37，− 2 1) 解析： 方程組有無限多組解 ⇒ U a = 0 ⇒ a

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：92.12.22 班級

範

圍 3-3 克拉瑪+ANS

座號

姓 名 一、 填充題 (每題 10 分)

1. 設方程組 有異於(0，0，0) 的解，則實數k之值為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

=

− +

= +

−

　　 　　 0

3

0 0 2 y x

z y x

z y kx

。

答案： 1 解析：

∵ 必有(0，0，0) 的解，此方程式恰有一組解 ⇔ U ≠ 0

∴ 此方程組有(0，0，0)以外的解 ⇔ U = 0 原方程組有異於(0，0，0)的解 ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= + +

= + +

0 0 0

3 3 3

2 2 2

1 1 1

z c y b x a

z c y b x a

z c y b x a

0 0 1 3

1 1 1

2 1

=

−

− k

⇔ k = 1

2. 若a，b ∈ R且已知方程組 有無限多組解，則(a，b) =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− +

= + +

= + +

0 2

3

3 2

5 4

z y x

b z y x

az y x

。

答案：(− 37，−

2 1) 解析：

方程組有無限多組解 ⇒ U =

1 2 3

3 1 2

4 1

− a

= 0 ⇒ a = − 37 代回原方程組

1 4 5

2 1 0

3 2 0

z b

∆ = = ⇒ b = − 2 1

∴ (a，b) = (− 37，−

2 1)

3. 已知xyz ≠ 0 且 8x − 3y − 6z = 0，10x − 5y − 8z = 0，則

zx z

y x

xy z y x

2 6 5 4

5 2

3

2 2 2

2 2 2

+

−

−

− +

− 之值為

。 答案：−52

37 解析：

⎩⎨

⎧

=

−

−

=

−

−

0 8 5 10

0 6 3 8

z y x

z y

x ⇒ x：y：z =

8 5

6 3

−

−

−

− ：

10 8

8 6

−

− ：

5 10

3 8

−

−

= (− 6)：4：(− 10) = 3：(− 2)：5 令 x = 3k，y = − 2k，z = 5k 代入，則

原式 =

) 3 )(

5 ( 2 ) 5 ( 6 ) 2 ( 5 ) 3 ( 4

) 2 )(

3 ( 5 ) 5 ( ) 2 ( 2 ) 3 ( 3

2 2

2

2 2

2

k k k

k k

k k k

k k

+

−

−

−

−

− +

−

− =

30 150 20 36

30 25 8 27

+

−

−

+ +

− = −

52 37

4. 判斷下列聯立方程式之解，從下列圖(A)到圖(F)中，選出各聯立方程式所代表之平面的

關係：(1) (2) (3) (4)

(A)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

=

− +

= +

−

0 2

1 2

4 z y x

z y x

z y x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

=

=

1 0 0 z x

z x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− +

=

− +

=

− +

3 3 2 3

2 2

1 2

z y x

z y x

z y x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

=

=

1 2

1 z y x

z z

(B)

(C)

(D)

(E)

(F)

答案：(1)(F) (2)(C) (3)(E) (4)(B) 解析：

(1) x，y，z之係數比皆不相等 ⇒ 三平面相異且兩兩不平行

又U = 6 0

1 1 1

1 1 2

1 1 1

≠

=

−

−

∴ 三平面相交於一點，故選(F)

(2) x，y，z之係數比皆不相等 ⇒ 三平面相異且兩兩不平行

又U = 0

1 0 1

1 0 0

0 0 1

= ，Ux = 0

1 0 1

1 0 0

0 0 0

= ，Uy = 1 0

1 1 1

1 0 0

0 0 1

≠

−

=

∴ 三平面兩兩相交於一直線，且交線兩兩平行，故選(C) (3) x，y，z之係數比皆不相等 ⇒ 三平面相異且兩兩不平行

又U = 0

3 2 3

1 1 2

2 1 1

=

−

−

−

，U_x = 0

3 2 3

1 1 2

2 1 1

=

−

−

−

，U_y = 0

3 3 3

1 2 2

2 1 1

=

−

−

−

，

Uz = 0 3 2 3

2 1 2

1 1 1

= ， 三平面相交於一線，故選(E)

(4) z = 1 與z = 2 兩平面平行

U = 0 1 0 1

1 0 0

0 0 1

= ，Ux = 1 0 1

1 1

1 0 2

1 0 1

≠

= U_y = 1 0

1 1 1

1 2 0

1 1 0

≠

−

= ，U_z = 0

1 1 1

2 0 0

1 0 0

=

∴z = 1 與z = 2 兩平面平行，而x + y + z = 1 與此二平行平面分別交於一直線，選(B)

5. 就 之值，討論方程組a 的解。

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= + +

=

− +

2 3

3 3

2

1 z ay x

az y x

z y x

解析：

(1)U = 6 ( 2)( 3)

3 1

3 2

1 1 1

2− + =− − +

−

=

−

a a a

a a

a

U_x = − (a − 2) (a + 3)，Uy = − (a − 2)，Uz = − (a − 2)

(2)當U ≠ 0，a ≠ 2，− 3 則三平面共點，而方程組恰有一組解(1，

3 1 +

a ，

3 1 + a ) (2)當a = 2 時，U = 0，Ux = Uy = Uz = 0

交於一直線L：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= + +

=

− +

2 3 2

3 2 3 2

1 z y x

z y x

z y x

1 4

1 5

z y

x =

−

= −

∴ 原方程組有無限多組解(5t，− 4t + 1，t)，t ∈ R

(3)當a = − 3 時，U = 0，Ux = 0，Uy ≠ 0，Uz ≠ 0， 原方程組無解

6. 若方程組 無解，則k =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= + +

= + +

2

1 k kz y x

k z ky x

z y kx

。 答案：− 2

令U =

1 0

1

0 1 1

0 0 1 ) 2 ( 1

1

1 1

1 1 1 ) 2 ( 1

1

1 1

1 1

−

− +

= +

=

k k k

k k k

k k k

　　　　　　　　　_{×(− 1)}

= (k + 2) ( k − 1)²

當U = 0 時 ⇒ k = − 1，− 2

(1) k = 1 時 ⇒ 有無限多解

(2) k = − 2 時 ⇒

c + d × 2 得 − 3y + 3z = − 3……f

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= + +

= + +

1 1 1 z y x

z y x

z y x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− +

−

= +

−

= + +

−

4 2

2 2

1 2

z y x

z y x

z y

x ……c

……d

……e

d − e得 − 3y + 3z = − 6……g

f − g得 0 = 3 不合， 當k = − 2 時，方程組無解

7. 設a ∈ R，E1：ax + y + z = a − 3，E2：x + ay + z = − 2，E3：x + y + az = − 2，若E1，E₂， E₃兩兩相交於一直線，而且三交線互相平行，則a = 。

答案：a = − 2

若三平面兩兩相交於一直線，且三交線互相平行，則 U = 0，且Ux，U_y，U_z中至少有一個不為 0

令U = 3 2 ( 1) ( 2) 0

1 1

1 1

1 1

2

3− + = − + =

=a a a a

a a a

， a = 1 或 − 2

又U_x = ³ 3 ² 3 1 ( 1)³ 1

2

1 2

1 1 3

−

=

− +

−

=

−

−

−

a a

a a a a a

U_y = 3 ² 6 3 3( 1)² 2

1

1 2 1

1 3

−

−

=

− +

−

=

−

−

−

a a

a a

a a

Uz = 3 ² 6 3 3( 1)² 2

1 1

2 1

3 1

−

−

=

− +

−

=

−

−

−

a a

a a

a a

c當a = 1 時，U = 0，但Ux = Uy = Uz = 0，故不合

d當a = − 2 時，U = 0 且Ux ≠ 0，Uy ≠ 0，Uz ≠ 0，故a = − 2

8. 利用克拉瑪公式，求x，y，z的方程組 　的解。(其中a，b，c為兩兩相

異的實數，d為實數)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= + +

= + +

2 2 2 2

1 d z c y b x a

d cz by ax

z y x

答案：

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

−

−

−

= −

=

−

−

−

= −

=

−

−

−

= −

=

) )(

(

) ( (

) )(

(

) )(

(

) )(

(

) )(

(

a c c b

a d d z b

c b b a

c d d y a

d c b d

a c b x a

z y x

△

△

△

△

△

△

解析：

U =

2 2 2

1 1 1

c b a

c b

a = (a − b)(b − c)(c − a)

U_x =

2 2 2

1 1 1

c b d

c b

d = (d − b)(b − c)(c − d)

U_y =

2 2 2

1 1 1

c d a

c d

a = (a − b)(d − c)(c − a)

U_z =

2

2 2

1 1 1

d b a

d b

a = (a − b)(b − d)(d − a)

∵ a，b，c兩兩相異 ⇒ U ≠ 0

∴ 方程組恰有一解，其解為

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

−

−

−

= −

=

−

−

−

= −

=

−

−

−

= −

=

) )(

(

) ( (

) )(

(

) )(

(

) )(

(

) )(

(

a c c b

a d d z b

c b b a

c d d y a

d c b d

a c b x a

z y x

△

△

△

△

△

△