1 0 解析：(A)（╳）：a1+a2+a3++a

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：96.10.31 班級

範

圍 2-1 等差、等比(2)

座號

姓 名 一、選擇題 (每題 10 分)

1、( CE )(複選) 有一個 101 項的等差數列a a₁, ₂,a₃,…,a₁₀₁，其和為 0 且a₇₁ =71，試問下列 選項那些為正確？ (A)a₁+a₁₀₁ > (B)0 a2+a100 < (C)0 a3+a99 = (D)0 a51=51 (E)a < ₁ 0

解析：(A)（╳）：a₁+a₂+a₃++a₁₀₁=0 ∵ [2 ₁ ( 1) ]

n 2

S =n a + n− d

∴ ₁₀₁ 101 ₁

(2 100 ) 0 2

S = a + d = ⇒2a1+100d = ⇒0 a1+50d =0⇒a51= 0 a₁+a₁₀₁=a₁+(a₁+100 )d =2a₁+100d= 。 0

(B)（╳）：a₂+a₁₀₀=(a₁+d)+(a₁+99 )d =2a₁+100d = 。 0 (C)（○）：a₃+a₉₉ =(a₁+2 )d +(a₁+98 )d =2a₁+100d = 。 0 (D)（╳）：a₅₁ =a₁+50d = 。 0

(E)（○）：∵a₇₁=a₁+70d =711 又a₁+50d = 2 0 7

− ×5

1 2 ， 2 ₁ 5a 71

− = , ∴a < 。 ₁ 0

二、填充題 (每題 10 分)

1、 1, a, b, 15 四正數中，前三數成等比，後三數成等差，則數對 (a, b) =______或______。

答案： (3, 9)

解析：

2

2 15

2 2

2 15

a b a

a b a

 =

= +

 = +



∴

(2 5)( 3) 0 5, 3 2

a+ a− = ∴a= − ，又a > ，0 ^故b = 9^，即(a, b) =(3, 9)。

2、 一等比數列1 1 1 , , ,

8 16 32 … 求其第20項為______，又加到第20項的總和為______。 答案： 1 ²² 1 1 ²²

( ) , ( ) 2 4− 2

解析： ₂₀ 1 1 ^{19 22} 1 ²² ( ) 2 ( )

8 2 2

a = × = ⁻ =

20

20 2 22 22

20

1 1

[1 ( ) ]

1 1 1 1

8 2 [1 ( ) ] 2 2 ( ) ( )

1 4 2 4 2

1 2

S ^{− −}

−

= = − = − = −

−

5、 一等差數列為47, 44, 41,…，求其第20項為______，又加到第20項的總和為______。 答案： 10, 370−

解析：a=47, d = −3, ^∴a₂₀ =47 19 ( 3)+ × − = −10,

20

20[47 2 19 ( 3)] 370 2

S = × + × − =

3、 一等差數列共33項，前3項之和為69，後3項之和為204， (1)求a₃₂ = ______^，(2)求首項 = ______。

答案：43 3 2 , 2

解析：a₃₁+a₃₂+a₃₃ =204⇒2a₃₂ =a₃₁+a₃₃, ^∴a₃₂ =68= +a 31d 同理a₁+a₂+a₃ =69⇒a₂ =23= +a d^， 1

3 43

, 21.5

2 2

d = a = =

∴ ∴

4、 一等差數列第四項是25，第十項是61，求第十五項為______。 答案：91

解析：a₄ =a₁+3d =25^1

10 1 9 61

a =a + d = ^2

−−^{¬ 6}d =³⁶, ∴d =6, 代入 ¬

1 25 3 6 7 a = − × =

15 1 14 7 14 6

a =a + d = + × = +^{7 84}=⁹¹。

5、 將正奇數由小而大依下列方式分組 (1), (3), (5,7), (9,11), (13,15,17), (19,21,23),…，已知 第3組中的第一個數為5，則(1)第21組中的第一個數為__________，(2)第21組內所 有數的和為______。

答案：(1)221 (2)2541

解析：第21組中共有11個奇數，由第1組到第20組共有 2(1 2+ +…+10)=110個數，故 第21組中的第一個數為第111個奇數 = 2 111 1× − =221，

第21組中的所有數之和 11 [221 2 (11 1) 2]

2 2541

× × + − ×

= =

6、 設a,b,c,d四正數成等比數列，若a+ =b 8,c+d =72，則公比為________________。 答案：3

解析：設公比為r 8 72 a b c d

 + =

 + =

 ⇒_∴

2 3 2

8 (1 ) 8

72 (1 ) 72

a ar a r

ar ar ar r

+ = + =

 

 ⇒

+ = + =

 





1 2 2

1

2 72

8 9

r = = ，又四數為正數，∴r = 。3

7、 一等差數列，加到第n_項之和S_n =n²+₃ n ，則a₁₀ =_______，又公差 = ______。 答案：22, 2

解析：∵Sn =n²+3 , n ∴a₁=S₁ =4

10 10 9 130 108 22 a =S −S = − =

2 2 1 10 4 6, 2 a =S −S = − = ^∴d =

8、 有兩個等差數列<an > = <0, 7, 14, 21,…, 994> <, bn > = <1, 5, 9, 13,…, 1001>由 這兩個數列中取出全部共同項，由小而大依序排列，得另一數列<cn >^共有k_項，則 求(1) <cn >^之公差為____________，(2) c₁+c₂+…+ck之和 = __________。 答案：(1)28 (2)17395

解析： 0, 7, 14, 21, , 973, 980, 987, 994 ,

1, 5, 9, 13,17, 21, , 973, 977, 981, 985, 989, 993, 997,1001

n

n

a b

< > = < >

< > = < >

…

…

1 21

c =

∴ cn

< >^的公差為 [4,7]=28⇒ck =21 (+ k− ×1) 28^，

末項為ck =21 (+ k− ×1) 28=97⇒ =k 35^，和 35(42 34 28)

17395 2

+ ×

= =

9、 一等比數列，首項為3，末項為192，和為381 + 189 2^{，則其公比為}______。 答案： 2

解析：a=3, an =192 ( 1)

1 1

n

n n

r a a S a r

r r

⋅ −

= − = ⇒

− −

192 3

381 189 2 , 2 1

r r

r

+ = − =

−

∴

10、在數列1 1 2 1 2 3 1 2 3 4

, , , , , , , , , ,

1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 …,中(1)³

7 為第______項，(2)第126項是 ______(不可約分)。

答案：(1)24 (2) ⁶ 16

解析： 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 ( ), ( , ), ( , , ), ( , , , ),

1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 … (1)(1 2 3 4 5 6)+ + + + + + =3 24

(2)1 + 2 +…+ k ≤ 126, ^{( 1) 126 ( 1) 252} 2

k k+ k k

< ⇒ + < ，

k之最大為15, 1 + 2 +…+ 15 = 120，∴第126項為 6

16(不可約分)。 11、等差數列，首項為130，公差 6−

(1)第n_{項起始為負數，則}n =______。

(2)加到第n_{項之和為負數，則}n_{之最小值為}______。 答案：(1)23 (2)45

解析：(1)a=130, d = −6, an =130+(n−1)( 6)− < 0 130 136 2

6( 1) 130, 1 , 22 23

6 6 3

n− > n− > n> = ∴n=

(2) ^{[260 ( 1)( 6)]} 0 260 ( 1)( 6) 0

n 2

n n

S + − − n

= < ∴ + − − <

130 1

6( 1) 260, 1 44 , 45

3 3

n− > n> + = n=

∴ ∴ ∴

12、試求 5 3

5 3

−

+ ^與

5 3

5 3

+

− ^{之等差中項}=_____________。等比中項=_____________；。

答案：4； 1± 解析：

等差中項為 5 3 5 3

( ) 2

5 3 5 3

− +

+ ÷

+ −

2 2

( 5 3) ( 5 3)

=[ ] 2

( 5 3)( 5 3) ( 5 3)( 5 3)

8 2 15 8 2 15

[ ] 2 4

5 3 5 3

− +

+ ÷

+ − + −

− +

= + ÷ =

− −

等比中項為 5 3 5 3

5 3 5 3 1

− +

± × = ±

+ −

13、在23和83之間插入9個數，使這11個數成等差數列，求插入的第4個數=__________。 答案：47

解析：公差為 83 23 11 1 6

d −

= = ⇒

− 23開始逐次加6，插入的第4個數為23, 29,35, 41, 47, ….

14、Selina向銀行借120萬元，打算分60期償還，每月為一期，每期複利計算，月利率為

1%，銀行為方便客戶，此貸款自次期初起分60期平均償還，問每期應償還多少百元？

(百元以下四捨五入)(1.01)⁵⁹ =1.798,(1.01)⁶⁰ =1.816 答案：267百元

解析：120 (1 1%)× + ⁶⁰ =217.92(萬元)

60

59 58 [(1.01) 1]

(1 1%) (1 1%) 81.6

1.01 1

x x x x − x

+ + + + + = =

… − (萬元)

∴81.6x =217.92∴x =2.67058(萬元) ∴每月應償267百元。

15、德龍參加臺灣銀行零存整付的存款，其辦法規定，每三個月為一期，每一期的第一天

存款10000元，按年利率12%計算，每三個月複利一次，五年期滿，問期滿時共可領

回多少元？(不足一元者四捨五入)(1.03)²⁰ =1.806, (1.03)¹⁹ =1.753 答案： 276727

解析：10000 (1 3%)× + ²⁰+10000 (1 3%)× + ¹⁹+…+10000 (1 3%)× + ¹ 10000 1.03 [(1.03)20 1]

276727 1.03 1

× × −

= =

− (元)

16、試求300到900之間所有8的倍數之和。

答案： 45000 解析：

由 300 8 37 4= × + ，知首項為 300 4 304 ; (304 8 38)+ = = × 由 900 8 112 4= × + ，知末項為 900 4 896 ; (896 8 112)− = = × 項數為112 38 1 75− + = ，所求之和為75 (304 896)

45000 2

× +

=