中華大學碩士論文

(1)

中華大學碩士論文

題目：Chen-Lee系統同步與反同步之電路實現 Electric circuit of the Synchronization and

Anti-synchronization for Chen-Lee chaotic systems

系所別：機械工程學系碩士班學號姓名： M 0 9 6 0 8 0 1 6 尤信凱指導教授：許隆結博士陳献庚博士

中華民國九十八年六月

(2)

摘要

渾沌同步及其應用在過去十幾年已被學者廣泛探討，本篇論文主要研究 Chen-Lee 系統的渾沌同步與反同步之電路實現。其中針對兩個等同系統的渾沌同步與兩個不同系統的渾沌同步之問題設計電路使其實現，並且將所得結果與數值模擬的結果去做比對分析；驗證其一致性。

首先，利用模擬軟體(Multisim)中，設計 Chen-Lee 渾沌系統之電路。接著建構電路實現 Chen-Lee 系統的渾沌同步與反同步共存、完全反同步、混合倍數同步與超渾沌 Chen-Lee 系統。研究結果顯示，

Chen-Lee 系統的渾沌同步與反同步共存、完全反同步、混合倍數同步、兩個等同系統的渾沌同步、兩個不同系統的渾沌同步以及 Chen-Lee 超渾沌系統之電路模擬是可行的。

在論文第二部份，主要設計電路實現 Chen-Lee 渾沌同步系統；應用此系統來研究秘密通訊。研究中，設計出一加密電路進行訊號加密，並設計另一解密電路，進行訊號還原，再進行誤差值比較，驗證電路模擬的正確性。研究結果顯示，Chen-Lee 渾沌同步系統之訊號加密與解密的電路應用亦是可行的。

關鍵字：超渾沌系統、電路實現、Chen-Lee 系統、秘密通訊

(3)

Abstract

The chaotic synchronization and anti-synchronization with their applications have been widely discussed in the past several years by many scholars. This thesis mainly studies the electric circuit of the synchronization and anti-synchronization of Chen-Lee chaotic systems.

The electric circuits have been designed to realize two identical systems (or two different chaotic systems) are indeed achieving chaos synchronization. The results were compared with the obtained numerical simulations to confirm the accuracy.

Some novel experiments were designed by using by using a circuit package Multisim to physically implement and verify Chen-Lee chaotic system, the coexistence of synchronization and anti-synchronization, the hybrid projective synchronization, and hyper-chaotic of the Chen-Lee system.

Finally, an application for secure communication is presented.

Chaotic signals are usually broadband and noise-like. Because of this property, synchronized chaotic systems can be used as cipher generators for secure communication, for digital and analog message signals that have been processed by the chaotic carriers. At the receiver end, a copy of the chaotic system that generates the cipher key decodes the transmitted information, by synchronizing the chaos with the cryptographic key. The drive system is the transmitter, while the response system is the receiver.

The scheme has been also proved using a circuit package Multisim.

Keywords：hyper-chaotic system、Electronic circuit、Chen-Lee system、

Secure communication

(4)

誌謝

一眨眼的時間，兩年已經過去了，在這裡跟老師學習到很多的知識，與學長、同學及學弟的相處也非常融洽，生活非常充實。

在研究的兩年中，首先最感謝的是恩師許隆結博士，在研究所這段期間不厭其煩的悉心教導我，讓學生增進了許多知識，也學到了許多做人做事的道理，在此也很感謝我的共同指導老師陳献庚博士，在研究所這段期間對我的悉心指導及生活上關心。在這最重要的時刻，

兩位老師仍給予學生最細心的指導及照顧，學生由衷的感謝，在此敬上最誠摯的謝意。

研究期間，也感謝師伯陳俊宏教授在課業及生活上的指點與照顧，讓學生我學習到很多事。在此也感謝陸軍專校陳鎮憲博士、南亞技術學院朱朝煌博士和修平技術學院陳献庚博士對於論文的細心評閱，並提供寶貴的意見，使得論文內容更加完善。

感謝同學王志豪、蔡順安及陳思佑這兩年來一起度過的快樂時光，也感謝學弟黃俊嘉、李安城、陳正文、龍治偉、許翔硯和董子儀在日常生活的幫忙打氣加油，讓我更有意志力來完成此階段過程。

最後感謝我親愛的家人及我的好朋友在背後默默的支持與付出，讓我順利的完成學業。

(5)

目錄

摘要………...i

Abstract………..ii

誌謝………...iii

目錄………...iv

圖目錄………...…………vi

第一章緒論………..1

1.1 研究動機………1

1.2 文獻回顧………2

1.3 研究目的………3

1.4 研究方法………3

第二章渾沌同步系統之電路實現……….6

2.1 線性控制實現渾沌同步與反同步共存之電路………6

2.2 非線性控制實現渾沌混合倍數同步之電路………13

2.3 非線性控制實現兩個等同系統的渾沌同步之電路………..24

2.4 非線性控制實現兩個不同系統的渾沌同步之電路………30

第三章超渾沌系統之電路實現………36

第四章 Chen-Lee 渾沌同步系統加密與解密之電路模擬………44

第五章結論………52

(6)

參考文獻………..53

(7)

1

圖目錄

【圖一】總和放大器………..4

【圖二】積分器……..………...………..………...4

【圖三】乘法器-AD633...5

【圖四】Chen-Lee 系統同步與反同步共存之電路圖…...9

【圖五】 Chen-Lee 系統同步與反同步共存誤差之實現軌跡圖……..10

【圖六】Chen-Lee 系統同步與反同步之相位圖(數值模擬)...11

【圖七】Chen-Lee 系統同步與反同步之相位圖(電路模擬)……...12

【圖八】Chen-Lee 系統完全反同步之電路圖...15

【圖九】當α = − 、1 α₂ = − 、1 α₃ = −1時，Chen-Lee 系統完全反同步誤差之時間軌跡圖…...….………..……...………...………...16

【圖十】當α₁= − 、1 α₂ = − 、1 α₃ = −1時，Chen-Lee 系統完全反同步之相位圖(數值模擬)...…………...……17

3 1

α = − 時，Chen-Lee 系統完全反同步

【圖十一】當α₁ = − 、1 α₂ = − 、1

(8)

1

之相位圖(電路模擬)………...18

【圖十二】Chen-Lee 系統混合倍數同步之電路圖………..20

【圖十三】當α = − 、1 α₂ = 、1 α₃ =3時，Chen-Lee 系統混合倍數同步誤差之時間軌跡圖……….…..………...21

【圖十四】當α₁ = − 、1 α₂ = 、1 α₃ =3時，Chen-Lee 系統混合倍數同步之相位圖(數值模擬)……….…...………..22

【圖十五】當α₁ = − 、1 α₂ =1、α₃ =3時，Chen-Lee 系統混合倍數同步之相位圖(電路模擬)……….…..…………23

【圖十六】兩個等同系統的渾沌同步之電路圖………....26

【圖十七】兩個等同系統的渾沌同步誤差之時間軌跡圖………27

【圖十八】兩個等同系統的渾沌同步之相位圖(數值模擬)……….…28

【圖十九】兩個等同系統的渾沌同步之相位圖(電路模擬)…….…....29

【圖二十】兩個不同系統的渾沌同步之電路圖………32

【圖二十一】兩個不同系統的渾沌同步誤差之時間軌跡圖…………33

【圖二十二】兩個不同系統的渾沌同步之相位圖(數值模擬)…….…34

(9)

【圖二十三】兩個不同系統的渾沌同步之相位圖(電路模擬)…….…35

【圖二十四】當d =0.4時，Chen-Lee 系統超渾沌系統之電路圖…...…38

【圖二十五】當時，Chen-Lee 系統超渾沌系統之相位圖(數值模擬)………….………...…..39

0.4 d = 【圖二十六】當時，Chen-Lee 系統超渾沌系統之相位圖(電路模擬)………...……….…..40

0.4 d = 【圖二十七】當d =1.3時，Chen-Lee 系統超渾沌系統之電路圖………41

【圖二十八】當時，Chen-Lee 系統超渾沌系統之相位圖(數值模擬)…………...42

1.3 d = 【圖二十九】當時，Chen-Lee 系統超渾沌系統之相位圖(電路模擬)……..………43

1.3 d = 【圖三十】渾沌安全訊號傳遞系統圖解。………...44

【圖三十一】Chen-Lee 渾沌同步系統加密解密電路示意圖。……...46

【圖三十二】Chen-Lee 渾沌同步系統驅動系統電路圖。………..47

【圖三十三】Chen-Lee 渾沌同步系統響應系統電路圖。………..47

【圖三十四】Chen-Lee 渾沌同步系統控制器電路圖。………..48

(10)

【圖三十五】Chen-Lee 渾沌同步系統加密電路圖。………..48

【圖三十六】Chen-Lee 渾沌同步系統解密電路圖。………..49

【圖三十七】Chen-Lee 渾沌同步系統加密與解密誤差電路圖。……..49

【圖三十八】加密訊號S te

( )

圖。………...50

【圖三十九】資訊訊號^{S t}

( )

圖。………...50

【圖四十】解密訊號Sd

( )

t 圖。………..51

【圖四十一】誤差值S t

( )

−Sd圖。………...51

(11)

第一章緒論

1.1 研究動機

渾沌是非線性動力系統特有的一種運動型式，一般而言，渾沌系統隸屬與確定性系統而難以預測(基於動力學狀態對於初始條件的高度敏感性)，隱含於複雜系統但又不可分解，以及呈現多種混亂無序卻又頗有規則的圖像(如具有稠密的週期點)。

超渾沌系統具有更複雜、更混亂的行為模式，比渾沌系統多一個正的李雅普諾夫指數。渾沌系統具有一個正的李雅普諾夫指數，而超渾沌系統則至少有兩個正個李雅普諾夫指數。

渾沌運動意味著該系統行為的不可預測，由於渾沌會給系統帶來不確定性使得系統不穩定，因此對實際系統的渾沌控制是十分必要的。另外，渾沌訊號對初始條件的高度敏感(以正的 Lyopunov 指數為特徵)，使得渾沌訊號具有長期不可預測性和抗截獲能力，而且具有多個正的 Lyopunov 指數的超渾沌系統；有著更為複雜的運動軌跡，

這使得渾沌訊號具有高度複雜性。

上述研究中，皆由數值方法去模擬驗證其可行性，在此本論文利用電路實現之方法去模擬渾沌系統，再和文獻中數值計算分析出來的結果去做比對，驗證電路實現方法之可行性。

(12)

1.2 文獻回顧

在1963年，大氣科學家Lorenz[1]在具有二次式非線性項的普通微分方程上，發現了渾沌現象，成為非線性科學研究的熱門話題，自此便有許多學者不斷的投入去研究探討渾沌現象之理論研究與應用。於 1979年，Rössler[2]首先發現了超渾沌系統，亦引領其他學者投入超渾沌系統之行為及其控制。渾沌同步是在1983年由Fujiyama and Yamada[3]首次提出來的，但是這個現象並沒有吸引學者的注意，直到Pecora和Carroll[4]提出一個研究渾沌同步的方法(稱作PC法)，他們指出響應系統中所有的條件 Lyapunov 指數 (conditional Lyapunov exponents)均小於零時，在驅動系統和響應系統中會有渾沌同步效應產生。在2004年，Chen和Lee[5] 在剛體運動系統中，發現一個能產生兩個渦漩的新渾沌系統。Tam等人[6]稱其為Chen-Lee渾沌系統。並於2007年，由Chen等人[7]，研究Chen-Lee渾沌系統的同步與反同步共存之行為。Chen等人[8]，近一步研究Chen-Lee超渾沌系統同步與反同步控制。Park [9]、Huang等人[10]和Chen [11]都曾研究非線性控制來使兩個不同的渾沌系統達到同步。

Chen 等人[12]在 2003 年，研究了渾沌系統在同步行為中之加密與解密的現象。Sheu 等人[13]於 2008 年，研究 Chen-lee 渾沌系統之平衡點分析，並設計出 Chen-Lee 渾沌系統模擬電路。

(13)

0

1.3 研究目的

在上述文獻中，對於渾沌系統之研究，主要以數值方法分析的居多。本篇論文採用電路模擬軟體(Multisim)，以電路模擬之方法，針對Chen-Lee系統的渾沌同步與反同步共存、完全反同步、混合倍數同步、兩個等同系統的渾沌同步與兩個不同系統的渾沌同步以及超渾沌 Chen-Lee系統；實現上述渾沌系統之電路圖。本文將上述系統的渾沌同步之電路模擬結果和文獻已有的結果去做比對分析，驗證其正確性。

1.4 研究方法

本論文將使用(Multisim)電路模擬軟體來實現渾沌系統的電路，

再與文獻去做比對，驗證結果是否一致。本論文利用下列兩種電路的接法來做為加法器和積分器以及使用類比乘法器－AD633 來做為論文中的乘法器。

總和放大器：

總和放大器是一種由運算放大器與電阻所組成之電路，如[圖一]

所示。它可以結合不同的輸入值，產生出一個輸出值，其中與的關係式如下：

1, 2, 3

v v v

v

(14)

0 1 2

1 2 3

f f f

R R R

v v v

R R R

⎛ ⎞

= −⎜ + + ⎟

⎝ v³⎠

[圖一]、總和放大器串接示意圖。

積分器：

c in in

v t i t dt v t dt

C RC

=

∫

=

∫

輸出電壓，可表示為下式：

( ) ( )

0 c

v t = −v t

( ) ( )

0 0

1 ^t

v t vin t dt

= −RC

∫

(15)

[圖二]、積分器串接示意圖。

類比乘法器－AD633：

在此篇論文中我們所使用的乘法器為 AD633，如[圖三]所示。其特性為輸出值是兩輸入值相乘的十分之一倍，其關係式如下：

(

1 2

) (

1 2

)

10

X X Y Y

W Z

V

− −

= +

假定 Z 值為 0 時可改寫成：

0 10

z

X Y

W⁼ V

Δ × Δ

=

[圖三]、類比乘法器-AD633

(16)

第二章渾沌同步系統之電路實現

本章節利用文獻[7]、[11]中已知的結果，以電路模擬軟體(Multisim) 去實現文獻中 Chen-Lee 系統的渾沌同步與反同步共存、完全反同步、混合倍數同步之電路，將電路模擬獲得之結果和數值分析的結果去做比對，驗證其一致性。

2.1 線性控制實現渾沌同步與反同步共存之電路

Chen-Lee 系統微分方程式為[7]：

( )

^{1 3}

x yz ax y xz by

z xy

⎧ = − +

⎪ = +

⎨⎪ = +

⎩

cz

其中，a b c, , 為系統參數。當參數[7]：( , , )a b c =(5, 10, 3.8)− − 時，系統會呈現渾沌行為。驅動系統和響應系統定義如下所示[7]：

(4)

控制器：

( )

(

( )

1 2 1

2 2

3 2

6 20 29

u x x

u y

u z

= − +

⎧⎪

= − +

⎨⎪ = − −

⎩

)

1 1

y z

1 2 1 2 2 1

(5)

利用上述得到的驅動系統(3)、響應系統(4)、控制器(5)以及誤差變量設計成電路圖。

Chen-Lee 系統的渾沌同步與反同步共存之電路圖如[圖四]所示。當誤差變量[5]：e =x +x 、e = y +y 、e₃ =z₂−z₁，Chen-Lee 系統的渾沌同步與反同步共存誤差之時間軌跡圖如[圖五]所示。數值模擬

(18)

1(0) 0.2 x

之 Chen-Lee 系統的渾沌同步與反同步共存之相位圖如[圖六]所示 [7]。當初始條件[7]： = 、 y₁(0)=0.2、z₁(0)=0.2；、

、

2(0) 10

x =

2(0) 10

y = z₂(0) 10= ，電路模擬之 Chen-Lee 系統的渾沌同步與反同步共存之相位圖如[圖七]所示。

(19)

[圖四]、驅動系統(3)、響應系統(4)、控制器(5)、以及誤差變量之電路圖。

(20)

[圖五]、渾沌同步和反同步共存誤差之時間軌跡圖：(a)e₁=x₂+ 、(b)x₁

、(c) 。

e = y +y e =z −z

(21)

[圖六]、渾沌同步和反同步共存之相位圖：左圖為驅動系統，右圖為響應系統(數值模擬)。

(22)

[圖七]、渾沌同步和反同步共存之相位圖：左圖為驅動系統，右圖為響應系統(電路模擬)。

(23)

2.2 非線性控制實現渾沌混合倍數同步之電路

以文獻[7]中之 Chen-Lee 系統為例，利用電路模擬來實現達到混合倍數同步。參考文獻[7]中定義之驅動系統與響應系統；將系統參數[7]：( ,a b c, )=(5, 10, 3.8)− − 代入其中，其方程式如下所示：

驅動系統：

( )

1 1 1 1

1 1 1

5 10 1 3 3.8

x y z x

y x z y

z x y

⎧ = − +

⎪ = −

⎨⎪ = −

⎩

z₁

(6)

響應系統：

( )

2 2 2 2 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 3

5 10 1 3 3.8

x y z x w

y x z y w

z x y z w

⎧ = − + +

⎪ = − +

⎨⎪ = − +

⎩

(7)

其中W =

[

w w w1, 2, 2

]

^Τ為非線性控制器，控制器如下所示[7]：

( )

( ) ( )

1 3 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 1

2 3 1 1 1 3 1 1 3 2 1 1 2

3 1 3 2 1 1 1 2 1 1 3 1 2 3 1 1

w e z e y y z ke

w e z e x x z ke

w e y e x x y

α α α α α

= + − − −

⎧⎪

= − − − − −

⎨⎪ = − + − − −

⎩ ke³

誤差變量的定義為[7]：e₁=x₂−α₁x1、e₂ = y₂−α₂y₁和e₃ =z₂−α₃z₁，並將增益值[7]：k₁=6、k₂ =1和k₃ =1及參數[7]：α₁= −1,α₂ = −1,α₃ = −1代入上述控制器與誤差變量中，我們可以得到控制器(8)和誤差變量(9) 如下所示：

控制器：

(24)

( ) ( ) ( )

1 2 1 3 1 1 1 1

2 1 1 3 1 1 1 2

3 1 1 2 1 1 1

2 6

2

1 3 1 3 2 3

w e z e y y z e

w e z e x x z e

w e y e x x y

⎧ = − − + −

⎪ = + − −

⎨⎪ = + −

⎩ −e³

1

1 2 = 2+y1 ₁

(8)

誤差變量：

1 2 1

2 2

3 2 1

e x x

e y y

e z z

= +

⎧⎪ = +

⎨⎪ = +

⎩

(9)

利用上述所得到的新的驅動系統(6)、響應系統(7)、控制器(8)和誤差變量(9)設計成電路圖。

Chen-Lee 系統的渾沌完全反同步之電路圖如[圖八]所示。當誤差變量為[7]：e₁ =x₂+x 、e y 、e₃ =z₂+z 時，Chen-Lee 系統的渾沌完全反同步誤差之時間軌跡圖如[圖九]。數值模擬之 Chen-Lee 系統的渾沌完全反同步之相位圖如 [ 圖十 ] 所示 [7] 。當初始條件 [7] ：

、、

1(0) 0.2 1 1

x = y (0)=0.2 z(0)=0.2；x₂(0)=30、y₂(0)=30、時，

電路模擬之 Chen-Lee 系統的渾沌完全反同步之相位圖如[圖十]所示。

2(0) 30

z =

(25)

[圖八]、驅動系統(6)、響應系統(7)、控制器(8)以及誤差變量(9)之電路圖。

(26)

[圖九]、當α₁= −1,α₂ = −1,α₃ = − 時，完全反同步誤差之時間軌跡圖：(a)1

、(b)

e =x +x e = y + 、(c)y e =z + 。 z

(27)

[圖十]、當α₁= −1,α₂ = −1,α₃ = − 時，完全反同步之相位圖：左圖為驅動系統， 1 右圖為響應系統(數值模擬)。

(28)

[圖十一]、當α₁= −1,α₂ = −1,α₃ = − 時，完全反同步之相位圖：左圖為驅動系統， 1 右圖為響應系統(電路模擬)。

(29)

接著，利用增益值 [7] ： k₁=6,k₂ =1,k₃ =1 以及參數 [7] ：

1 1, 2 1, 3 3

α = − α = α = 將其代入上述控制器(8)和誤差變量(9)中，可以得到

新的控制器(10)和誤差變量(11)如下所示：

控制器：

( ) ( )

1 2 1 3 1 1 1 1

2 1 1 3 1 1 1 2

3 1 1 2 1 1 1

3 4 6

3 4

1 3 1 3 4 3

w e z e y y z e

w e z e x x z e

w e y e x x y

⎧ = + + −

⎪ = − + + −

⎨⎪ = − + + −

⎩ e³

1 1

(10)

誤差變量：

1 2 1

2 2

3 2 3

e x x

e y y

e z z

= +

⎧⎪ = −

⎨⎪ = −

⎩

(11)

利用上述所得到的新的驅動系統(6)、響應系統(7)、非線式控制器(10) 和誤差變量(11)設計成電路圖。

Chen-Lee 系統的渾沌混合倍數同步之電路圖如[圖十二]所示。當誤差變量為[7]：e₁ =x₂+x 、e₂ = y₂+y 、e₃ =z₂−3z₁時，Chen-Lee 系統的渾沌混合倍數同步誤差之時間軌跡圖如[圖十三]所示。數值模擬之 Chen-Lee 系統的渾沌混合倍數同步之相位圖如[圖十四]所示[7]。當初始條件[7]：x₁(0)=0.2、y₁(0)=0.2、z₁(0)=0.2；x₂(0)=30、、時，電路模擬之 Chen-Lee 系統的混合倍數同步之相位圖如 [圖十五]所示。

2(0) 30

y =

2(0) 30

z =

(30)

[圖十二]、驅動系統(6)、響應系統(7) 、控制器(10)以及誤差變量(11)之電路圖。

(31)

[圖十三]、當α₁= −1,α₂ =1,α₃= 時，混合倍數同步誤差之時間軌跡圖：(a)3

1 2 、(b)

e =x +x₁ e₂ = y₂− 、(c)y₁ e₃ =z₂−3z₁。

(32)

[圖十四]、當α₁= −1,α₂ =1,α₃= 時，混合倍數同步誤差之相位圖：左為驅動系3 統，右為響應系統(數值模擬)。

(33)

[圖十五]、當α₁= −1,α₂ =1,α₃= 時，混合倍數同步誤差之相位圖：左為驅動系3 統，右為響應系統(電路模擬)。

(34)

2.3 非線性控制實現兩個等同系統的渾沌同步之電路模擬

本節，將採用文獻[11]中之 Chen-Lee 系統，以電路來實現兩個等同系統的渾沌之同步行為。將系統參數[11]：a=5，b= −10，代入 Chen-Lee 系統方程式中，驅動系統(12)及響應系統(13)的定義如下所示[11]：

3.8 c= −

驅動系統：

( )

1 1 1 1

1 1 1

5 10 1 3 3.8

x y z x

y x z y

z x y

⎧ = − +

⎪ = −

⎨⎪ = −

⎩

z₁

(12)

響應系統：

( )

2 2 2 2 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2

5 10 1 3 3.8

x y z x u

y x z y u

z x y z

⎧ = − + +

⎪ = − +

⎨⎪ = −

⎩

+u₃

(13)

[

1,u u2, 3

]

^T

=

U u 為非線性控制器，控制器如下所示[11]：

其中，

( )

2

1 2 1 3 1

1 1 3 1

3 1 1 2 1

1

1 3

u e z e y a e u e z e x

u e y e x

⎧ = + − +

⎪⎪ = − −

⎨⎪ = − +

⎪⎩

1

(14)

將參數[11]：a=5代入方程式(14)中，可得到新的控制器方程式(15)，

如下所示：

( ) ( )

1 2 1 3 1 1

2 1 1 3 1

3 1 1

6

1 3 1 3

u e z e y e

u e z e x

u e y

⎧ = + +

⎪ = − −

⎨⎪ = − −

⎩ e x^{2 1}

(15)

利用上述得到之驅動系統(12)、響應系統(13) 、控制器(15)以及

(35)

1 2 2 2 1

誤差變量[11]：e =x −x₁、e = y −y、e₃ =z₂−z₁，將其設計成電路圖。

兩個等同系統的渾沌同步電路圖如[圖十六]所示。當誤差變量 [11]：e₁=x₂−x₁、e₂ = y₂−y₁、e₃ =z₂−z₁時，兩個等同系統的渾沌同步誤差之時間軌跡圖如[圖十七]所示。數值模擬之兩個等同系統的渾沌同步之相位圖如[圖十八]所示。當初始條件[11]：x₁(0)=0.2、、

；、

1(0) 0.2

y =

1(0) 0.2 2 2

z = x (0)=2.0 y (0)=2.0、z₂(0)=2.0時，電路模擬之兩個等同系統的渾沌同步之相位圖如[圖十九]所示。

(36)

[圖十六]、驅動系統(12)、響應系統(13)、控制器(15)及誤差變量之電路圖。

(37)

[圖十七]、兩個等同系統的渾沌同步誤差之時間軌跡圖：(a)e₁=x₂− ；(b) x₁

；(c) 。

2 2

e = y −y₁ e₃ =z₂−z₁

(38)

[圖十八]、兩個等同系統的渾沌同步之相位圖(數值模擬)。

(39)

[圖十九]、兩個等同系統的渾沌同步之相位圖：左為驅動系統，右為響應系統(電路模擬)。

(40)

1

2.4 非線性控制實現兩個不同渾沌系統同步之電路模擬

本節，參考文獻[11]中以兩個不同系統使用非線性控制方法，以電路模擬之方法來實現。本文以 Lorenz 渾沌系統來當作驅動系統；

其驅動系統方程式如下所示[11]：

驅動系統：

( )

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

x y x

y x x z y

z x y z

α γ

β

= −

⎧⎪ = − −

⎨⎪ = −

⎩

(16)

採用本論文在 2.3 節中所得到之方程式(13)作為響應系統，其中

[

1, 2, 3

]

^T

U = u u u 為控制器，方程式如下所示[11]：

控制器：

( )

( ) ( )

1 1 1 2 1 3 1 1 1 1

2 1 1 3 1 1 1 1 1

3 1

1 4

2 1

1 3 2

u y a x e z e y y z a e

u e z e x x z b y x

u ey ex xy c z

α α

γ β

⎧ = − + + + + −⎛⎜ + ⎞⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎪⎪ = − − − − + +

⎨⎪ = − + + − +

⎪⎪⎩

(17)

利用系統參數[11]：α=10,β =8 3,γ =28及a=5,b= −10,c= −3.8分別代入方程式(16)、(17)中，可得到驅動系統(18)、控制器(19)之方程式，如下所示：

驅動系統：

1 1 1

1 1 1 1

10 10 28

8 3

x y x

y x x z

z x y z

= −

⎧⎪ = − −

⎨⎪ = −

⎩

y1 (18)

(41)

控制器：

( ) ( )

1 2 1 3 1 1 1 1 2

2 1 1 3 1 1 1 1 1

3 1 1 2 1 1 1

10 5.25 9.75 2 9 28

1 3 1 3 2 3 3.4 3

u e z e y y z y x x

u e z e x x z y x

u e y e x x y

⎧ = + + + − −

⎪ = − − − + +

⎨⎪ = + + +

⎩

1

z1

1 2 1

(19)

利用上述得到之驅動系統(18)、控制器(19)及 2.3 節中之響應系統 (13)，並利用誤差變量[11]：e =x −x、e₂ = y₂−y₁、e₃ =z₂−z₁，將其設計成電路圖。

兩個不同系統的渾沌同步之電路圖如[圖二十]所示。當誤差變量為[11]：e₁ =x₂ −x₁、e₂ = y₂−y₁、e₃ =z₂−z₁時，兩個不同系統的渾沌同步誤差之時間軌跡圖如[圖二十一]所示。數值模擬之兩個不同系統的渾沌同步之相位圖如[圖二十三]所示。當初始條件[11]：、

、；

1(0) 10.0

x =

1(0) 20.0 1 2

y = z(0)=30.0 x (0)=2.0、y₂(0)=2.0、z₂(0)=2.0時，電路模擬之兩個不同系統的渾沌同步之相位圖如[圖二十四]所示。

(42)

[圖二十]、驅動系統(12)、響應系統(13)、控制器(15)及誤差變量之電路圖。

(43)

[圖二十一]、兩個不同系統的渾沌同步誤差之時間軌跡圖：(a) ；(b)

；(c) 。

1 2

e =x −x₁

1 1

2 2

e = y −y e₃ =z₂−z

(44)

[圖二十二]、兩個不同系統的渾沌同步之相位圖：左為 Lorenz 系統，右為 Chen-Lee 系統(數值模擬)。

(45)

[圖二十三]、兩個不同系統的渾沌同步相位圖：左為驅動系統，右為響應系統(電路模擬)。

(46)

第三章超渾沌系統之電路實現

超渾沌系統之行為比一般渾沌系統更為複雜，具有更高的不可預測及不規律性，有著更為複雜的運動軌跡，這使得超渾沌系統的訊號具有高度複雜性。本章將以電路模擬之方法來實現超渾沌系統。

以 Chen-Lee 超渾沌系統為例，其系統方程式如下所示[8]：

( )

^{1 3} ^0.2

0.5 0.05 x yz ax

y xz by

z xy cz

w dx yz w

= − +

⎧⎪ = +

⎪⎨ = + +

⎪⎪ = + +

⎩

w

5, 10, 3.8 a= b= − c= −

(16)

利用系統參數[8]：以及將兩種不同的值[8]分別

為：、

d

0.4

d = d =1.3代入方程式(16)中，可得方程式(17)和(18)；如下所示

( )

5 10

1 3 3.8 0.2 0.4 0.5 0.05

x yz x

y xz y

z xy z

w x yz

= − +

⎧⎪ = −

⎪⎨ = − +

⎪⎪ = + +

⎩

w w

(17)

( )

5 10

1 3 3.8 0.2 1.3 0.5 0.05

x yz x

y xz y

z xy z

w x yz

= − +

⎧⎪ = −

⎪⎨ = − +

⎪⎪ = + +

⎩

w w

(18)

將方程式(17)和(18)設計成電路圖。當d =0.4時，Chen-Lee 超渾沌系統之電路圖如[圖二十四]所示。當d =0.4時，數值模擬之 Chen-Lee 超渾沌系統之相位圖如[圖二十五]所示。當d =0.4時，電路模擬之

(47)

Chen-Lee 超渾沌系統之相位圖如 [圖二十六]所示。當時，

Chen-Lee 超渾沌系統之電路圖如[圖二十七]所示、當時，數值模擬之 Chen-Lee 超渾沌系統之相位圖如[圖二十八]所示。當

時，電路模擬之 Chen-Lee 超渾沌系統之相位圖如[圖二十九]所示 1.3 d =

1.3 d =

(48)

[圖二十四]、當d =0.4時，超渾沌系統之電路圖。

(49)

[圖二十五]、當d =0.4時，超渾沌系統之相位圖(數值模擬)。

(50)

[圖二十六]、當d =0.4時，超渾沌系統之相位圖(電路模擬)。

(51)

[圖二十七]、當d =1.3時，超渾沌系統之電路圖。

(52)

[圖二十八]、當d =1.3時，超渾沌系統之相位圖(數值模擬)。

(53)

[圖二十九]、當d =1.3時，超渾沌系統之相位圖(電路模擬)。

( )

h t

( )

1

h t =z

( )

1 1 1 1

1 1 3 1 1

x y z ax y x z by

z x y

⎧ = − +

⎪ = +

⎨⎪ = +

⎩

cz₁

(19)

響應系統：

( )

2 2 2 2 1

2 2 2 2 2

2 1 3 2 2 2

x y z ax u

y x z by u

z x y cz

⎧ = − + +

⎪ = + +

⎨⎪ = +

⎩

+u₃

(20)

其中 x y z, , 為狀態變數，為系統的確定參數。設定參數為

。誤差變數為

, , a b c

(

^{a b c}^{, ,}

) (

⁼ ^{5, 10, 3.8}⁻ ⁻

)

e1 =x2−x1、e₂ =y₂ −y₁ ₁

e1

、。控

制器型態為

3 2

e =z −z

1 1

u = −k 、u₂ = −k₂e₂ 、u₃ =0 。初始條件為、

、

1(0) 0.2

x =

1(0) 0.2

y = z₁(0)=0.2；x₂(0)=5、y₂(0)=5、z₂(0)=5。增益值為、

。

k k₁=5.1

2 244

k =

接下來設計加密解密方程如下：

^訊號。

接下來設計出如[圖三十一]所示電路，其中包含了驅動系統[圖三十二]、響應系統[圖三十三]、控制器[圖三十四]、加密函數[圖三十五]、解密函數[圖三十六]、加密函數與解密函數兩者誤差[圖三十七]。

[圖三十一]、Chen-Lee 渾沌同步系統加密與解密電路示意圖。

(57)

[圖三十二]、Chen-Lee 渾沌同步系統驅動系統電路圖。

[圖三十三]、Chen-Lee 渾沌同步系統響應系統電路圖。

(58)

[圖三十四]、Chen-Lee 渾沌同步系統控制器電路圖。

[圖三十五]、Chen-Lee 渾沌同步系統加密電路圖。

(59)

[圖三十六]、Chen-Lee 渾沌同步系統解密電路圖。

[圖三十七]、Chen-Lee 渾沌同步系統加密與解密誤差電路圖。

(60)

( )

t 圖。

[圖四十一]、誤差值S t

( )

−Sd圖。

(62)

第五章結論

近幾年來，渾沌在各個領域上皆有一定的研究與探討。但是以電路來實現渾沌系統方面還有待探討。

本論文利用電路模擬套裝軟體(Multisim) ，實際去模擬 Chen-Lee 系統的渾沌同步與反同步共存、完全反同步、混合倍數同步、兩個等同系統的渾沌同步與兩個不同系統的渾沌同步之行為，也利用電路模擬套裝軟體(Multisim)去實現了 Chen-Lee 超渾沌系統。本論文將所獲得之電路模擬的結果，皆與已知的數值分析之結果做比對驗證，由此可以證明上述渾沌系統之電路模擬的正確性。

最後利用 Chen-Lee 渾沌同步系統，設計出加密與解密之控制電路；成功實現。在研究結果中可以得知，同步 Chen-Lee 渾沌系統之加密與解密的功能是有實際應用價值。本研究將渾沌同步的研究推向實際應用，往前跨近一大步。

(63)

參考文獻

1. Edward N. Lorenz.“Deterministic Nonperiodic Fiow.＂J Atmos Sci1963;20:130-41

2. E. Rössler,“An equation for hyperchaos,＂Phys. Lett. A, Vol. 71,pp.

155-157, 1979.

3. H. Fujisaka and T. Yamada “Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems,” Progr. Theor. Phys, Vol. 69, pp.

32-47, 1983.

4. L. M. Pecora and T. L. Carroll, “Synchronization in chaotic systems,” Phys. Rev. Lett, Vol. 64, pp. 821-824, 1990.

5. H. K. Chen and C. I. Lee. “Anti-control of chaos in rigid body motion.” Chaos, Solitons and Fractals, Vol. 21, pp. 957-965, 2004.

6. L. M. Tam and W. M. Si tou. “Parametric study of the fractional-order Chen-Lee system.” Chaos, Solitons and Fractals, Vol.

37, pp. 817-826, 2008.

7. J. H. Chen, H. K. Chen, Y. K. Lin. “Synchronization and anti-synchronization coexist in Chen-Lee chaotic systems.” Chaos, Solitons and Fractals, Vol. 39, pp. 707-716, 2009

8. C. H. Chen, L. J. Sheu, H. K. Chen, J. H. Chen, H. C. Wang, Y. C.

Chao and Y. K. Lin, “A new hyper-chaotic system and its synchronization.” Nonlinear Analysis: Real World Applications, Vol.

10, pp. 2088-2096, 2009

9. J. H. Park, “Chaos synchronization between two different chaotic dynamical systems,” Chaos. Soliton. Fract, Vol. 27, pp. 549-554,

(64)

10. L. Huang, R. Feng, and M. Wang, “Synchronization of chaotic systems via nonlinear control,” Phys. Lett. A, Vol. 320, pp. 271-275, 2004.

11. H. K. Chen, “Global chaos synchronization of new chaotic systems via nonlinear control,” Chaos. Soliton. Fract, Vol. 23, pp. 1245-1251, 2005.

12. H. K. Chen, T. N. Lin and J. H. Chen, “The stability of Chaos Synchronization of the Japanese Attractors and its Application, ” Jpn.

J. Appl. Phys. Vol. 41, pp. 7603-7610, 2003.

13. L. J. Sheu, L. M. Tam, H. K. Chen and S. K. Lao. “Alternative implementation of the chaotic Chen-Lee system.” Chaos, Solitons &

Fractals, Vol. 41, pp. 1223-1929, 2009.

14. L. J. Sheu, H. K. Chen, J. H. Chen, L. M. Tam, W. C. Chen, Seng-Kin Lao, and K. T. Lin, “ Complete synchronization of Chen-Lee system by partial variables ＂ 2007 International Symposium on Nonlinear Dynamics, Journal of Physics:

Conference Series 96 (2008) 012138.

中 華 大 學 碩 士 論 文