國立台中師範學院九十二學年度研究所碩士班考試
微積分 科試題
測統所、數教系 用 1、反導函數是對導函數進行反函數的運算，若已知函數 的導函數為 cos( ， 則函數 的反導函數是 ( ) f x x) ( ) f x (1) ；已知函數 的反導函數是 ，根據 數學上之 ( ) f x g x)( (2) 定理，現在我們分別以 、 代入函數 ，計算 所得值，即表示函數 、x 軸、 及 所圍成圖形之面積； 舉例來說，若函數 ，其中 為自然對數，則計算函數 、 軸、 及 所圍成圖形之面積為 ，則 x= ) k a x=a k= x=b x=b ( g x) ( ) h x ( ) g b − x ( ) g a 1 = ( ) f x ( ) ln( ) h x = x ln(x x 2 x= (3) ；考慮黎曼積分 (Riemann Integrals)，在數學上可以經由黎曼積分的過程導出無窮級數的總 和，試利用黎曼積分導出無窮級數 S = (4) ，其中無窮級數 如下： S 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 2 S n n n n n = + + + + + + + + + + L L ；綜合反導函數的面積概念、黎曼積分及反函數的意義，計算 ，其中 為反正弦函數，函數 、y 軸、 及 所圍成圖形之面積為 ( ) arcsin( ) w y = y arcsin( )y w y( ) y =0 y =1 (5) 。 根據上面內容，將最適當的答案選項代碼填寫在答案格上。(每格 4 分，共 20 分) 答案群 答案 代碼 答案 代碼 答案 代碼sin( )x Riemann - Lebesgue 定理 2e
sin( )x
− Green’s Theorem 2e− 1
cos( )x
− Intermediate Value Theorem 2 ln 2 1−
cos( )x Sandwich Theorem 2 ln 2
arcsin( )x Fundamental Theorem of Calculus ln 2 arccos( )x Mean Value Theorem 2π − 1
不存在 2 ln 2 e− 1 2 π − Fubini 定理 tan( )x 1 2 π − Jenson 定理 e− 1 π − 1 Roll’s Theorem ln 2 2 1 1
2、設有兩個函數 f :y=sin 2x及g y: =cos(x)，在 2 0≤ x≤π 內，此二函數有兩個 交點 ( ,a b)與 ( ,c d)且0< <a c，而在 2 0≤ x≤π 範圍內，由 及 ， g 兩函數之 圖形所圍成之兩塊封閉圖形為 G。 0 x= f 根據上面內容，回答下列(1) ~ (5)題，將最適當的答案選項代碼填寫在答案格上。 (每格 4 分，共 20 分) (1) a+c之值為何？ (2) b−3d之值為何？ (3) 2 0 f x dx( ) π
∫
之值為何？ (4)區域 G 之面積為多少？ (5)區域 G 繞 軸旋轉所得之旋轉體之體積為多少？ x 答案群 答 案 代碼 答 案 代碼 答 案 代碼 6 π 2 2 3 3+ 2 π 3 8 3 3 π 3 π 2 1 16 3 3 π 3 2π 4 3 4 3 5 π 1 2 3 4 3 3+ 23、下文中有 5 個填空小題，請將各小題的正確答案代碼寫在答案卷上：(每格 4 分，共 20 分) 利用牛頓法(Newton’s Method)求方程式 一根的近似 值，首先先求出 和 3 ( ) 2 0 F x =x − x+ =A (2) 1 F = − F(3)= (1) ；因此由 (2) 可以得知在 區間中必定存在方程式的一個根。接著，因為對[2 區間中的所有 而 言， ，所以 在[2 區間中必定是 (2, 3) ,3] x 2 ( ) 3 F x′ = x − 2 0> F ,3] (3) ，並且在 (2 區間中 , 3) ( (4) 。基於 的值遠遠小於 的值，由是 在 (2 區間中的根應當離 2 較近。假如選取 ，那麼 (2) F F(3) F , 3) 0 x =2 3 0 0 0 1 0 0 2 0 0 ( ) 2 5 ( ) 3 2 F x x x x x x F x x − − = − = − ′ − 所以，x1 =2.1。再度利用牛頓法進一步的逼近，可以得到 1 2 1 1 ( ) 2.0945683 ( ) F x x x F x = − = ′ 再一次利用牛頓法逼近，可以得到 2 3 2 2 ( ) 2.0945516 ( ) F x x x F x = − = ′ 假若我們使用的工具只能給出小數點以下七位的精確值，那麼持續的利用牛 頓法來逼近，最後獲得的值將僅限於 (5) 。 答案群 答 案 代碼 答 案 代碼 答 案 代碼 16 有反曲點的 僅有一根 18 Green’s 定理 僅有三根 24 中間值定理 2.0945508 26 微積分基本定理 2.0945514 遞減的 均值定理 2.0945516 遞增的 存有二根 2.0945527 線性的 存有三根 3
4、函數 f x( )=ex和g x( )=xK，K為正整數，x>0在x→ ∞時， (a)何者的增加較快？(5 分) (b)你如何證明它。(5 分) 5、(a)在求一個曲線 在某區段上的弧長時，我們用 來求其弧長，你如 何 把 轉 換 為 使 用 或 使 順 利 的 化 為 對 即 或 對 y 即 的積分？(5 分) ( ) f x b a ds
