AC AD⋅ AC AE⋅ AB AD⋅ (E) AB AE⋅ 第 1 頁 解析解析：∵：∵AB AC

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：92.09.13 班級

範

圍 1-1 向量、內積(2)

座號

姓 名 一. 單一選擇題 (每題 10 分)

1、( E ) 設正五邊形ABCDE 中，AB=2，則下列 積 值何者最小？ (A)

( ) (D)

內 之

B (C

AB AC⋅ ) AC AD⋅ AC AE⋅ AB AD⋅ (E) AB AE⋅

第 1 頁

解析解析：∵：∵AB AC⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AB ACcos 36° >0 cos 36 0 AC AD⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AC AD ° >

cos 72 0 AC AE⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AC AE ° >

cos 72 0 AB AD⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AB AD ° >

cos108 0 AB AE⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AB AE ° <

2、( A ) D在△ABC 之 BC 邊上，且CD=2BD，G 為 AC 之中點，若將 GD 向量寫為

，其中 r 及 s 為實數，則

GD=r AB s AC+ r+ 之值等於 s (A)¹

2 (B)² 3 (C)¹

3 (D) ¹

−3 (E) ⁴

−3 解析解析：作：作圖圖知知

1 1 1 1

( )

2 3 2 3

GD=GA AB BD+ + = − AC AB+ + BC= − AC AB+ + AC AB− 2 1 3AB 6AC

= −

∴∴ ², ¹

3 6

r= s= − ⇒ 1 r+ =s 2

3、( D ) 正△ABC 中，AB=2且 AH ⊥BC於 H，則 (AB HC+ )⋅AH = (A)-3 (B) 2 3− (C) 2 3 (D)3 (E)6

解

解析析： AB HC AH：( + )⋅ = AB AH⋅ +HC AH⋅ =|AB| |AH| cos 30× °+0 2 3 ³ 2 3

= × × =

二、 填充題 (每題 10 分)

1、 ABCD 為平行四邊形，且∠ = °A 60 , AB=2, AD= ，則 3

(1)AB AD⋅ =______, (2)AC AB⋅ =______。(3)AC BD⋅ = ______。

答案答案：(：(11))33；； (2(2))77；；((33)) 55

解析解析：(：(11)) 1

cos 60 2 3 3 AB AD⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AB AD ° = × × =2 (

(22))AC AB⋅ =(AB AD+ )⋅AB=|AB|² +AD AB⋅ = + =4 3 7

第 2 頁

(

(33)) AC= AD AB+ 且且BD= AD AB−

⇒ AC BD⋅ =(AD AB+ ) (⋅ AD AB− )=⏐ ⏐ −⏐ ⏐ =AD² AB² 3²−2² = 5 2、 設 a⏐=2, b⏐=4，且 (3a−b)與 (a+b)垂直，則

(1)a b⋅ =______，(2)設a與b 之夾角為θ，則 cosθ = ______。

答案答案：(：(11))22;; ((22))¹ 4 解

解析析：： a⏐=2, , b⏐=4, ,

(1(1))(3a−b) (⋅ +a b)= ⇒0 3 |a|² +2a b⋅ −|b|²= ⇒0 a b⋅ =2， ， (

(22)) cos

| || | a b a b

θ = ^⋅ = ^{2 1}

2 4= 4

×

3、設 a⏐=1, b⏐= 3，且a ⊥ b，若(t²+2)a+ 與 a t bb + 互相垂直，則t=_____或_____。

答

答案案：-：-11;; --22 解

解析析： ：

a ⊥ b ∴∴a b⋅ =0，又，又 a⏐=1, , b⏐= 3

與 互相垂直⇒

(t2+2)a+ b a t b+ [(t²+2)a+b] [⋅ +a t b]=0

2 2

2 2

(t + ⏐ ⏐ +⏐ ⏐ +2)a t b [ (t t + +2) 1]a b⋅ =0⇒ t²+ + =2 3t 0, , t = −1或-或-22

4、設 a⏐=5, b⏐=5, c⏐=6，若a+ + =b c 0，則a b⋅ + ⋅ + ⋅ = ______。 b c c a 答案答案： ： --4343

解析解析： ：

2 2 2 2

0 2(

a+ + ⏐ = ⇒⏐ ⏐ +⏐ ⏐ +⏐ ⏐ +b c a b c a b⋅ + ⋅ + ⋅b c c a)=0

∴∴

2 2 2

2 43

a b c

a b⋅ + ⋅ + ⋅ =b c c a −⏐ ⏐ −⏐ ⏐ −⏐ ⏐ = −

5、在四邊形 ABCD 中，∠A=120°,AB=1,AD=2且AC=3AB+2AD，求 AC= ________。

答案答案： 13：

解析解析：：AC² =⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ +AC² 9AB² 12AB AD⋅ + ⏐ ⏐4AD² 9 12 1 2 ( 1) 16 13

= + ⋅ ⋅ ⋅ −2 + = (( 1

| || | cos 12 1 2 ( ) 1 AB AD⋅ = AB AD A= ⋅ ⋅ ⋅ −2 2

∵ = − ))

∴ AC∴ = 13

6、△ABC 中，AB= , 5 BC = , 6 CA= ，則 AB BC7 ⋅ = ________。

第 3 頁

答

答案案： ： −6 解

解析析： ：

AB BC⋅ = −BA BC⋅

2 2 2

2 2 2

5 6 7 12

2 2 6

BA +BC −AC + −

= − = − = − = −

2

7、設 a⏐=3, b⏐=1， a 與b 之夾角為 30 ，若° a t b+ 與 a 垂直，則 t = ______。

答案答案： 2 3：−

解析解析：： 3 3

| || | cos 30 3 1 3 2 2 a b⋅ = a b ° = × × = , ,

a t b+ 與a垂直⇒(a t b+ )⋅ = ⇒a 0 |a|² + ⋅ = ⇒t a b 0 ² 3 3 2 0

a⏐ + ⋅t = ∴∴t= −2 3

8、設 |a| = |b | = 1，a與b 之夾角為 60°，則a+b 與b − 2a之夾角 = 。 答案答案：120° ：

解析解析

|a| = |b | = 1，夾角 60° ⇒ a b⋅ = 1．1．cos60° = 2 1

|a+b |² = | |a ² + 2a．b + |b |² = 1 + 1 + 1 = 3 ⇒ |a+b | = 3

|b − 2 |a ² = |b|² − 4 ．a b+ 4| |a ²= 1 − 2 + 4= 3 ⇒ |b − 2a| = 3 (a+b )．(b − 2a) = |b|² −a．b − 2|a|² = 1 −

2

1− 2= − 2 3

設θ為a+b與b − 2a之夾角 ⇒ cosθ =

2 |

|

|

|

) 2 ( ) (

a b b

a

a b b a

+ −

− +

．

． =

3 3

2 3

．

−

= −2

1 ⇒ θ = 120°