較嚴謹的發現熵推論

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較嚴謹的發現熵推論

周鑑恒 萬能科技大學 光電系 chou0717@gmail.com 摘要:理想氣體經任何可以時時刻刻清楚定義狀 態的循環過程,此循環過程中每一微小變化時理 想氣體獲得的熱,除以當時理想氣體得溫度,再 全部加總起來,利用卡諾循環的計算結果,可得 其總和為零。所有教科書為了定義熵,都會提到 這個推論過程。但大部分教科書的推論都較粗 糙,讓真正認真的學生反而難以理解。本文針對 國內外大部分教科書都沒說清楚的推論過程,提 出改進。 關鍵詞:熵、熱力學

壹、 前言

理想氣體經過任何可以時時刻刻清楚定 義狀態的循環過程,將此循環過程中每一微 小變化時理想氣體獲得的熱,除以當時理想 氣體的溫度,再全部加總起來,其總和為零。 亦即:

生活與物理

0

=

dQ

T

………(1) 基 於 此 重 要 結 果 , 繼 續 推 論 出 : dS T dQ ≡ , 即為熵,為狀態的變數,並 再以熵的變化情形,陳述熱力學第二定律。 S 國內、外許多教科書,在展開這部分的 推論時或多或少都有諸如:『一可逆循環均 可由許多個小卡諾循環來近似』1 、『設想用 一系列微小的可逆卡諾循環代替該任意可逆 循環過程,兩個相鄰的卡諾循環共用一條絕 熱線,對不同的卡諾循環,絕熱過程進行的 方向相反,效果抵銷,因此這些小循環的總 效果相當於圖中鋸齒形的閉合曲綫2 。』、『對 於一個任意的可逆循環,我們總可以將其畫 分為若干微小的可逆卡諾循環3 。』、 、『對於 任意一個可逆循環,可用 PV 圖中的光滑閉 合曲線表示。現用一系列微小的卡諾循環代 替,由於曲線內的絕熱綫為相鄰兩個可逆卡 諾循環所共有,過程在正反方自各進行一 次,根據可逆過程的定義,效果應該相消, 那麼,這些小循環的總效果,相當於鋸齒形 的閉合曲線4 。』 即便著名的美國普物教科書也有同樣的 問題,例如:H.Beson 所著 University Physics 中 的 相 關 敘 述 為 :『 Consider an arbitrary reversible cycle, depicted as a closed curve in figure. We may approximate it by a series of Carnot cycles. 5』;D. Halliday 等人所著的 Fundamentals of physics 6,在第四版之前也 採取同樣的說法,發現問題重重之後,第八 版和最新的第九版就揚棄了『疊加一系列卡 諾循環逼近真實的任意循環』的說法,但卻 無更好的說法。

(2)

158 但是,一系列某種過程與此任意一個循 環過程等效的論述,在大一熱力學中此處首 度突兀提出,(1)事實上居然並無根據,既 無前例,也無後續援用的例子,以致於各教 科書的說法含糊曖昧,不完全一致;(2)『疊 加一系列卡諾循環』,也走不通,因為『疊 加一系列卡諾循環』不可能是一個實際存在 的過程,兩卡諾循環間必須跳躍,跳躍是何 意義?又無法解釋;(3)使學生誤以為:任 一循環過程與一系列卡諾循環等效,是任一 循環過程中

dQ

T

=

0

成立的前提。 1:先用一系列緊密的絕熱線,分割任意一 程成無數微小變化。 圖 個循環過

貳、一個直接了當的計算策略

其實,發現dQ TdS的推論最好、也 最有說服力的說法是,不要提出用什麼過程 代替此任一循環過程,直接計算出此任一循 環過程dQ T 總和等於零。 首先,利用一系列絕熱線,將圖(1)所 示的任一循環過程分成無數的微小過程,其 中任一微小段過程,兩端點以

α

,

β

標示。注 意:此時絕熱線只是用來將此循環過程畫分 成無數的微小過程,完全不存在那些過程與 此任意一個循環過程等效的問題。

αβ

2:根據微積分的基本概念, 這一小 圖 求出以

α

,

β

標示兩端點的微小變化時 氣體的平均溫度

T

,以此溫度

T

的等溫過程 連接兩相鄰的絕熱線。此等溫線與原本

αβ

這一小段必然相當重合,但不完全相同,仍 須 經 兩 相 鄰 絕 熱 線 的 一 小 部 份 才 能 連 接

αβ

。 至此,作者仍然不主張:循環過程中此 一小段

αβ

過程,可以用一條等溫過程加上 兩絕熱過程替代;而只推論出:此循環過程 中此一小段

αβ

過程的 ,與這樣決定 的一等溫過程的 相同!

T

dQ /

T

dQ /

(甲)此原本的一小段過程兩端點為

β

α

,

;而一段等溫線與二段絕熱線構成的變 化之兩端點也為

α

,

β

。因為內能只與狀態有 關,所以一段等溫線與二段絕熱線的變化過 程中的 ,與原本的這一小段的 一 樣。即 int

dE

dE

int 兩絕熱一等溫 int

dE

=

dE

int原始詢環的αβ …(2) (乙)圖(2)為一小段

αβ

過程的放大 圖。從圖中可看出:二條絕熱線和一條等溫 線的過程中理想氣體所作的功為: 段與

α

abcd

β

這段的dW相等。

αβ

的體積 軸)為 dV。 變化(橫

(3)

159

= + + + + ≈ = a b a c b d c d c b PdV PdV PdV PdV PdV PdV PdV dW α β β α ………(3) 而原始真實循環過程中這一小段

αβ

變 化中理想氣體所作的功為:

= β α PdV dW ………(4) 從圖(2)中斜線面積可看出:

=

c b

PdV

dW

兩絕熱一等溫 = 段 原始循環的αβ β α

dW

PdV

=

……(5) ( 丙 ) 根 據 第 一 定 律 : ,再根據(2)式與(5) 式,這兩條絕熱線和一條等溫線的過程中所 吸收的熱 ,等於原始循環過程中

dW

dE

dQ

=

int

+

dQ

αβ

這小 段所吸收的熱

dQ

。因絕熱過程沒有熱交 換,所以就是該一條等溫過程中所吸收的熱 ,就等於原始循環過程中

dQ

αβ

這小段所吸 收的熱

dQ

。即:

小段 αβ , i i i

T

dQ

圖 3:計算 (上), ”數值上” 就等於計算

對應小段的等溫過程 , i i i

T

dQ

(下),而後者 根據卡諾循環計算的結果等於零。 兩絕熱一等溫

dQ

=

dQ

對應的等溫線 亦 即 : 原 始

αβ

這 一 小 段 過 程 之 , 等 於 相 對 應 的 小 段 等 溫 過 程 的

T

dQ

/

T dQ 。 =

dQ

原始詢環的αβ段 ………(6) (丁)在原始過程

αβ

這一小段中,理 想氣體的平均溫度是

T

,而實際溫度

T ′

。因 為:原始循環過程中

αβ

這段所吸收的熱 ,已證明等於該一條等溫線過程中所吸 收的熱 ;原始循環過程中

dQ

dQ

αβ

這段的平均 溫度

T

,等於該等溫過程中選定的溫度

T

。 所以,根據微積分原理: ( 戊 ) 以 i 編 號 每 一 個 微 小 過 程

αβ

αβ

這一小段過程之 ,等於相 對應的小段等溫過程的 i i

T

dQ /

i i

T

dQ

。因此,

=

對應小段的等溫過程 小段 , , i i i i i i

T

dQ

T

dQ

αβ …(8) 參見圖(1)、圖(3),因為循環過程是 封閉曲線,相對應的小段等溫過程必成雙出 現,求總和時將成雙出現的

d

Q

i

T

i 先安排 在一組,即分別為圖(1)中某兩條絕熱線之 間的高溫等溫時的dQHj THj 及低溫等溫時 的dQCj TCj ,恰好是某卡諾循環的高溫等溫 段 原始循環的αβ dT T dQ + 段 原始循環的αβ T dQ P dP V dV T dQ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1 該等溫過程 T dQ = ……(7)

(4)

160 時的dQHj THj 及低溫等溫時的dQCj TCj , 利用卡諾循環的計算結果: 1. 王紀龍等,大學物理學(第四版),上冊, 181 頁,科學出版社,2010 年 12 月。 0 = + Cj Cj Hj Hj T dQ T dQ ………(9) 2. 天律大學物理編寫組,『大與物理』上 柵,132 頁,天津大學出版社,2010 年 2 月。 即可得: 3. 陸培民等,大學物理學,下冊,53 頁, 清華大學出版社,2011 年 8 月。

=

dQ

T

=

對應小段的等溫過程 小段 , , i i i i i i

T

dQ

T

dQ

αβ 0 ) ( + = =

comot j Cj Cj Hj Hj T dQ T dQ ………(10) 4. 周鑑恒,教科書中發現熵的推論值得商 榷,2012 中華民國物理教育聯合會議論 文集,陸軍官校,2012 年 8 月。 5. 周鑑恒,熱力學,海峽前鋒出版社(台 北),2012 年 12 月。

參、結語

6. 陳錫桓、林菲,『物理』,209 頁,臺灣滄 海書局,民國 100 年 4 月。 本文修改了一般教科書的說法,利用學 生熟知、常見的第一定律之習題的解法,直 接計算出任一循環過程dQ T 總和等於零, 而避免了『疊加一系列卡諾循環如何逼近任 意循環』之類經不起推敲的說法。7,8

7. D. Halliday, R. Resnick and J. Walker, Fundamentals of physics 4th ed., page 618, John Willey &Sons, Inc. 1993.

8. H.Beson, University Physics rev. ed., page 428, John Willey &Sons, Inc. 1995.

曹沖秤象,之所以可以藉石頭的重量秤 出象的重量,絕不是因為船上的石頭等於船 上的象;之所以可以利用一系列卡諾循環的 結果,算出任意循環過程的

=

0

T

dQ

,絕不 是因為一系列卡諾循環可以等於(或等效) 任意循環過程。這只是一個計算策略而已。 這一個普遍的小誤導,卻妨礙熱力學第 二定律的教學,其影響相當廣泛。學生讀到 此處正要試圖了解熱力學第二定律,但課文 卻有所疑議,百思反而不解。理解第二定律 的基礎即已有些模糊,因此,一般學生多不 能清楚掌握事實上很簡單明確的熱力學第二 定律。

致謝

感 謝 國 科 會 經 費 資 助 , 計 畫 編 號 : 100-2511-S-238-001-。

參考文獻

Figure

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References

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