簡諧振動的合成分析

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會作品說明書

科別：物理與天文學科 組別：高級中等學校組

作品名稱：簡諧振動的合成分析 關鍵字：簡諧運動、合振動、李薩如

編號：

中 華 民 國 1 1 0 年 4 月 1 日

I

摘要

本研究透過基礎高中數學、基礎物理概念推導出常見的簡諧運動合成（1）同方向同頻率

簡諧振動合成、（2）兩同方向不同頻率簡諧振動合成、（3）互相垂直的同頻率簡諧運動合成、

（4）互相垂直的不同頻率簡諧運動合成。透過計算軟體進行模擬簡諧運動軌跡。所模擬出來 的圖形能使得我們更瞭解物理的意義。另外，本研究的結果透過文獻驗證了模擬結果的正確 性，並由模擬結果了解簡諧振動的合成情況。

II

目次

摘要 ... I 目次 ... II 圖次 ... I 表次 ... II

壹、研究背景與動機 ... 1

貳、研究目的 ... 2

一、文獻回顧 ... 2

參、實驗設備與流程 ... 3

一、電腦設備 ... 3

二、計算軟體 ... 4

三、研究流程 ... 5

肆、研究過程與方法 ... 6

一、同方向同頻率簡諧振動合成 ... 6

二、同方向不同頻率簡諧振動合成 ... 7

三、兩相互垂直的同頻率簡諧運動合成 ... 8

四、兩相互垂直的不同頻率簡諧運動合成 ... 9

伍、研究結果 ... 10

一、同方向同頻率簡諧振動合成 ... 10

二、同方向不同頻率簡諧振動合成 ... 11

三、兩相互垂直的同頻率簡諧運動合成 ... 12

四、兩相互垂直的不同頻率簡諧運動合成 ... 13

陸、結論 ... 14

一、討論 ... 14

二、心得 ... 15

III

柒、參考文獻 ... 15

I

圖次

圖 3-1 電腦設備 ... 3

圖 3-2 研究流程圖 ... 5

圖 4-1 同方向同頻率向量合成法 ... 7

圖 4-2 同方向不同頻率向量合成法 ... 8

圖 4-3 兩相互垂直同頻率向量合成法 ... 8

圖 5-1 兩相同頻率與相位角的振動軌跡 ... 11

圖 5-2 兩相同頻率與相位角的合振動軌跡 ... 11

圖 5-5 同方向不同頻率的振動軌跡 ... 11

圖 5-6 相位差 Δφ = 0 ... 12

圖 5-7 相位差 Δφ = π ... 12

圖 5-8 相位差 Δφ = π/2 ... 12

圖 5-9 相位差 Δφ = 3π/2 ... 12

圖 5-10 相位差 Δφ = π/4 ... 13

圖 5-11 相位差 Δφ = 3π/4 ... 13

圖 5-12 相位差 Δφ = 5π/4 ... 13

圖 5-13 相位差 Δφ = 7π/4 ... 13

圖 5-14 相位差 Δφ = π/4 ... 13

圖 5-15 相位差 Δφ = π/2 ... 13

圖 5-16 相位差 Δφ = 3π/4 ... 14

圖 5-17 相位差 Δφ = π ... 14

圖 5-18 相位差 Δφ = 5π/4 ... 14

圖 5-19 相位差 Δφ = 3π/2 ... 14

圖 5-20 相位差 Δφ = 7π/4 ... 14

圖 5-21 相位差 Δφ = 2π ... 14

II

表次

表 3-1 電腦規格 ... 3

1

壹、研究背景與動機

在高職一年級的物理課程中，老師講解振動的原理與介紹，並舉例彈簧之振動即為簡諧 運動。課程中老師介紹有關簡諧運動的趣味運動，利用懸掛的 Y 型單擺，畫出漂亮的幾何圖

形，此實驗讓我們產生興趣與開始研究簡諧運動之美（許良榮等人，2016）。在日常生活中常

見如：繫於彈簧一端木塊的振動、鐘擺、圓周運動與琴弦的振動….等等。而在機械原理與機 械力學課程中，老師介紹彈簧的基本功用、種類與材料性質，並說明恢復力、加速度、系統 機械能守恆、虎克定律與彈簧振動週期的原理。在學校所授課的電腦軟體應用課程、電腦繪 圖課程與專題製作課程，我們可透過這些課程的結合製作出屬於自己的作品（黃立伍、宋隆

豪，2009）。透過上述課程的學習我們可以應用科學、工程與數學，以進行簡諧振動合成的模

擬，並討論原理與分析。

2

貳、研究目的

（一）兩個同方向同頻率的簡諧運動的合成。

（二）兩個同方向不同頻率的簡諧運動的合成。

（三）相互垂直的同頻率簡諧運動的合成。

（四）相互垂直的不同頻率簡諧運動的合成。

一、文獻回顧

簡諧振動在日常生活中常見的彈簧繫著木塊的振動、單擺運動與訊號的正弦波。

李彥澄等人（2016）討論當小角度的單擺也是簡諧運動，並利用實驗來驗證周期公式與 討論擺槌質量與周期之間關係。他們經由實驗驗證擺長與周期符合簡諧運動周期公式。

邱奕勝等人（2015）探討單擺與簡諧運動之間的關係，利用實驗證明了單擺和擺長有關，

並討論出單擺視為簡協運動的條件為最高點的繩子與最低點的繩子夾角度小於 5 度時，

為簡協運動的狀態。鄭詮鏵等人（2017）討論活塞運動與簡諧運動的關係，並透過 GeoGebra 軟體繪製活塞運動各種情況。其中在曲柄為等速圓周運動時，連桿在投影下 有簡協運動，連桿長度與曲柄長度比值愈大，運動趨勢愈近於簡協運動。吳碧茵（2018）

討論簡諧運動機構的分析與製作，利用傳統加工方式製作沖壓機構，並討論簡諧運動對 於機構的影響。

3

參、實驗設備與流程

本章說明電腦設備、數學軟體與研究流程。共分為三部份，一、電腦設備；二、計算軟 體；三、研究流程。

一、電腦設備

本文電腦設備是，外觀與規格如圖 3-1 與表 3-1 所示。

圖 3-1 電腦設備 表 3-1 電腦規格

中央處理器 Intel Core i5-8500 Processor,

3.0GHz 記憶體 8G DDR4 2666*1 顯示卡 Intel Graphic HD

硬碟容量 1TB SATA3

128GB SSD 主機板晶片 Intel B360

網路 Intel WGI219V

作業系統 Win10

光碟機 24x DVD-RW

4

二、計算軟體

本研究使用試用版的 Matlab 軟體，此軟體是強大的矩陣運算，並比其他低階程式 語言（C、C++、Fortran）操作容易。隨著科技進步，它對於科學計算方面，數值計算、

影像處理與人工智慧等等，都有完善的函數庫可以呼叫，讓使用者不必要自行撰寫複雜 程式。（周品等人，2012）。許雅婷（2006）應用 Matlab 軟體處理機構設計的問題，並 進行模擬、分析、求解與討論。陳宜芯等人（2019）使用 SciLab 軟體模擬牛頭鉋床的 運動分析，並推導理論基礎如：位置分析法、速度分析法與加速度分析法。其中，透過 推導過程建立矩陣形式，並使用 SciLab 軟體求解矩陣、模擬機構的位置、速度與加速 度。邱顯祐（2019）利用 Matlab 軟體求解傅科擺的軌跡，並探討不同情況下的緯度與 初始條件單擺擺動的情況。

5

三、研究流程

本文以高中數學基礎、基礎物理概念與計算軟體來模擬物理現象，並透過解析解驗 證模擬結果是否準確。本研究流程如圖 3-2 所示。

圖 3-2 研究流程圖

6

肆、研究過程與方法

一般生活中常見的簡諧運動為單擺運動，在實際問題中振動常常會有兩個會多個振動，

例如懸掛在船上的鐘擺、物體放置汽車後車箱。以下討論較常見的簡諧運動合成方式有：（1）

同方向同頻率簡諧振動合成、（2）兩同方向不同頻率簡諧振動合成、（3）互相垂直的同頻率

簡諧運動合成、（4）互相垂直的不同頻率簡諧運動合成（葉偉國等人，2012）。

一、同方向同頻率簡諧振動合成

本研究用平面向量來表示，如圖 4-1 為同方向同頻率向量合成法，假設兩個振 動為分別為x₁ A₁cos(t₁)、x₂  A₂cos(t₂)、xAcos(t)。因此，兩振動 合成結果為xx₁x₂  A₁cos(t₁)A₂cos(t₂)，透過三角函數的積化和差公式 獲得x(A₁cos₁A₂cos₂)cost(A₁sin₁A₂sin₂)sint，透過圖 4-1 向量分量的 結果，Acos  A₁cos₁A₂cos₂與Asin A₁sin₁A₂sin₂，將結果回整理後得

) cos(

sin sin cos

cos       

A t A t A t

x -公式（1），A 為和振動的振幅、ω 角頻率

與φ 為合振動的相位。由公式獲得兩振動合成乃是簡諧振動。利用三角函數與餘弦定理

求得

2 2 1 1

2 2 1 1 1

cos cos

sin tan sin







 

A A

A A



 ^  ，A A₁² A₂² 2A₁A₂cos(₂ ₁) -公式（2）。從公

式（2）透過上述可以發現，合振動的振幅與原來的分振動相位差有關，以下討論相位 角：（1）當 ₂ ₁2k (k 0,1,2,....)時，cos(₂₁)1，則公式（2）振幅 A 可以簡化如A A₁² A₂² 2A₁A₂  A₁ A₂。當兩個分振動同相時，合振動的振幅會 等於兩個分振動之和，則合振幅為最大值。

（2）當 ₂ ₁(2k1) (k 0,1,2,....)時，cos(₂ ₁)1，則公式（2）

振幅 A 可以簡化如A A₁²  A₂² 2A₁A₂  A₁A₂ 。當兩個分振動反相時，合振動的振 幅會等於兩個分振動之差，則合振幅為最小值。

（3）綜合說明（1）與（2）歸納出A A₁A₂為互相增強、A A₁A₂ 為相互減 弱。一般情況為A₁A₂  A A₁A₂ 。

7

圖 4-1 同方向同頻率向量合成法

二、同方向不同頻率簡諧振動合成

當同方向不同頻率的兩個簡諧運動合成已經不再是一個簡諧運動，以下利用向 量合成法來進行討論，如圖 4-2 同方向不同頻率向量合成圖。假設兩個分振動分別為：

) cos( _{1 1}

1

1  A t

x 、 x₂  A₂cos(₂t₂) ， 兩 振 動 合 成 可 獲 得 為 )

cos(

)

cos( _{1 1 2 2 2}

1 2

1      

 x x A t A t

x -公式（3）。利用三角函數與餘弦定理求得

2 1

2 2 2 1 2 1

cos 2

A A

A A A  

 ^

 ，A A₁² A₂² 2A₁A₂cos





（1）當考慮相同振幅 A₁  A₂、 ₂₁0，根據三角函數半角公式，則 2 )

cos(

2A₁ ^{2 1}t

A   -公式（4）。將公式 4 代入公式（3）並根據和差化積公式，它們合

振動疊加的結果可簡化 )

cos( 2 2 )

cos(

2 ) cos(

2A₁ ^{2 1}t ^{1 2} t A ^{1 2} t

x      

 

 

 -公式（5）。

（2）討論₂₁ ₁₂或者₂ ₁的情況下，且透過公式（5）得知為合振 動的角頻率為

2

2

1 

 

，疊加後的振幅為 )

cos( 2

2A₁ ^{2 1}t

A  

 ，並隨著時間作緩慢的變

化，由於 ) 1

cos( 2

0 ²  ¹ 

   t

，則 Amax=2A1與 Amin=0。上述可以發現，合振動的振幅 隨著時間緩慢的週期性變化，產生合振動的振幅時而加強與時而減弱的情況，稱之為 拍，而單位時間內振動加強與減弱的次數稱為拍頻_beat ₂ ₁，則 f_beat  f₂  f₁。

8

圖 4-2 同方向不同頻率向量合成法

三、兩相互垂直的同頻率簡諧運動合成

圖 4-3 為兩互相垂值同頻率的簡諧運動的示意圖，兩互相垂值同頻率的簡諧運動合 成，它的軌跡為平面曲線，並利用曲線的形狀來決定振動的週期與振幅。假設兩個振動 為分別為x A₁cos(t₁)與y  A₂cos(t₂)，並令t₁ 與 ₂₁，則



1cos A

x 與y  A₂cos()，改寫成 cos A1

x -公式（6）與 cos() A2

y -公式

（ 7 ） 。 透 過 三 角 函 數 的 積 化 和 差 公 式 與 平 方 關 係 獲 得



















 )cos cos sin sin cos cos  1cos sin

cos( ² -公式（8）。將公

式 （ 6 ） 與 公 式 （ 7 ） 代 入 公 式 （ 8 ） 獲 得







     



 ₂ ²

1 2 2

2 2 1 2

2 1 2 2 2

sin sin

cos 2 cos

A x A

x A

A xy A

y ，利用三角函數平方和的概念獲得

) (

sin ) 2 cos(

1 2 2 1

2 2

1 2 2 2

2 1

2       

A A

xy A

y A

x -公式（9）。公式（9）為橢圓方程式。

圖 4-3 兩相互垂直同頻率向量合成法

9

四、兩相互垂直的不同頻率簡諧運動合成

兩相互垂直的不同頻率簡諧運動，因不同頻率與相位差隨時間而變化，則會產生不 穩定的圖形。本研究討論不同頻率比值為簡單的整數比，則會產生穩定的封閉軌跡，又 稱李薩如圖形。

10

伍、研究結果

本研究透過上節討論的四個簡諧運動的合成所推導出的解析解，並利用計算軟體離散化 解析解來進行模擬簡諧運動軌跡。所模擬出來的圖形能使得我們更瞭解物理的意義。

一、同方向同頻率簡諧振動合成

為了驗證本研究的分析與程式撰寫的完備性，本文參考沈清嵩等人（2015）所寫 的選修物理上書中的第二章第四節小波的疊加原理提到的觀念，兩波長相同的波峰，即 兩波峰在同一位置，當兩波同相疊加，所產生的振幅為最大，又稱完成建設性干涉；當

兩波峰到達位置相差半個週期，稱兩波在該位置反相，又稱兩波 180^°異相，所產生的振

幅為最小，稱完全破壞干涉。

（1）兩波同相：假設兩個分振動為：x₁ A₁cos(t₁)、x₂  A₂cos(t₂)，相 同頻率與相位角A₁ 1m、1rad /s、₁0、A₂ 1.5m與₂ 0。圖 5-1 為兩相同頻 率與相位角的振動軌跡模擬結果。圖 5-2 為合振動可觀察出兩振幅是疊加的結果，此結 果驗證模擬是符合實際情況。

（2）兩波反相：假設兩個分振動為：x₁ A₁cos(t₁)、x₂  A₂cos(t₂)，相 同頻率與相位角A₁ 1m、1rad /s、₁0、A₂ 1.5m與₁ 。圖 5-3 為兩相同頻 率與反相的振動軌跡模擬結果。圖 5-4 為合振動可觀察出兩振幅是反相的結果，此結果 驗證模擬是符合實際情況。

11

圖 5-5 兩相同頻率與相位角的振動軌跡 圖 5-6 兩相同頻率與相位角的合振動軌跡

圖 5-7 兩相同頻率與反相的振動軌跡 圖 5-8 同方向同頻率與反相疊合振動軌跡

二、同方向不同頻率簡諧振動合成

假設兩個分振動為：x₁ A₁cos(₁t₁)、x₂ A₂cos(₂t₂)，同方向不相同 頻率與相位角A₁10m、₁5rad /s與₁0；A₂ 10m、₁5.5rad /s與₂ 0。 圖 5-9 為同方向不相同頻率的振動軌跡模擬結果。圖 5-10 的合振動可表示簡諧運動與合 成為拍的情況。此拍的結果為忽強忽弱的現象驗證模擬是符合實際情況。

圖 5-11 同方向不同頻率的振動軌跡

12

三、兩相互垂直的同頻率簡諧運動合成

假設兩個振動為分別為x A₁cos(t₁)與y A₂cos(t₂)，經由三角函數與整

理獲得： 2 cos( ) sin ( )

1 2 2 1

2 2

1 2 2 2

2 1

2       

A A

xy A

y A

x ，此為橢圓方程式。藉由A₁ 1m、

s rad /

11

 、A₂ 1.5m、₂ 1rad /s與相位差 ₂₁來討論圖形情況如下：

（1）相位差0^與 ，則合振動軌跡為線振動。

（2）相位差

2

 

 與

2 3

 

 ，則合振動軌跡為正橢圓。振幅A₁  A₂，則為正圓。

（3）相位差

4

 

 、

4 3

 

 、

4 5



 與

4 7

 

 ，則合振動軌跡為斜橢圓。

圖 5-6~圖 5-13 為相互垂直同頻率的合成振動軌跡，並為一個週期的過程，不同的 相位差情況所獲得的圖形。此結果為橢圓軌跡的情況，也驗證模擬是符合實際情況。

圖 5-12 相位差 Δφ = 0 圖 5-13 相位差 Δφ = π

圖 5-14 相位差 Δφ = π/2 圖 5-15 相位差 Δφ = 3π/2

13

圖 5-16 相位差 Δφ = π/4 圖 5-17 相位差 Δφ = 3π/4

圖 5-18 相位差 Δφ = 5π/4 圖 5-19 相位差 Δφ = 7π/4

四、兩相互垂直的不同頻率簡諧運動合成

本研究討論不同頻率比值為簡單的整數比，則會產生穩定的封閉軌跡，又稱李薩如 圖形。一般不同頻率比值（ω1: ω2）常見的有 1∶1、2:1、3:1、3:2 的不同相位差的李薩如 圖形，本研究取 3:2 來探討，如圖 5-14~圖 5-21。假設振動為分別為x A₁cos(t₁)與

) cos( ₂

2  

 A t

y ，A₁1m、₁3rad /s、A₂ 1m、₂ 2rad /s。

圖 5-20 相位差 Δφ = π/4 圖 5-21 相位差 Δφ = π/2

14

圖 5-22 相位差 Δφ = 3π/4 圖 5-23 相位差 Δφ = π

圖 5-24 相位差 Δφ = 5π/4 圖 5-25 相位差 Δφ = 3π/2

圖 5-26 相位差 Δφ = 7π/4 圖 5-27 相位差 Δφ = 2π

陸、結論 一、討論

本研究成功利用電腦軟體模擬簡諧運動的軌跡，並探討簡諧運動的情況。在同方向 同頻率簡諧振動合成中，無論是同相疊加與反向皆與文獻所提出相同（沈清嵩，1974）。

在同方向不同頻率簡諧振動合成中，振幅有忽強忽弱的現象，又稱拍情況與文獻所提出

15

相同（葉偉國，2012）。在兩相互垂直的同頻率簡諧運動合成表示，藉由不同的相位差 有不同的圖形，此概念與文獻所提出相同（林水盛，2011）。兩相互垂直的不同頻率簡 諧運動合成中，本文取有規律的頻率為整數比（3:2）並獲得李薩如圖形。此概念與文獻

所提出相同（林水盛，2011）。經由上述的文獻驗證了本研究的模擬結果的正確性，並

由模擬結果了解簡諧振動的合成情況。

二、心得

在這次科展，我是負責理論推導與熟悉計算軟體，透過科展比賽，我們複習了高中 學的物理基礎、基礎數學，並讓我們學習到基本的理論推論。在製作科展作品中，除了 要把作品完成，還需要到撰寫文章、文書排版、簡報練習等等。經由老師協助中，學習 到蒐集資料的能力，並要如何從文獻探討與分析來解決問題。

本次科展比賽，我負責將結果打成文字與結果做討論與分析。藉由跟指導老師多次 討論後，不停的修改與測驗程式，以找到解決問題的方式，並完成此作品。在製作作品 中，養成我們要勤做紀錄的習慣與從團隊中學習合作精神，經過這次比賽，也學會上台 報告的基本能力。

經由這次的科展比賽，了解團體合作的重要性，並學習分工合作與互相體諒。此次 比賽，我負責處理資料彙整，將文字內容排版，利用文書軟體建立目錄、圖表連結與建 立大綱，並將參考文獻整理成 APA 格式。為了這次科展比賽，經常放學與老師討論與 修正，經由一整學期的努力下，終於把作品完成。

柒、參考文獻

許良榮（2016）。玩出創意：120 個創新科學遊戲。出版社：五南圖書。

黃立伍、宋隆豪（2009）。專題製作-機械綜合篇。出版社：台科大圖書。

李彥澄、侯呈穎（2016）。單擺運動。全國高級中等學校小論文比賽，4，1-11。

邱奕勝、呂柏弦、范佐蔚（2015）。單擺與簡諧運動。全國高級中等學校小論文比賽，3，1-9。

鄭詮鏵、楊鎮豪、呂紹齊（2017）。活塞運動與簡諧運動的關係。全國高級中等學校小論文

16

比賽，3，1-9。

吳碧茵、陳妤甄、吳柏勳（2018）。簡諧運動機構的探討與製作。全國高級中等學校小論文 比賽，3，1-11。

周品、何正風（2012）。MATLAB 數值分析。出版社：五南。

許雅婷（2014）。利用 MATLAB 及同倫化數值法進行機構之設計合成。義守大學機械與自 動工程學系碩士論文（未出版），高雄。

陳宜芯、林芩卉、陳泓愷（2019）。使用 SciLab 求解牛頭鉋床的運動分析。全國高級中等學 校小論文比賽，9，1-11。

邱顯祐、陳侑浩、傅承春（2019）。應用 Runge-Kutta 求解傅科擺的軌跡。全國高級中等學 校小論文比賽，9，1-11。

沈清嵩、蔡志申、傅祖怡（2015）。選修物理上冊。出版社：康熹文化。

葉偉國、余國祥（2012）。大學物理。出版社：清華大學。

林水盛（2011）。大學物理。出版社：東華。