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較嚴謹的發現熵推論
周鑑恒 萬能科技大學 光電系 [email protected] 摘要：理想氣體經任何可以時時刻刻清楚定義狀 態的循環過程，此循環過程中每一微小變化時理 想氣體獲得的熱，除以當時理想氣體得溫度，再 全部加總起來，利用卡諾循環的計算結果，可得 其總和為零。所有教科書為了定義熵，都會提到 這個推論過程。但大部分教科書的推論都較粗 糙，讓真正認真的學生反而難以理解。本文針對 國內外大部分教科書都沒說清楚的推論過程，提 出改進。 關鍵詞：熵、熱力學壹、 前言
理想氣體經過任何可以時時刻刻清楚定 義狀態的循環過程，將此循環過程中每一微 小變化時理想氣體獲得的熱，除以當時理想 氣體的溫度，再全部加總起來，其總和為零。 亦即：生活與物理
0
=
∫
dQ
T
………（1） 基 於 此 重 要 結 果 ， 繼 續 推 論 出 ： dS T dQ ≡ ， 即為熵，為狀態的變數，並 再以熵的變化情形，陳述熱力學第二定律。 S 國內、外許多教科書，在展開這部分的 推論時或多或少都有諸如：『一可逆循環均 可由許多個小卡諾循環來近似』1 、『設想用 一系列微小的可逆卡諾循環代替該任意可逆 循環過程，兩個相鄰的卡諾循環共用一條絕 熱線，對不同的卡諾循環，絕熱過程進行的 方向相反，效果抵銷，因此這些小循環的總 效果相當於圖中鋸齒形的閉合曲綫2 。』、『對 於一個任意的可逆循環，我們總可以將其畫 分為若干微小的可逆卡諾循環3 。』、 、『對於 任意一個可逆循環，可用 PV 圖中的光滑閉 合曲線表示。現用一系列微小的卡諾循環代 替，由於曲線內的絕熱綫為相鄰兩個可逆卡 諾循環所共有，過程在正反方自各進行一 次，根據可逆過程的定義，效果應該相消， 那麼，這些小循環的總效果，相當於鋸齒形 的閉合曲線4 。』 即便著名的美國普物教科書也有同樣的 問題，例如：H.Beson 所著 University Physics 中 的 相 關 敘 述 為 ：『 Consider an arbitrary reversible cycle, depicted as a closed curve in figure. We may approximate it by a series of Carnot cycles. 5』；D. Halliday 等人所著的 Fundamentals of physics 6，在第四版之前也 採取同樣的說法，發現問題重重之後，第八 版和最新的第九版就揚棄了『疊加一系列卡 諾循環逼近真實的任意循環』的說法，但卻 無更好的說法。
158 但是，一系列某種過程與此任意一個循 環過程等效的論述，在大一熱力學中此處首 度突兀提出，（1）事實上居然並無根據，既 無前例，也無後續援用的例子，以致於各教 科書的說法含糊曖昧，不完全一致；（2）『疊 加一系列卡諾循環』，也走不通，因為『疊 加一系列卡諾循環』不可能是一個實際存在 的過程，兩卡諾循環間必須跳躍，跳躍是何 意義？又無法解釋；（3）使學生誤以為：任 一循環過程與一系列卡諾循環等效，是任一 循環過程中
∫
dQ
T
=
0
成立的前提。 1：先用一系列緊密的絕熱線，分割任意一 程成無數微小變化。 圖 個循環過貳、一個直接了當的計算策略
其實，發現dQ T ≡dS的推論最好、也 最有說服力的說法是，不要提出用什麼過程 代替此任一循環過程，直接計算出此任一循 環過程dQ T 總和等於零。 首先，利用一系列絕熱線，將圖（1）所 示的任一循環過程分成無數的微小過程，其 中任一微小段過程，兩端點以α
,
β
標示。注 意：此時絕熱線只是用來將此循環過程畫分 成無數的微小過程，完全不存在那些過程與 此任意一個循環過程等效的問題。αβ
2：根據微積分的基本概念， 這一小 圖 求出以α
,
β
標示兩端點的微小變化時 氣體的平均溫度T
，以此溫度T
的等溫過程 連接兩相鄰的絕熱線。此等溫線與原本αβ
這一小段必然相當重合，但不完全相同，仍 須 經 兩 相 鄰 絕 熱 線 的 一 小 部 份 才 能 連 接αβ
。 至此，作者仍然不主張：循環過程中此 一小段αβ
過程，可以用一條等溫過程加上 兩絕熱過程替代；而只推論出：此循環過程 中此一小段αβ
過程的 ，與這樣決定 的一等溫過程的 相同！T
dQ /
T
dQ /
（甲）此原本的一小段過程兩端點為β
α
,
；而一段等溫線與二段絕熱線構成的變 化之兩端點也為α
,
β
。因為內能只與狀態有 關，所以一段等溫線與二段絕熱線的變化過 程中的 ，與原本的這一小段的 一 樣。即 intdE
dE
int 兩絕熱一等溫 intdE
=dE
int原始詢環的αβ段 …（2） （乙）圖（2）為一小段αβ
過程的放大 圖。從圖中可看出：二條絕熱線和一條等溫 線的過程中理想氣體所作的功為： 段與α
abcd
β
這段的dW相等。αβ
的體積 軸）為 dV。 變化（橫159
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
= + + + + ≈ = a b a c b d c d c b PdV PdV PdV PdV PdV PdV PdV dW α β β α ………（3） 而原始真實循環過程中這一小段αβ
變 化中理想氣體所作的功為：∫
= β α PdV dW ………（4） 從圖（2）中斜線面積可看出：∫
=
c bPdV
dW
兩絕熱一等溫 = 段 原始循環的αβ β αdW
PdV
=
∫
……（5） （ 丙 ） 根 據 第 一 定 律 : ，再根據（2）式與（5） 式，這兩條絕熱線和一條等溫線的過程中所 吸收的熱 ，等於原始循環過程中dW
dE
dQ
=
int+
dQ
αβ
這小 段所吸收的熱dQ
。因絕熱過程沒有熱交 換，所以就是該一條等溫過程中所吸收的熱 ，就等於原始循環過程中dQ
αβ
這小段所吸 收的熱dQ
。即：∑
小段 αβ , i i iT
dQ
圖 3：計算 （上）， ”數值上” 就等於計算∑
對應小段的等溫過程 , i i iT
dQ
（下），而後者 根據卡諾循環計算的結果等於零。 兩絕熱一等溫dQ
=dQ
對應的等溫線 亦 即 ： 原 始αβ
這 一 小 段 過 程 之 ， 等 於 相 對 應 的 小 段 等 溫 過 程 的T
dQ
/
T dQ 。 =dQ
原始詢環的αβ段 ………（6） （丁）在原始過程αβ
這一小段中，理 想氣體的平均溫度是T
，而實際溫度T ′
。因 為：原始循環過程中αβ
這段所吸收的熱 ，已證明等於該一條等溫線過程中所吸 收的熱 ；原始循環過程中dQ
dQ
αβ
這段的平均 溫度T
，等於該等溫過程中選定的溫度T
。 所以，根據微積分原理： （ 戊 ） 以 i 編 號 每 一 個 微 小 過 程αβ
。αβ
這一小段過程之 ，等於相 對應的小段等溫過程的 i iT
dQ /
i iT
dQ
。因此，∑
∑
=
對應小段的等溫過程 小段 , , i i i i i iT
dQ
T
dQ
αβ …（8） 參見圖（1）、圖（3），因為循環過程是 封閉曲線，相對應的小段等溫過程必成雙出 現，求總和時將成雙出現的d
Q
iT
i 先安排 在一組，即分別為圖（1）中某兩條絕熱線之 間的高溫等溫時的dQHj THj 及低溫等溫時 的dQCj TCj ,恰好是某卡諾循環的高溫等溫 段 原始循環的αβ dT T dQ + 段 原始循環的αβ T dQ P dP V dV T dQ ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − +⋅⋅⋅ = 1 該等溫過程 T dQ = ……（7）160 時的dQHj THj 及低溫等溫時的dQCj TCj ， 利用卡諾循環的計算結果： 1. 王紀龍等，大學物理學（第四版），上冊， 181 頁，科學出版社，2010 年 12 月。 0 = + Cj Cj Hj Hj T dQ T dQ ………（9） 2. 天律大學物理編寫組，『大與物理』上 柵，132 頁，天津大學出版社，2010 年 2 月。 即可得： 3. 陸培民等，大學物理學，下冊，53 頁， 清華大學出版社，2011 年 8 月。
=
∫
dQ
T
∑
=
∑
對應小段的等溫過程 小段 , , i i i i i iT
dQ
T
dQ
αβ 0 ) ( + = =∑
comot j Cj Cj Hj Hj T dQ T dQ ………（10） 4. 周鑑恒，教科書中發現熵的推論值得商 榷，2012 中華民國物理教育聯合會議論 文集，陸軍官校，2012 年 8 月。 5. 周鑑恒，熱力學，海峽前鋒出版社（台 北），2012 年 12 月。參、結語
6. 陳錫桓、林菲，『物理』，209 頁，臺灣滄 海書局，民國 100 年 4 月。 本文修改了一般教科書的說法，利用學 生熟知、常見的第一定律之習題的解法，直 接計算出任一循環過程dQ T 總和等於零， 而避免了『疊加一系列卡諾循環如何逼近任 意循環』之類經不起推敲的說法。7,87. D. Halliday, R. Resnick and J. Walker, Fundamentals of physics 4th ed., page 618, John Willey &Sons, Inc. 1993.
8. H.Beson, University Physics rev. ed., page 428, John Willey &Sons, Inc. 1995.
曹沖秤象，之所以可以藉石頭的重量秤 出象的重量，絕不是因為船上的石頭等於船 上的象；之所以可以利用一系列卡諾循環的 結果，算出任意循環過程的
