3-3-3一次方程組與矩陣的列運算-用矩陣的列運算求解一次方程組

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(1)第三冊 3-3 一次方程組與矩陣的列運算-用矩陣的列運算求解一次方程組【定義】矩陣：用數字排成的長方形中用括號括起來，稱為矩陣。矩陣中的每一個數，稱為它的一個元素。一般矩陣形如： ⎡ a11 a12 " a1n ⎤ ⎥ ⎢a ⎢ 21 a 22 " a 2 n ⎥ ⎢ # # % # ⎥ ⎥ ⎢ ⎣a m1 a m 2 " a mn ⎦ 其中每一個元素 aij 都有兩個下標 i 與 j 。位於第 i 列，第 j 行的元稱為 (i, j ) 元。矩陣中水平的每一排稱為這個矩陣的一列，依序稱第一列、第二列、…。鉛直的一排從左往右依次稱為第一行、第二行、…。上述矩陣共有 m 列與 n 行。我們說它的階數為 m × n 或稱它為 m × n 階矩陣。若 m = n ，則稱這個矩陣為 n 階方陣。係數矩陣與增廣矩陣：方程組 ⎧ a11 x1 + a12 x 2 + " + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x +"+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ # ⎪ ⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + " + a mn x n = bm 的係數所排成的矩陣 ⎡ a11 a12 " a1n ⎤ ⎢a ⎥ ⎢ 21 a 22 " a 2 n ⎥ ⎢ # # % # ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m1 a m 2 " a mn ⎦ 稱為這個方程組的係數矩陣。 ⎡ a11 a12 " a1n b1 ⎤ ⎢a ⎥ ⎢ 21 a 22 " a 2 n b2 ⎥ ⎢ # # % # #⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m1 a m 2 " a mn bm ⎦ 稱為這個方程組的增廣矩陣。矩陣的列運算： 1. 將一矩陣的某一列中的某兩列互換位置，以符號 Rij 表示。 2. 將一矩陣的某一列乘以一個不為 0 的數 r ，以符號 rRi 表示。 3. 將一矩陣的某一列乘上某一數值 r 加入另一列，以符號 rRi + R j 表示。以上三種列運算，都不影響方程組的解，這三種列運算都稱為矩陣的基本列運算。高斯-喬登消去法： ⎧a11 = 1 。 1. 用基本列運算使 ⎨ ⎩ai1 = 0, ∀i ≥ 2 43.

(2) ⎧a 21 = 1 2. 使 ⎨ 。 ⎩ai 2 = 0, ∀i ≥ 3. ⎡1 ? " ? ? ⎤ ⎢0 1 " ? ?⎥ ⎥。 3. 依此類推使成為梯陣 ⎢ ⎢ # # % # #⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 " 1 ?⎦ 這種解一次方程組的方法稱為高斯消去法。若化成形如 ⎡1 0 " 0 ? ⎤ ⎢0 1 " 0 ?⎥ ⎢ ⎥ ⎢# # % # #⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 " 1 ?⎦ 則稱為高斯-喬登消去法。簡化矩陣：一個矩陣，只要列運算後所得的矩陣達到在每個不為 0 的列中，第一個不為 0 的元所屬的行中，只有這個元不等於 0。我們就稱它為一個簡化矩陣。【問題】 1. 當我們利用高斯消去法時，試著討論最後為何種形式時，其解各為多少個？. 44.

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