高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：97.09.11 班級 三年 班
範 圍
Book1
1-1、2 數 座號
姓 名 一、選擇題 (每題 5 分)
1、( E ) 設八位數 3174a9b4 為 72 之倍數，則 a 之值可為 (A)1 (B)3 (C)5 (D)7 (E)9
解析：若 3174a9b4 為 72 之倍數，又 72=8 9× ，
∵3174a9b4 為 8 的倍數(末三位)，∴b=0 或 4 或 8
∵3174a9b4 為 9 的倍數(數字和)，∴9|28 a b+ + ,∴a b+ = 或8 a b+ = 17
∴( , )a b =(8, 0), (4, 4), (0, 8), (9, 8)
2、( B ) 設 ，若 1 ，則合於條件之 n 值共
(A)16 (B)33 (C)50 (D)67 (E)100 個 n∈ ≤ ≤n 200 且 gcd( , n 12)=2
解析：1≤ ≤ 00n 2 ，又gcd(n, 12)=2
∴令
1～100 中，去除 2 倍數 50 個，3 倍數 33 個，重複 6 倍數 16 個
∴100
2 , 1 100, gcd( , 6) 1
n= k ≤ ≤k k =
50 33 16 33
− − + =
3、( D ) 設a b, ∈ ，且a除以 7 餘 3，b除以 7 餘 2，則a3b除以 7 的餘數為 (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 (E)6
解析：
3 3 3 3
7 3
7 3 7 6 7 (3 2) 7
7 2
a
a a b
b
⎧ ÷
⎪ ÷ ⇒ ÷ ⇒ ÷ ⇒ × ÷
⎨⎪ ÷
⎩
……
…… ∴ ……
……
5
4、( B ) 設a> >b 0,x> >y 0，比較 a, a x, a
A B C
b b x b
y y
+ +
= = =
+ + 之大小時其結果為
(A)A> >B C (B)A> >C B (C)B> >C A (D)B> >A C (E)C> >B A
解析： 0, a 1
a b
> > ∴b > ，假分數越加越小 a a y a x
A C B b b y b x
+ +
⇒ > > > >
+ + , ∴
5、( C ) 設a b ∈, ，使a b+ = + 的充要條件為 a b
(A)a> 且 >0 0b (B)a<0 且b=0 (C)ab≥0 (D)ab= (E)0 ab≤ 0 解析： a b+ = + 之充要條件a b ab≥0 (a b, 同號或至少有一為 0)
6、 ( BCD ) (複選)下列敘述何者正確？ (A) 0.343 不是有理數 (B)0.34 1
>3 (C) 0.34>0.343 (D) 0.34<0.35 (E) 0.34>0.343
解析：(A)（╳）：0.343 340 34 990 99
= = 為有理數。
(B)（○）：0.34 34 33 1 99 99 3
= > = 。 (C)（○）： 0.34=0.3434 >0.343。 (D)（○）： 0.34=0.3434 <0.35。
(E)（╳）： 0.34=0.3434 =0.343=0.34343 。
7、( ABE ) 設a, b, c∈ ，下列敘述何者正確？
(A)若 (ka)(kb ，則a b )
(B)若a ( ,b c) ，則a為 (b + c) 的因數
(C)設a = bq + r, q∈ , 0 r < b，則 (a, b) = (q, r) (D)設a = bc，則不大於a且與a互質的自然數有 (b
≤
−1)(c −1) 個 (E)若 (a, b) = [a, b]，則a = b
二、填充題 (每題 10 分)
1、設 m∈ 且2m− 5可以整除 3m+25，則m= ______。(答案不止一個) 答案：2,3,5,9,35
解析： 2m−5 3m+25 又 2m−5 2m−5
∴ 2m−5 2(3m+25) 3(2− m− ) 5
2m−5 65, 2m− = ± ±5 1, 5, 13, 65±
∴ ∴ ±
2, 3, 5, 9, 35 m=
∴
2、設a b, 為有理數，且滿足4a+3 5+ =b 2a 5 1 2+ − b 5 ，求數對 (a b, ) =___________。
答案：(1 2, 1) −
解析： 4a+3 5+ =b 2a 5 1 2+ − b 5 (4a+ − + −b 1) ( 2a+2b+3) 5 =0
4 1 0 1 2 2 3 0 2
1
a b a
a b
b + − = ⎧ =
⎧ ⇒⎪
⎨− + + = ⎨
⎩ ⎪ = −⎩
3、設a b c, , ∈ 且3a+ +5 4b− + − = 2 ，求數對1 c 3 ( , , )a b c =_________或_________。
答案：( 5,1,1)− ; ( 5,1, 5)−
解析：∵a b c, , ∈ ,∴a+ ,5 b− ,1 c− ∈ ∪ 0} 3 {
∴
5 0 5
1 0 1
1 5 3 2
a a
b b
c c
⎧ + = ⎧ = −
⎪ − = ⇒⎪ =
⎨ ⎨
⎪ − = ⎪ =⎩
⎩ 或
∴數對( , , )a b c = −( 5,1,1)或( 5,1, 5)− 。
4、設 17+2 72的整數部分為 a，小數部分為 b，則1 1 b−a b =
+ ______。
答案：7 3 2 2
−
解析： 17+2 72 = 9+ 8= +3 2 2=5. ~，
整數部分為 5，小數部分b= +(3 2 2) 5− =2 2−2
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 (2 2) 2 3 (2 2) 2 2 2 3 2 2
4 1
7 3 2 2 b−a b = +
+ − +
+ −
= +
− −
+ −
= +
= −
∴
2
5、設 且 , 9，求下列各式之有效範圍：
(1) ,
x y∈ − ≤ ≤2 x 5 3≤ ≤y
x−y的範圍為____________。(2) x
y的範圍為____________。
答案：(1)− ≤ − ≤11 x y 2 (2) 2 5
3 3
x
− ≤ ≤ y 解析：
(1)∵
3 9
∴ 。
(2) ∵
2 x 5
− ≤ ≤
9
y y
≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ −3 11 x y 2
− ≤ − ≤ 2 x 5
− ≤ ≤ 1 1 1 9≤ ≤ y 3 2 5
3 3
x
− ≤ ≤ y
6、不等式 2x− < 5的解為_______。 1 答案：− < <2 x 3
解析：
5 2 1 5 4 2 6
2 3
x x x
− < − <
− < <
− < <
7、x∈ , x 3528 且 588 x ，則 x 之所有可能解的總和為___________。
答案：7056
8、設 a,b,q1,q2,q3∈ 且滿足 ，求 a,b 的最大公因數為______。
1 2
4098 4098 582 4098 582 24 a bq
b q
q
= +
⎧⎪ = +
⎨⎪ = +
⎩
答案：6
解析：( , )a b =( , 4098)b =(4098, 582)=(582, 24)=6 2 582 24
3 291 12 97 4
9、設 n∈ 且3 17 2 3
n n
+ ∈
− ，求n=_________。
答案：2 或 23 解析：
2n−3 2n−3, 2n−3 3n+17⇒2n−3 2(3n+17) 3(2− n− =3) 4
∵ 3
∴2n− =3 1或 43，∴n=2或 23。
10、設x∈ ，求 f x( )= + + − 的最小值為______，此時之 x 範圍為_________ x 1 x 3 答案：4 ;− ≤ ≤1 x 3
解析：
( ) 1 3 1 3 1 3 4
f x = + + − = + + − ≥ + + − = ，∴x x x x x x f x( )之最小值為 4。
等號成立於(x+1)(3−x)≥0⇒(x+1)(x− ≤3) 0 ⇒ − ≤ ≤1 x 3。
11、設 x∈ ，以 x 除 1206 餘 10，以 x 除 953 餘 17，則 x 之值為______。(答案不止一個) 答案：26,52
解析：
1206 10− =1196, 953 17− =946
1196, 936 52 1, 2, 4, 13, 26, 52
x x ⇒x ⇒ =x ，但餘數為 17，故 x = 26 或 52。
12、設a b, ∈ 且滿足ab−8a−2b= − ，則 a b29 + = ______。
答案：22 解析：
原式
∴
∴ 或
( 8) 2( 8) 29 16
a b b
⇒ − − − = − +
(a−2)(b− = − 38) 1 2 1
8 13 a
b
− = −
⎧⎨ − =
⎩
2 13 8 1 a
b
⎧ − =
⎨ − = −
⎩ 或 2 1
8 1 a
b
⎧ − =
⎨ − = − 3
⎩ （不合）或 2 1
8 1 a b
− = − 3
⎧⎨ − =
⎩ （不合）
∴ 1 或 ，∴ 。
21 a b
⎧ =
⎨ =⎩
15 7 a b
⎧ =
⎨ =⎩ a b+ =22
13、(1)解方程式 x+ + − = 9 則其解為______。 5 x 2 (2)解不等式 x+ + − ≤ 9 則其解為______。 5 x 2 (3)設 f x( )= x+ + − 25 x
3
則 f (x)之最小值為______。
答案：(1)3、−6 (2)− ≤ ≤6 x (3) 7
解析：
(1)x≥2 時⇒ (x+ +5) (x−2)= ,29 x+ =3 9,∴x=3 5 2 ( 5) ( 2) 9 7 9
5 , ( 5) ( 2) 9, 6
x x x
x x x x
− < < + − − = ⇒ =
≤ − − + − − = = −
時, 無解，
時
(2) 2 x≥ 時⇒ (x+ + −5) (x 2)≤9,x≤ ⇒ ≤ ≤3 2 x 3……①
…..②
……③ 由①②③
5 x 2 ,(x 5) (x 2) 9 7 9 5 x 2
− < < + − − ≤ ⇒ ≤ − < <
時 恒成立 ∴
5 , ( 5) ( 2) 9, 6 x≤ − 時 − + − −x x ≤ x≥ −
6 x 3
⇒ − ≤ ≤
(3)x≥ 時, ( )2 f x = (x+ +5) (x−2)=2x+ ≥ 73 5 2 , ( ) ( 5) (2 ) 7
5 ( ) ( 5) (2 ) = 3 2 7 ( ) 7 7
x f x x x
x f x x x x f x
− < < = + + − =
≤ − = − + + − − − ≥ ≥
時
時, ∴ 最小值為
14、若一個三位正整數，其各位數字和為 13，且被 35 整除，求出合於條件之所有三位正整數。
答案 175，490，805 解析：
設此三位正整數，百位數字為 x，十位數字為 y，個位數字為 z，又 x + y + z =13
又此數為 35 的倍數
490 580
0 13 670 490( )
760 850 940
z x y
⎧⎪
⎪⎪
⇒ = ⇒ + = ⇒ ⎨
⎪⎪
⎪⎩
驗算只有 合
805, 445 715, 355
5 8 805, 175( )
625, 265 535,175
z x y
⎧⎪
= ⇒ + = ⇒ ⎨⎪
⎪⎪⎩
驗算只有 合
15、我國陰曆以天干「甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸」，地支「子、丑、寅、卯、
辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥」紀年，即甲子、乙丑、丙寅、丁卯、……、癸酉、甲戌、
乙亥、……、癸未、甲申、……。譬如西元 2001 年就是「辛巳」年。問 (1)一週期__________年(俗稱 60 年為一甲子）
(2)西元 3000 年陰曆紀年是甚麼年？
(3)離西元 2001 年最近的「丙辰」年是西元幾年？
答案：(1)60 (2) 庚申 (3)1976 解析：
(1)天干 10 年一輪，地支 12 年一輪，10 和 12 的最小公倍數為 60，每 60 年為一周期。
(2)把天干從 1 到 10 逐一編號，地支從 1 到 12 逐一編號，西元 2001 年的「辛巳」為(8, 6)。
3000 2001 999− = 。 999 10 99...9 999 12 83...3
÷ =
⎧⎨ ÷ =
⎩
西元 3000 年的陰曆紀元就是(8 9, 6 3)+ + =(17, 9)⇒ (7,9) ⇒「庚申」。
(3)設 x 年後為「丙辰」年，即(3, 5)年，而 2001 年是(8, 6)年。
所以 8+ =x 10a+ 63, + =x 12b+ 。 5
取 , , ,即 2001+35=2036 年是丙辰。
,當然 25 年前即 4
a= b=3 x= × − =10 4 5 35
60 35− =25 2001 25 1976− = 也是丙辰年。
16、設 a, b 皆為正整數，a<b，a 不是 b 的因數。若gcd(a b, )=29, lcm[ , ] 10440a b = ，試求 a, b 之值。
答案：a=145, b=2088或a=232, b=1305或a=261, b=1160
解析：gcd( , )a b =29，令a=29 , 29h b= k，其中 1< < 且h k h k, 互質。
lcm[ , ]a b =29hk =10440 (1) 10440
360 5 72 8 45 9 40 (2)
hk = 29 = = × = × = ×
由(1), (2)得h=5, k=72或h=8, k=45或h=9, k=40 故a=145, b=2088或a=232, b=1305或a=261, b=1160
