n 為整數？ (A)1 個 (B)2 個 (C)3 個 (D)4 個 (E)5 個 解析：令1 2 10 P n

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：96.09.12 班級

範

圍 1-1 整數(1)

座號

姓 名 一、選擇題 (每題 5 分)

1、( D ) 試問有多少個正整數 n 使得^{1 2 10}

n+ + +n " n 為整數？

(A)1 個 (B)2 個 (C)3 個 (D)4 個 (E)5 個 解析：令^{1 2 10} P

n+ + +n " n = ⇒^{1 2 10} P n

+ + +

" = ⇒ ⁵⁵ P

n = ⇒ 55 nP= n∈正整數，P∈整數，所以n 55，則 n= 1,5,11,55。

2、( C ) 試問整數 43659 共有多少個不同的質因數？

(A)1 個 (B)2 個 (C)3 個 (D)4 個 (E)5 個 解析：

9 ⁴³⁶⁵⁹ 4851 9

539 77 11 7

7

質因數有 3, 7, 11 三個。

|

⇒43659=3 7 11⁴⋅ ⋅² ⇒

3、( D ) 下列何者是 2¹⁰⁰除以 10 的餘數？ (A)0 (B)2 (C)4 (D)6 (E)8 解析：

觀察個位數： 餘 2 餘 4 餘 8 餘 6 餘 2 餘 4

每四次為一循環，又 ∴餘數為 6 21÷10

22÷10 23÷10 24÷10 25÷10 26 ÷10

100 4 25

2 =(2 )

4、( AB ) (複選)若六位數 92a92b 可被 9 整除，則 a+b 之值可能為 (A)5 (B)14 (C)23 (D)32 (E)41

解析：

六位數 92a92b 可被 9 整除既數字加起來是 9 的倍數，即 9 2+ + + + + =a 9 2 b 27或 36，a b+ =5或 14。

5、( B ) 在 230 與 240 之間共有多少個質數？ (A)1 個 (B)2 個 (C)3 個 (D)4 個 (E)5 個 解析：

231,…, 239 中去掉 2 與 5 的倍數，在扣掉 3 的倍數 231, 237，剩下 233 與 239

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比 233 與 239 小的質數有 2, 3, 5, 7, 11, 13 圴不為 233 與 239 的因數

∴233 與 239 均為質數。

6、( ^BC_E ) (複選)下列那些數是 9 的倍數?

(A)21478092 (B)3²² (C)43³ + 11³ (D)10⁹ + 1 (E) 345 813× 解析：

3 3 2 2

43 +11 =(43 11)(43+ −43 11 11 )× + =54× ;p 3 345, 3 813 9 345 813∴ ×

7、( ^BC_E ) (複選)古代的足球運動，有一種計分法，規定踢進一球得 16 分，犯規後的罰踢，

進一球得 6 分。請問下列那些得分數有可能在計分板上出現？

(A)26 (B)28 (C)82 (D)103 (E)284

解析：設踢進 x 球，罰踢 y 球，x, y 為 0 或正整數，得分為16x+6y=2(8x+3 )y 則(1) 得分必為偶數

(2) 令y= ⇒0 得分為 16 的倍數。

(3) 令x= ⇒0 得分為 6 的倍數。

(4) 其他狀況請代值。（由小而大，從 x 先討論）

x 1 1 1

y 2 11 48 16x+6y 28 82 284

二、填充題 (每題 10 分)

1、設正整數 m, n，有 m > 1 且m| 21n+5, | 7m n+3則 m 之值為__________。

答案：2,4

解析：m21n+5, 7m n+ ⇒3 m(21n+ −5) 3(7n+ ⇒3) m4 2, 4 ( 1,

m= m>

∴ ∵ m∈`)

2、將下列各數分解為標準分解式

(1)6435 =_________________, (2)9936 =________________。

答案：3²× × ×5 11 13, 2⁴× ×3³ 23

3、設n=2⁷× ×3⁴ 5³的正因數個數有__________個，又其因數總和為__________。

答案：160, 0

解析：正因數個數(7+1) (4+1) (3+1)× × =160個；因數成對一正一負兩兩和為 0⇒ 總和為 0

4、設 x= 3600，則 x 的正因數中

(1)為完全平方數的有__________個，其和為____________。

(2)為 4 的倍數而非 25 的倍數者共有__________個。

答案：(1)12 ；5460 (2)2184

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第 3 頁

解析：x=3600=2⁴× ×3² 52

(1) 完全平方數有 2⁰ 3⁰ 5⁰

2² 3² 5²

2⁴

∴有 （個）。

總和

3 2 2 12× × =

0 2 4 0 2 0 2

(2 2 2 )(3 3 )(5 5 )

= + + + + =5460。

(2) 的正因數中合乎條件的共 3 3 個。

其和 =

4 2 2 2 2 2 1

3600=2 × ×3 5 =2 (2 × ×3 5 )5 × × =2 18

2 3 4 0 1 2 0 1

(2 +2 +2 ) (3× + +3 3 ) (5× +5 )=2184

5、設n∈`且^{3 17} 2 3

n n

+ ∈

− `，求n=_________。

答案：2 或 23

解析： 2 3 2 3

2 3 2(3 17) 3(2 3) 4 2 3 3 17

n n

n n n

n n

− −

⇒ − + − − =

− +

∵ 3

∴ 2n− =3 1或 43 ∴n=2或 23（代入皆合）。

6、設 a 為一整數。若a a( + , (8) a−1) (a+ ) , (11 a−4) (3a+ ，試求 a 之值____________。 6) 答案：a=2，−2

解析：由 (a a+ ) ，知 (8 a a+ − ，即 88) a a ，a 值有：a= −1, 1, 2, 2, 4, 4,8, 8− − − ……¬ 將¬代入 (a−1) (a+ ) 中檢驗，11 a= −1, 2, 2, 4− ……−

將−代入 (a−4) (3a+ ) 中檢驗，6 a= −2, 2。……® 故a=2或a= −2。

7、試求小於 143 而與 143 互質的正整數之個數為_________________個。

答案：120

解析：從 1 到 143 的整數中去除「與 143 不互質的整數」。

1 到 143 的整數共有 143 個。又143 11 13= × ，所以「與 143 不互質的整數」必為 11 的倍數或 13 的倍數。

11 的倍數共有11 1, 11 2, × × ", 11 13× 等 13 個。

13 的倍數共有13 1, 13 2, × × ", 13 11× 等 11 個。

而11 重複。

故「小於 143 而與 143 互質的正整數之個數」

13 13 11 143

× = × =

143 (13 11 1) 120

= − + − =

8、設 x 為正整數，且 x²+12亦為正整數，求 x = ___________________。

答案：2

解析：令p= x²+12⇒ p²−x² =12 (p+x p)( −x)= 21 且 p x+ > − p x

12 12 1 6 2= × = × = ×4 3 12 4 (不合)

, ,

1 3

p x p x

p x p x

+ = + =

⎧ ⎧

⇒ ⎨⎩ − = ⎨⎩ − =

6, 2 p x p x

⎧ + =

⇒ ⎨⎩ − = ^{⇒ =p 4, 2x=}