97指考數乙-非選

97 指考數學乙非選擇題作答情形分析

編者按：97 指考非選擇題評分標準說明系列報導，以數學考科壓軸，為此系列報導畫下句

點。本期邀請本中心數學考科兩位學科研究員撰文，提供數學甲、數學乙的非選

擇題評分標準說明及考生作答情形分析，請關心高中教育的各界參考。

第一處 陳慧美 表一列出 93 至 97 年數學乙非選擇題得零分及滿分的考生人數及人數百分比。由表中可看出 97 年的零分人數百分比為 25%，可明顯看出較 96 年少，但由歷年來看，它並非是零分人數百分比 最少的一年，95 年的零分人數百分比才是最低的一年；再由表中可知今年數學乙非選擇題得滿分 的人數百分比為9.1%，與 96 年相比增加許多，且由歷年來看，其滿分人數百分比算還滿高的，只 較93 年與 95 年的人數百分比略少一些。

表一、93 至 97 年數學乙非選擇題零分、滿分統計表

為了解數學乙考生可能的作答情形，我們從參與97 年數學乙考生群中隨機抽樣了 561 名考生 的答案卷進行分析。至於各題的正確解法，可詳見選才電子報第168 期「我的數學科非選擇題得分 了嗎？」 【第一題題目】 坐 標 平 面 上 有 兩 條 拋 物 線 ， 第 一 條 拋 物 線 的 頂 點 在

(−

4

,

0

)

， 焦 點 在

(−

4

,

4

)

， 第 二 條 拋 物 線 的 頂 點 在

(

4

,

4

)

， 焦 點 在

(

4

,

0

)

， 求 兩 條 拋 物 線 的 交 點 。( 1 3 分 ) 零分 滿分 年度 人數 百分比 人數 百分比 97 19,505 25% 7,214 9.1% 96 31,953 37% 2,203 3% 95 9,798 10% 9,709 10% 94 31,808 33% 773 0.8% 93 13,348 14% 9,087 9.2%

試題統計值： 項目 平均得分〈得分率〉 標準差 統計值 3.95〈30.38%〉 5.31 說明： 數學乙非選擇題中的第一題是評量兩拋物線的交點，考生對於此題的解法有下列兩種： (1) 能 正 確 地 寫 出 兩 條 拋 物 線 方 程 式 ， 即 2 2 ( 4) 16 ( 4) 16( 4) x y x y  + =   − = − −  ， 再 解 聯 立 方 程 組 求 得 二 交 點 為(4,4)和(−4,0)即 可 得 滿 分 。 (2) 能正確敘述「第二條拋物線的頂點(4,4)為第一條拋物線上的一點」之理由；同理，「第一條拋 物線的頂點(−4,0)亦為第二條拋物線上的一點」之理由，接著還需說明這兩條拋物線最多只有 兩個交點，即可得滿分。

表二、數學乙非選擇題第一題作答情形統計

內容 份數 百分比 未答 125 22.2% 有寫一些跟答案無關的內容，可看出不知該如何作答。 32 5.7% （法一）利用拋物線方程式求解 345 61.6% 利用拋物線方程式求解，完全正確。 124 22.1% 未能寫出兩條正確拋物線方程式 2 2 (x 4) 16 ( 4) 16( 4) y x y  + =   − = − −  ，或 2 2 2 2 ( 4) ( 4) 4 ( 4) 8 x y y x y y  _{+ + − = +}   − + = −  94 16.8% 只能正確寫出某一條拋物線方程式 83 14.8% 未寫出兩條正確拋物線方程式，但寫出二條準線 4 8 y y = −   =  1 0.2% 欲利用拋物線方程式求解，有求得x= ± 或4 y= 、4，但無0 法將其配對成(4,4) ( 4,0)和− 。 2 0.4% 欲利用拋物線方程式求解，但無法解出二點(4,4) ( 4,0)和 − 41 7.3%

（法二）利用圖形法求解 59 10.6% 利用圖形法完全正確，意即在圖形上說明第一拋物線的正焦 弦長與(4 ,4) 的關係，與第二條拋物線的正焦弦長與 ( 4,0)− 的關係。 0 0% 畫出圖形後，即說明兩交點為(4 ,4) 與 ( 4,0)− 。 8 1.4% 畫出圖形後，有提及正焦弦長為16，但未說明正焦弦長與 兩交點間的關係。 2 0.4% 圖形的開口方向不對 11 2.0% 圖形畫錯，以致答案錯誤 38 6.8% 其他 1 0.2% 表二是從97 年數學乙考生群中，抽樣 561 名考生的答案卷進行分析，表中可看出二成多的考 生連下筆作答都不願意就直接放棄；另有 5.7%的考生則寫一些與答案無關的內容，但可看出不知 該如何作答。抽樣中有22.1%的考生能完全作對，且是以拋物線方程式來求交點，較少看到考生能 正確畫出兩條拋物線圖形後，可正確說明出為何交點為(4 ,4) 與 ( 4,0)− 。 關於法一的部分，知道要利用拋物線方程式求解的考生比例約為61.6%，但只有 22.1%的考生 能完全作對。首先，在寫出兩拋物線方程式部份，有16.8%的考生未能寫出兩條正確拋物線方程式， 如：寫成(x+4)2+y2 = 與0 _(x−4)2_{+ −(y 4)}2 _{= ，因此無法得分；又有 14.8%的考生僅正確列出其0} 中 一 條 拋 物 線 方 程 式 ， 其 中 較 多 考 生 寫 錯 第 二 條 拋 物 線 ， 多 數 考 生 寫 成(x+4)2=16y 或 2 (x−4) =16(y− ，考生可能是因為粗心或觀念不清楚而寫錯。由此可知，有 31.8%的考生無法由4) 題幹的敘述寫出兩條正確拋物線方程式，因此建議高中教師在教授拋物線單元時，可加強此部分的 練習。但更為可惜的是，有 7.3%的考生可列出二條正確的拋物線方程式，但卻無法解出交點，及 另有0.4%的考生好不容易求得x= ± 或4 y= 、4，但無法將其配對成 (4 4)0 , 和( 4 0)− , ，因而無法得 滿分。 關於法二部份，利用圖形法求解的考生有 10.6%，在抽樣卷中發現有 1.4%的考生可正確畫出 兩拋物線的圖形，但未說明這兩條拋物線的交點為( 4 4), 和( 4 0)− , 的理由，且從圖形中的數據亦無 法看出( 4 4), 在第一條拋物線的理由，因而無法拿到分數。另有0.4%的考生只提及正焦弦長為 16， 但卻未進一步說明正焦弦長與點( 4 4), 之關聯性，亦無法得分。另外，在抽樣時發現考生在圖形的 描繪上有些問題，如：有8.8%的考生無法正確繪出正確圖形，其中 2%的考生其圖形的開口方向不 對，另有 6.8%的考生則將圖形畫成只有一個交點或無交點的情形，可知考生對圖形的描繪並不是 相當理想。至於在其他作法中，有考生會直接假設第一條拋物線為ax2+by c+ = ，第二條拋物線0 為dx2+ey+ = ，但經計算後亦無法求得交點。 f 0

數學乙非選擇題第一題 0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 分數 人 數 百 分 比

圖一、數學乙第一題的考生成績分布圖

圖一為數學乙全體考生於非選擇題第一題的成績分布圖。其中以0、4、8、11、13 分的考生居 多，可將各分數所對應的考生群區分如下： 得0 分者：未答、不知如何下手作答。或利用兩拋物線方程式求解，卻無法寫出二條正確拋物線方 程式。或利用圖形法作答，但卻無任何說明兩拋物線的交點為(4 ,4) 與 ( 4,0)− 。 得4 分者：只能正確寫出某一條拋物線方程式。 得8 分者：可以正確寫出二條正確拋物線方程式。 得11 分者：只解出一個交點，或求得x= ± 或4 y= 、4，但無法將其配對成 (4 4)0 , 和( 4 0)− , 。 得13 分者：能正確推論求得答案。 由以上敘述可知此題主要鑑別的考生能力群為0、4、8、11、13 分。其中得零分的人約 58%， 得4 分的考生約 11%，得 8 分的考生約 4%，得 11 分的生約 4%，約有 20%的考生能完全作對。 【第二題題目】 建 築 公 司 在 房 市 熱 絡 時 推 出 甲 、 乙 兩 型 熱 門 預 售 屋 。 企 劃 部 門 的 規 劃 如 下 ： 甲 型 屋 每 棟 地 價 成 本 為 5 0 0 萬 元 ， 建 築 費 用 為 9 0 0 萬 元 ， 乙 型 屋 每 棟 地 價 成 本 為 2 0 0 萬 元，建 築 費 用 為 1 5 00 萬 元，公 司 在 資 金 部 分 限 制 地 價 總 成 本 上 限 為 3 5 0 0 萬 元， 所 有 建 築 費 用 的 上 限 為 1 億 2 0 00 萬 元 ；無 論 甲 型 或 乙 型 售 出 ， 每 棟 獲 利 皆 為 5 0 0 萬 元 ， 假 設 推 出 的 預 售 屋 皆 可 售 出 ， 請 問 推 出 甲 、 乙 兩 型 預 售 屋 各 幾 棟 ， 公 司 才 可 得 到 最 大 利 潤 。( 1 3 分 )

試題統計值： 項目 平均得分（得分率） 標準差 統計值 6.47（49.77%） 5 說明： 數學乙非選擇題第二題主要是評量考生能否利用線性規劃原理解題。 本題的解題步驟如下： (1) 正 確 列 出 目 標 函 數 與 不 等 式 組 ， 或 在 坐 標 平 面 上 畫 出 正 確 的 可 行 解 區 域 。 (2) 再 利 用 以 下 兩 種 方 法 求 出 答 案 (a) 頂 點 法 正 確 求 出 可 行 解 區 域 的 四 個 頂 點 ， 再 代 入 目 標 函 數 中 作 比 較 ， 得 到 正 確 答 案 。 (b) 平 行 線 法 畫 出 正 確 的 可 行 解 區 域 ， 再 描 述 目 標 函 數 的 斜 率 介 於 5 2 − 與 3 5 − 之 間 ， 或 在 坐 標 平 面 上 畫 出500x+500y k= 之 直 線 ， 平 移 後 得 到 正 確 答 案 。

表三、數學乙非選擇題第二題作答情形統計

內容

份數 百分比

未答 97 17.2% 有寫一些跟答案無關的內容，可看出不知該如何作答。 21 3.7% (1)不等式組與目標函數 未寫出不等式組      ≤ + ≤ + ≥ ≥ 12000 1500 900 3500 200 500 0 , 0 y x y x y x ，或寫錯不等式組，或可 行解區域標示錯誤。 43 7.7% 不等式中的大小於符號寫錯，例如：寫成 500 200 <3500 900 1500 <12000 x y x y +   ₊  ；或 500 200 >3500 900 1500 >12000 x y x y +   ₊  ；或







=

+

=

+

12000

1500

900

3500

200

500

y

x

y

x

，之後再解 500 200 =3500 900 1500 =12000 x y x y +   ₊  這二條直線，而得到(5,5) 的答案。 63 11.2% 未寫出目標函數P x y( , ) 500= x+500y或寫錯目標函數。 _{67 12.0%}

(2)（法一）利用頂點法求解 225 40.1% 利用頂點法求解，且完全做對。 89 15.9% 完全沒寫出可行解區域上的四個頂點：(0 0), 、 (7 0), 、 (0 8), 、及 (5 5), 。 31 5.5% 欲寫出可行解區域的四個頂點，但寫錯頂點(5 5), 這點。 _{23 4.1%} 已解出可行解區域上的四個頂點，但沒有分別將(0 0), 、 (7 0), 、 (0 8), 、 (5 5), 代入目標函數 ( , )P x y 中比大小。 81 14.4% 前面完全正確，但最後答案卻寫錯。 1 0.2% （法二）利用平行線法求解 13 2.4% 利用平行線法求解，且完全做對。 11 2.0% 在利用直線500x+500y k= 掃動時，因直線畫錯（即斜率 錯誤）而找到錯誤頂點。 2 0.4% （法三）利用窮舉法求解 22 3.9% 利用窮舉法，且完全正確。 1 0.2% 無法列出可行解區域內的所有整數點 21 3.7% 其他 10 1.8% 此題為線性規劃試題，自91 年以來線性規劃試題已是第四次出現在數學乙非選擇題上，但由 抽樣561 名數學乙考生的答案卷進行分析可知（見表三），仍有 17.2%的考生一個字都不願作答， 直接放棄；另有3.7%的考生則是寫一些與答案無關的內容，但可看出不知該如何作答。由此可知， 有約20%的考生對線性規劃試題仍採放棄態度。 在步驟一列出不等式組部份，有 7.7%的考生未列出不等式組、或寫錯不等式組、或可行解區 域標示錯誤。另有 11.2%的考生則將不等式組的符號寫錯，如：寫成 500 200 <3500 900 1500 <12000 x y x y +   ₊  ，但在 計算過程中，又直接利用 500 200 3500 900 1500 12000 x y x y + =   _{+ =}  求得(5 5), 這答案，因此在受理考生複查時，最常 接觸到的案件為：明明我的答案(5 5), 正確，但我的非選擇題為何沒得滿分，甚至一分未得呢？原 因是這類的考生一開始將情境問題轉換成數學式時，卻出現了錯誤的不等式組，又在過程中無法合 理推論與計算，因此無法得分。 在目標函數部份，有 12%的考生未寫出或寫錯了目標函數，因此無法說明甲、乙型預售屋各 幾棟時，公司可得最大利潤。

當考生能正確寫出不等式組、或將可行解區域正確畫出後，其在步驟二中可利用「平行線法」 求解。利用目標函數p x, y( ) 500= x+500y的斜率為− ，當直線 5001 x+500y k= 在坐標平面上平移 時，可知當甲、乙兩型預售屋各為5 棟時，公司可得到最大利潤；亦可利用頂點法求值，即求出可 行解區域的頂點後，再分別代入目標函數內比大小，可以得出甲、乙型預售屋各為5 棟時，公司可 得最大利潤。從抽樣卷的分析結果知（見表七），較少考生（約2.4%）是以平行線法的觀念求解， 其中有2.0%的考生能完全作對，但有 0.4%的考生因直線 500x+500y k= 畫錯而得到錯誤的頂點， 因而失去部分分數。 大部份考生（40.1%）是利用頂點法求解，但只有 15.9%的考生能完全作對，其中常見的錯誤 類型為：有 5.5%的考生在使用頂點法求解時，完全沒寫出可行解區域的四個頂點，因此無法求得 公司在售出幾棟時，可得最大利潤。另有 4.1%的考生在寫出可行解區域頂點時，因粗心算錯頂點 ) 5 , 5 ( _{，而無法得到正確答案，實在可惜。但較為可惜的是有 14.4%的考生已解出可行解區域的四} 個頂點，卻沒有將四個頂點代入比較，以致無法由答案卷上得知最大利潤所發生的點是如何得到的。 數學乙非選擇題第二題 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13分數 人 數 百 分 比

圖二、數學乙第二題的考生成績分布圖

圖二為數學乙全體考生非選擇題第二題成績分布圖。其中以0、4、7、9、13 分的考生居多， 可將各分數所對應的考生群區分如下： 得0 分者：未答、或寫一些跟答案無關的內容、亦或目標函數與不等式組皆寫錯。 得4 分者：可寫出不等式組，但未寫出目標函數；或寫出了目標函數，但不等式組並未完全正確。 得7 分者：利用頂點法求解時，有部分頂點寫錯。 得9 分者：在答題過程中沒有明確說明是依據何種概念判斷出最大利潤，即未將四個頂點代入比 較，以致無法得知最大利潤所發生的點是如何得到的，因而無法得滿分。 得13 分者：能正確推論求得答案。 由以上敘述可知此題區分了各能力的考生群，其中得零分的考生約有 28%，得 4 分的考生約 有7%，得 7 分的考生約有 10%，得 9 分的考生約有 15%，約 25%的考生能完全作對。

今年數學乙的計算證明題並不困難，所用到的解題概念很基本，皆是課本中常見的概念，如： 第一題是屬於拋物線的基本概念與計算，考生若能清楚拋物線方程式的基本定義，應不難寫出這兩 條拋物線方程式；第二題線性規劃問題可說是數學乙非選擇題中的常客，相信對於平時常做歷屆試 題的考生而言應是駕輕就熟。但從分析中可發現，第一題中有五成多的考生無法寫出一條正確的拋 物線方程式，而在第二題中有二成多的考生在線性規劃問題中，仍無法寫出正確的不等式組、目標 函數，可知考生對於數學基本觀念的瞭解與應用須再加強，因此建議考生在鑽研困難的數學問題 前，應先確認自己對於一些基本定理或概念是否已清楚瞭解，以免應考時因觀念不清楚而無法得分。 大考中心每年均會針對數學甲、數學乙的非選擇題答案卷進行抽樣，並進行作答類型分析，此舉是 為了想了解考生在解題過程中所使用的概念與想法，進而從中發現考生可能的迷思概念與錯誤類 型，以提供給高中教師教學上的參考。此外，高中老師若對此分析結果有其教學上的其他看法，亦 歡迎與我們分享。