐AQ600﹐ 在△APQ 中﹐AQPQ600﹐
故山高 600 公尺﹒
A B P
Q
45 45
60 60
o o o o
600公尺M
19.設銳角三角形 ABC 的外接圓半徑為 8﹒已知外接圓圓心到 AB 的距離為 2﹐而到 BC 的距離為 7﹐則 AC____________﹒（化成最簡根式）
【102 學測】
解答 4 15
解析 依題意﹐得下圖﹒利用和角公式﹐得
2 15 2 15 7 15 sin sin( ) sin cos cos sin
8 8 8 8 4
B
﹒再利用正弦定理 2
sin
AC R
B ﹐得 15
2 sin 16 4 15 AC R B 4 ﹒
A B
C
O 7
2 8 15 2 15
20.如圖﹐正△ABC 的邊長為 1﹐並且1 2 3 15﹒已知 6 2 sin15
4
﹐則正△DEF 的邊長為____________﹒（化為最簡根式）
A A
B C
D
E F
1
2
3
【103 學測】
解答 6 2 2 2
解析 在△ABE 中﹐ABE 60 15 45﹐AEB 180 15 45 120﹐
利用正弦定理﹐得 1
sin15 sin 45 sin120 BE AE
﹐
即
6 2
sin15 4 6 2
sin120 3 2 3
2 BE
﹐
2 sin 45 2 2 sin120 3 3
2 AE
﹒
又因為△ABE 與△CAD 全等﹐所以ADBE﹒ 故正△DEF 的邊長為DEAEADAEBE 2 6 2
3 2 3
3 2 6
2 3
3 6 3 2 6
6 2
2 2
﹒
21.如圖（此為示意圖）﹐在△ABC 中﹐AD 交 BC 於 D 點﹐BE 交 AD 於 E 點﹐且ACB 30﹐EDB 60﹐AEB 120﹒若CD15﹐ED7﹐ 則 AB____________﹒
60°
30°
7
15 A
C
D 120° B E
【108 學測】
解答 13
解析 依題意﹐可推得△BDE 為正三角形﹐△ACD 為等腰三角形﹒
因此﹐BE7﹐ AE15 7 8﹒ 在△ABE 中﹐利用餘弦定理﹐得
2 2 2
8 7 2 8 7 cos120
AB 64 49 56 169 ﹒ 故AB13﹒
60°
60°
60°
30°
30°
8
7
15 A
C
D B
120°
7 120°
E
