第1章　綜合演練基礎題1.

高中選修數學甲(上)習作 第 1 章　機率統計　14

第1 章　綜合演練

基礎題

1. 擲一枚均勻硬幣四次，若每出現一個正面得 3 元，一個反面賠 1 元，則所得總額之期望值 為　　　元。（8 分）

解 ∵擲硬幣一次平均可得1

2 × 3＋1

2 ×（－1）＝1（元）

∴擲硬幣四次之期望值（平均值）為 4 × 1＝4（元）

2. 箱中有兩顆紅球與兩顆白球。一摸彩遊戲是從箱中同時抽出兩顆球。如果抽出的兩球顏色 不同，則得獎金60 元；如果兩球顏色相同，則無獎金。請問此遊戲獎金的期望值為何？

（8 分）

(A)20 元 (B)30 元 (C)40 元 (D)50 元 (E)60 元。

解 設隨機變數 X 表示抽出兩顆球可獲得的金額，隨機變數 X 的機率分布如下表：

一紅一白 顏色相同

X

p

2 2

1 1

4 2

C C C

 ₂² ₂²

4 2

C C C

＋

E（X）＝

2 2

1 1

4 2

C C C

 × 60＋

2 2

2 2

4 2

C C C

＋ × 0＝40（元）

故選(C)

3. 袋中有紅球 2 個，黑球 3 個，球大小一致且被取出的機會均等，連續自袋中取球 5 次，每 次取一球，取出後放回，且每次取球結果互相獨立，則：

(1)取得紅球次數的期望值為　　　次。（4 分）

(2)取得紅球次數的標準差為　　　次。（4 分）

解 設隨機變數 X 表示取球 5 次可獲得的紅球數 此為 n＝5，p＝2

5的二項分布；q＝1－p＝3 5 (1)取得紅球次數的期望值 E（X）＝np＝5 × 2

5＝2（次）

(2)取得紅球次數的變異數 Var（X）＝npq＝5 × 2 5 × 3

5＝6 5 故標準差為 6

5 ＝ 30

5 （次）

4. 連續投擲一公正骰子 3 次，以隨機變數 X 表示出現點數為 2 或 6 的次數，則：

(1)X 的期望值為　　　次。（3 分）

(2)X 的變異數為　　　。（3 分）

(3)X 的標準差為　　　次。（3 分）

解 此為 n＝3，p＝1

3的二項分布 (1)X 的期望值 E（X）＝3 × 1

3＝1（次）

(2)X 的變異數 Var（X）＝3 ×1 3 × 2

3＝2 3

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(3)X 的標準差 Var X（ ）＝ 2 3 ＝ 6

3 （次）

5. 調查顯示有 50％的大學生曾有打工經驗，現抽取 5 位大學生，且每位大學生打工與否互 相獨立，則至少有4 位曾有打工經驗的機率為　　　。（8 分）

解 此為 n＝5，p＝50％＝1

2的二項分布 因此至少有 4 位曾有打工經驗的機率為

5

C4

1 4

2

  

  1 2

  

 ＋C₅⁵ 1 5

2

  

  ＝ 5 32＋ 1

32＝ 3 16

6. 隨機抽取 400 個隨身碟，發現其中有 8 個不良品。試求在 95％信心水準下，此種隨身碟真 正的不良率

p 的信賴區間為　　　。（8 分）

解 ∵p＝ 8 400＝ 1

50  標準差 σ＝

1 1 50 1 50

400

 

 

 － 

∴p 的 95％信賴區間為 1 50± 2 ×

1 1 50 1 50

400

 

 

 －  ＝0.02 ± 0.014 即 0.006  p  0.034

故在 95％信心水準下的信賴區間為[0.006﹐0.034]

7. 某市為了籌措經費而發行公益彩券，該市決定每張彩券的售價為 100 元，且每發行一百萬 張彩券，即附有壹千萬元獎1 張，壹佰萬元獎 9 張，壹拾萬元獎 90 張，壹萬元獎 900 張，

壹仟元獎9000 張。試問當你購買一張彩券時，你預期會損失　　　元。（8 分）

解 彩金為 10⁷× 1₆

10 ＋10⁶× 9₆

10 ＋10⁵× 90₆

10 ＋10⁴×900₆

10 ＋10³×9000₆

10 ＝10＋9＋9＋9＋9＝46 購買一張彩券的期望值為 46－100＝－54（元）

8. 某公司評估甲、乙兩種投資案，甲、乙兩案成功的機率分別為 0.6、0.7。在甲案，若成功預 計可獲利 80 萬元；如果失敗，預計將虧損 50 萬元。在乙案，若成功預計可獲利 60 萬元；

如果失敗，預計將虧損 40 萬元。如以獲利期望值為決策準則，該公司應選擇甲案或乙案 投資？寫出作決策的過程。（8 分）

解 選擇甲案之期望值 E（甲）＝80 × 0.6＋（－50）× 0.4＝28 選擇乙案之期望值 E（乙）＝60 × 0.7＋（－40）× 0.3＝30

∵E（甲）＜E（乙）

∴選擇乙案投資較有利

9. 同時擲三顆公正骰子一次的遊戲，每次輸贏規則如下：若三顆骰子的點數全都是 6，則可 贏7 元；恰有兩個點數為 6，則可贏 4 元；恰有一個點數為 6，則可贏 1 元；而沒有點數 為6，則輸 2 元。如此，玩一次的期望值（贏為正，輸為負）為　　　元。（8 分）

解 設隨機變數 X 表示擲三顆骰子一次所得到點數為 6 的個數

P（X＝k）＝

6

 k

   5 3

6

  k

  

－

，k＝0，1，2，3

錢數

X

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機率

P（X＝

k）

1

6 ³

5 3 6

 ²

3

5 3 6



3

5 5 5 6

 

∴期望值為 7 × 1₃

6 ＋4 × 5 3₃ 6

 ＋1 × 25 3₃ 6

 －2 × 125₃

6 ＝－1

2（元）

進階題

1. 某次考試，有一多重選擇題，有(A)、(B)、(C)、(D)、(E)五個選項，給分標準為完全答對給 5 分，只答錯1 個選項給 3 分，答錯 2 個或 2 個以上的選項得 0 分。若某一考生對該題的 (A)、(B)選項已確定是應選的正確答案，但(C)、(D)、(E)三個選項根本看不懂，決定這三個 選項要用猜的來作答，則他此題所得分數的期望值為　　　。（9 分）

解 剩下(C)，(D)，(E)三個選項，隨機變數 X 表示得到的分數

X

p

1 3

2

  

  ＝1 8

3

C2× 1 3

2

  

  ＝3 8

3

C1 × 1 3

2

  

  ＋C₀³× 1 3

2

  

  ＝4 8 全對：5 ×

1 3

2

  

  ＝5

8，對 2 個：3 × C₂³× 1 3

2

  

  ＝9 8 ， 對 1 個以下：0 ×

3 3

3 3

1 0

1 1

2 2

C C

     

       

 

 ＋ ＝0

E（X）＝

8＝14 8 ＝7

4（分）

2. 全國高三學生 20 萬人，智商測驗的結果是「平均數 100，標準差 15」的常態分布，若以智 商130 以上做為甄選高三學生為資優生的門檻，則根據這次測驗的結果判斷下列選項中的 敘述，哪些是正確的？（9 分）

(A)約有 5％的高三學生通過資優生甄選門檻 (B)約有 10 萬名高三學生的智商在 100 以上

(C)超過 14 萬名高三學生的智商介於 85 至 115 之間 (D)隨機抽出 1000 名高三學生，可期望有 25 名資優生

(E)如果某偏遠學校只有 10 名的高三學生，那麼該校不會有資優生。

解 (A)×：130＝100＋15×2  2 個標準差以上有1

2（1－95％）＝2.5％

(B)○：平均數 100 以上占 50％，約有 20 × 50

100＝10（萬人）

(C)×：[85﹐115]＝[100－15﹐100＋15]占 68％，約有 20 × 68

100＝13.6（萬人）

(D)○：由(A)知比率為 2.5 ％，約有 1000 × 2 5 100

.

(E)×：資優生占 2.5％為隨機取樣的期望比率，不足以判斷某特殊區域之情形 故選(B)(D)

3. 假設甲、乙兩班人數一樣多，甲、乙兩班的數學成績分布都很接近常態分布，其中甲班的 數學成績平均為60 分，標準差為 5 分；乙班的數學成績平均為 70 分，標準差為 10 分。若 用粗線表示甲班的數學成績分布曲線；細線表示乙班的數學成績分布曲線，則下列哪一

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個分布圖較為正確？（9 分）

(A) (B) (C)

(D) (E)

解 甲班的數學成績平均為 60 分＜乙班的數學成績平均為 70 分

 常態分布的高峰即是平均數

∴甲班的高峰在乙班的高峰左側

甲班的標準差 5 分＜乙班的標準差 10 分  甲班的數學成績較為集中 又甲班、乙班人數一樣多  曲線下面積應該相等  (D)合

故選(D)