If f and g are concave down on I, then f+g is concave down on I.
一開始從圖形研究，是動機。圖形看到的現象被定義成 concave。
Q:concave up 它的定義是什麼？A:一階微分遞增
Q:用定義證還定理證？A:他給的是一個專有名詞，而不是一個性質。
pf:
∵ f' and g' are decreases on I. ∴ (f+g)'=f'+g' are decreases on I.
Therefore f+g is concave down on I.
eg.1 Sketch the graph of the function.
f(x)=3x^(5/3)-5x.
怎麼畫圖？需要的點只是局部極大極小，一定不可缺，但有這些點，不夠精準，
在把圖形的筆畫畫法放進去，開口朝上朝下的銜接點(point of infection)。
事實上需要的點只有局部極大小和反曲點，局部極大極小從 critical point f'(x)=0 or f'(x)找，反曲點從 f''(x)=0 or f''(x)不存在。
pf:
f'(x)=5x^(2/3)-5=0⇒x^(2/3)=1⇒√x3 2=1⇒x=±1 f''(x)=(10/3)x^(1/-3)=10
3√x⇒f''(0) doesn't exist.
Q:0 在不在定義域？A:在
Q:要畫的點只要考慮？A:實數只要看±1、0(要算出 y 值) Q:這個函數定義在哪裡？A:所有點都有定義 ℝ
Q:一(二)階微分研究什麼？A:一階遞增遞減、二階上凹下凹 Q:這三點來自哪裡？A:一階微分或二階微分等於 0 或不存在。
Q:從哪裡畫到哪裡？A:從負無限大到證無大，根據定義域。
x x<-1 -1 =-1<x<0 0 0<x<1 1 x>1
f'(x) + 0 - - - 0 +
f''(x) - - - 不存在 + + +
f(x) 增下凹 2 減下凹 0 減上凹 -2 增上凹
lim(x→-∞)f(x)=-∞ and lim(x→∞)f(x)=∞ 可微畫出來是圓滑 smooth
eg.2 Sketch the graph of the function f(x)=x+cosx on [0,2π]
pf:
f'(x)=1-sinx =0⇒x=π/2 f''(x)= -cosx=0⇒x=π/2,3π/2
x 0<x<π/2 π/2 π/2<π<3π/2 3π/2 3π/2<x<2π
f'(x) + 0 + + +
f''(x) - 0 + 0 -
f(x) 增下凹 π/2 增上凹 π/2 增下凹
f(0)=1 and f(2π)=2π+1
Ex:P194(7.40.44.46)、P208(4.14.21) 補:Let f:(a,b)→ℝ be twice diff.
If f''>0 on (a,b), then the graph of the function on y=f(x) lies above any of its tangent lines.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3
2
1
0
-1
-2
-3 (-1, 2)
(1, -2) (0, 0)
0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
2π
3π/2
π
π/2
0 (0, 1)
(1.57, 1.57)
(4.71, 4.71) (6.28, 7.28)
Chapter5 Integration
§ 5.2 The definite integral of a continuous of function.
Question:How to compute area?
Answer:想解決此問題，必須會算定積分。
什麼是定積分呢？下面我們詳細的解釋。
從物理或生活，生活裡頭討論面積是常有的事情，假設這是一畝地和一個池塘，
現在要把這塊地賣掉，要知道這塊地是多少，生活裡頭很多事情是不規則的。問 題是隨便給你一個圖形，面積多少？
積分一講完面積可算，微分一講完圖形可畫？微積分一講完，高微度的數學就出 來了。物理都是在三維與四維。微積分 2 重頭戲，微積分 1 是基礎。
By the way 在大學裡頭課程裡頭，你都要專注，不是要抓出一個結果，而是怎麼 樣算怎麼樣做，有過程有步驟。
Let f:[a,b]→ℝ be a function.
為了討論的方便起見，先假設 f≥0 on [a,b].畫出一二象限的圖形
Let the region between the graph of the function y=f(x) and the x-axis be Ω What's the area(Ω) ?
你可以看出來，圖形本身會亂彎，不一定連續不一定可微，它的不規則取決於這 個函數圖形的變化，這個面積沒辦法算，原因是它不是一個規則形(規則形是長 方形)。我們希望這個問題可以被解決，這個答案要是有系統的方式，是用於所 有的函數，後來人家經過思考，真正使不規則的原因是函數，使得沒辦法一次算 出來，我們可以用估計的方式。怎麼估呢？能不能把這個區間做細分，細分的方 式還是不規則，能不能讓細分的方式有規則一點，我們需要有系統的方法。我們 需要切割，希望割出來的圖形是長方形，割出來的圖形比原來更像長方形，原因 是不規則的部分變少。這個割法是有系統的方式，取決於你要割幾塊。你要描述 區間，只要描述端點。在數學上的說法是，給分點做細分。
Q:誰的細分？A:函數的定義域的區間。
Q:細分講的是小區間還分點？分點
Q:把它分成 n 個小區間，需要幾個分點？A:n+1
O a=x0 xi b=xn x
Ω
Def:
○1 By a partition Pn of [a,b]
We mean a set of finite points in [a,b] such that Pn={a=x0<x1<...<xn=b}
○2 Let Δxi=xi-xi-1=the length of ith subinterval [xi-1,xi], ∀ i=1,2,…n.
eg. Find a P5 for [0,1] and find its Δx.i pf: Let P5={0<1/5<1/3<1/2<2/3<1}
ThenΔx1=1/2, Δx2=2/15, Δx3=1/6...
Def:Let Mi=sup[xi-1-xi]f(x) and mi=inf[xi-1-xi]f(x), ∀i=1,2,...,n.
Then MiΔxi=第 i 的小區間的外接長方形的面積，miΔxi=第 i 的小區間 的內接長方形的面積。
Def:The number Uf(Pn)=
1 n
i
Mi xi
=
∑
∆ =(M1Δx1+M2Δx2 +…+MnΔxn)Is called the Pn-upper sum for f.
And the number Lf(Pn)=
1 n
i
mi xi
=
∑
∆ =(m1Δx1+ m 2Δx2 +…+ m nΔxn)Is called the Pn-lower sum for f.
Q:一般來講函數先固定，誰可動？
A:我們用細分來做細分，Pn 可動。Uf(Pn)考慮到函數 f 的 n 項細分
e.g. The function f(x)=5-x^2 on[-1,3].
The partition P={-1,3/2,2,3} is a partition of [-1,3]
Q:為什麼是一個 partition？A:它是一個有限點所成的集合，包含-1 根 3。
Find Lf(P) and Uf(P).
pf:
M1=f(0)=5, M2=f(3/2)=(11/4), M3=f(2)=1 Uf(P)=5⋅(5/2)+(11/4)⋅ (1/2)+1⋅1=119/8 m1= f(3/2)=(11/4), m2=f(2)=1, m3= f(3)=-4 Lf(P)=(11/4)⋅ (5/2)+ 1⋅(1/2)+ -4⋅1=27/8
Note:Lf(P)≤Area(Ω)≤ Uf(P), ∀P.
