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“C44N4” — 2020/12/8 — 1:05 — page 1 — #1
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法國在第一次世界大戰 (1914∼1918 年) 失去了整整一代的知識分子。 在承 平的 1920、 1930 年代, 才華橫溢的巴黎年輕數學家, 不受權威束縛, 尋找新方向, 組成陣容堅強的 Bourbaki 團隊。 團隊成員認為數學需要新的、 廣泛的基礎, 力圖 出版一系列著作以取代老式教科書, 著重嚴謹結構。 他們定期聚會, 儘管不時激烈 爭辯, 仍秉持共同的理想及極大的熱情, 數十年間延續活力, 迄今完成十二冊巨著。
Bourbaki 改造了二十世紀數學的形貌, 在代數、 拓樸及相關幾何領域造就豐碩成 果, 促成了 Serre 和 Grothendieck 在代數幾何的偉大成就。 康明昌教授闡述這段 歷史。
Andr´e Weil (1906∼1998) 是 Bourbaki 的創始成員。 他年輕時就對代數幾 何與數論之間的關聯深感興趣, 在博士論文探討代數方程的有理數解, 證明 Mordell- Weil 定理。 二戰期間他拒服兵役, 幾經波折之後入獄, 在獄中提出函數體黎曼猜想 的初步證明。 輾轉赴美後, 他補足該證明的前置工作, 引介抽樣多樣體的觀念, 為日 後的抽象代數幾何奠基。 康明昌教授深入評析相關人物及工作。
賴俊儒教授講述代數發展史, 連結眾多支脈至表現理論, 進而介紹 Kazhdan - Lusztig 多項式的來龍去脈。
如何證明 √
2、 π、 e 是無理數? 張鎮華教授細說分明。
Ernst Mach 曾抨擊牛頓的絕對空間概念; 愛因斯坦受其啟發, 意圖論證: 運 動並非定義在絕對空間, 而是決定於不同運動之間的相對性。 若然, 光速何以是恆 定的? 狹義相對論斷言其因 : 同時性 (simultaneity) 並非絕對; 以高速做運動時, 距離縮短, 時鐘變慢。 但該理論中的觀察者, 是以恆定的速度做相對運動。 那麼加速 中的運動又是如何? 愛因斯坦意識到 「等價原理」: 重力與加速度是等價的, 效果一 致; 加速中的觀察者在時空中沿曲線運動, 因此重力就是時空的曲率。 他在 1912 年 求助於 Grossmann, 以黎曼幾何描述四維時空, 企圖對其度量張量, 找到可在非線 性坐標變換下保持不變性的微分方程。 1915 年與 Hilbert 以書信討論之後, 他完 整寫下場方程, 其左側描述時空的幾何形狀如何被物質扭曲, 右側描述物質在重力 場中的運動。 鄭日新教授概述廣義相對論的緣起及後續觀察驗證。
廣義相對論發表後不久, Karl Schwarzschild 提出場方程的球形對稱解, 可 據以推斷 : 球形對稱時, 在太小的空間塞進過重的物質和能量, 將導致時空塌陷, 形成奇異點, 是即黑洞, 其所產生之強大重力致使光無法自其附近逃逸。 1965 年 Penrose 證明 : 在廣義相對論奇異點是一般現象, 與對稱性無關。
在此奇異點, 所有物理定律失效, 彰顯了物理理論的不完備。 容或對奇異點無 可言說, 但在其周遭, 數學物理學家正竭力探索, 努力言說。
梁惠禎
2020 年 12 月
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第 四 十 四 卷
第 四 期
Bourbaki 與 Andr´e Weil · · · · ·· · · · ·· · · ·· · · · 康明昌 3 從代數史到當代表現理論 · · · · 賴俊儒 21
微分幾何學一一重力研究的好幫手 · · · · 鄭日新 27
無理數到底有多無理 · · · · 張鎮華 34
關於 「 lim
n→∞
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n i=1F
i10
i= 10
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