3-3-2一次方程組與矩陣的列運算-三元一次方程組與三階行列式
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(2) 則 d3. b1. c1. b2. c2. − b3. d1. c1. d2. c2. + c3. d1. b1. d2. b2. d1. b1. c1. 可寫成 d 2 d3. b2 b3. c2 c3. a1. b1. c1. d1. b1. c1. 因此(7)可改寫成 a 2. b2. c2 x = d 2. b2. c2. a3. b3. c3. d3. b3. c3. a1. b1. c1. 同理若令 ∆ = a 2 a3. b2 b3. c2 ， c3. d1. b1. c1. a1. d1. c1. a1. b1. d1. 及 ∆ x = d2 d3. b2 b3. c2 ， ∆ y = a2 c3 a3. d2 d3. c2 ， ∆ z = a2 c3 a3. b2 b3. d2 d3. ⎧∆ ⋅ x = ∆ x ⎪ 則可得 ⎨∆ ⋅ y = ∆ y ⎪∆ ⋅ z = ∆ z ⎩. (法二) a1. b1. c1. 設 ∆ = a2 a3. b2 b3. c 2 ≠ 0 ，三平面交點為 ( x 0 , y 0 , z 0 ) c3. ⎧ a1 x0 + b1 y 0 + c1 z 0 = d1 ⎪ ⇒ ⎨ a 2 x 0 + b2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 ⎪a x + b y + c z = d 3 0 3 0 3 ⎩ 3 0 d1. b1. c1. ⇒ ∆ x = d2. b2. c2. d3. b3. c3. a1 x0 + b1 y 0 + c1 z 0. b1. c1. = a 2 x 0 + b2 y 0 + c 2 z 0 a3 x0 + b3 y 0 + c3 z 0. b2 b3. c2 c3. a1 x0. b1. c1. = a 2 x0 a3 x0. b2 b3. c2 c3. a1. b1. c1. = x0 × a 2. b2. c2. a3. b3. c3. = x0 × ∆ ⇒ x0 =. ∆y ∆x ∆ ，同理 y = ,z = z ∆ ∆ ∆ 32.
(3) 【性質】 三階行列式的性質： 1. 有一行(列)全為 0 ，其值為 0 。 0 b c 0 0 0 即 0 e f = 0 或 d e f = 0。 g h i 0 h i 2.. 每一行(列)可提公因數。 ka b c a b c 即 kd kg. 3.. 4.. 5.. ka kb kc. a. b. c. e. f =kd. e. f 或 d. e. f =kd. e. f 。. h. i. h. i. h. i. h. i. g. g. 將兩行(列)對調，則行列式的值變號。 a b c d a b c b a c 即 d e f =−e d f 或 d e f = −a g h i h g i g h i g. g e. f. b h. c 。 i. 將某一行(列)乘以 k 倍加入另一行(列)，其值不變。 a b + ka c a b c a b c a 即 d e + kd f = d e f 或 d + ka e + kb f + kc = d g h + kg i g h i g h i g 可以依照任何一行(列)降階。 a b c e f b c b −d +g 即d e f =a h i h i e g h i a 或d g. b e h. c e f =a h i. f d −b i g. f d +c i g. c f. e 。 h. 註：三階行列式除了可以依第一列展開之外， 也可以依任何一列或任何一行展開， + − + 只是其各項的符號要依 − + − 之格式決定， + − + 並且盡量找出有 0 的行或列。 6. 三階行列式的行與列依序互相轉換，其值不變。 a b c a d g 即d e f = b e h 。 g h i c f i 7.. 兩行(列)成比例，其值為 0 。 kd ke kf kb b c 即 ke e f = 0 或 d e f = 0 。 kh h i g h i. 33. b. c. e h. f 。 i.
(4) 8.. 兩行列式的加法運算。 a1 + a 2 b1 + b2 c1 + c 2 a1 即 d = d e f g h i g. b1. c1. a2. b2. c2. e h. f + d i g. e h. f 。 i. 【注意】 行列式求值時之注意事項： 1. 降階求值： 先將行列式化至某一行、列的各項中，出現盡量多個 0 ， 再利用該行或列降階求值， 只需計算二階行列式即可， 此時整個計算過程已經被簡化了。 2. 觀察各行、列是否有公因數(式)，若有則提公因數。 3. 觀察各行、列是否有成等差。 4. 觀察各行、列，逐項相加是否相等， 若相等將其加到某一項， 再提公因數， 降階求值。 【問題】 1. 凡得夢(Vandermonde)行列式：. 1 a a2 1 b b 2 = (a − b)(b − c)(c − a) 。 1 c. c2. 例如：. x x 2 x3 4 = 0？ 試解 1 2 3 − 9 27 2.. 若三角形三邊長 a, b, c 滿足. 1 a a2 1 b b2 = 0 ， 1 c c2. 3.. 試問此為何種三角形？ (解：等腰三角形或正三角形) 試證：. 1 a a3 1 b b 3 = (a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c) 。 1 c c3 4.. 試證：. a a2 b b2 c. c2. a4 b 4 = abc(a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c) 。 c4 34.
(5) 5.. 試證：. 1 a2. a3. 1 b2 1 c2. b 3 = (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca) 。 c3. 6.. 試證： 1 a b+c 1 b c+a = 0。 1 c a+b. 7.. 試證： 1 a ab 1 b bc = (a − b)(b − c)(c − a ) 。 1 c ca. 8.. 試證： a+b b+c b+c. c+a. c+a a+b = 2b. c+a a+b b+c. 9.. a b. 試證： b+c a. c. c a。. c a b. a. c+a b = 4abc 。 c a+b. b c. 10. 試證： a bc b + c b ca c + a = (a − b)(b − c)(c − a )(a + b + c) 。 c ab a + b. 11. 試證：. a2 + 1. ab. ca. b + 1 bc = a 2 + b 2 + c 2 + 1 。 bc c2 + 1 2. ab ca 12. 試證：. a2 + 5. a2. bc. b2 c2. ca b 2 + 5 = 5(a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c) 。 ab c 2 + 5. 13. 試證： a a 2a + b + c = 2( a + b + c ) 3 。 b a + 2b + c b c c a + b + 2c. 14. 試證：. 35.
(6) sin 40° + sin 80° sin 40° sin 80°. sin 20°. sin 20°. sin 80° + sin 20° sin 40° sin 80° sin 20° + sin 40°. = 4 sin 20° sin 40° sin 80° =. 3 。 2. 15. 試證： 7 1 1 1 7 4 1 1 = 189 。 7 1 4 1 7 1 1 4 16. 試證： 1 1 1 1 a b c d = (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d )(c − d ) 。 a2 b2 c2 d 2 a3 b3 c3 d 3 註 ：可以視為 a 的三次多項式， 又 f (b) = f (c) = f (d ) = 0 (a − b)(a − c)(a − d ) | f (a) 同理 (b − c)(b − d )(c − d ) | f (a) 設 f (a ) = k (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d )(c − d ) 比較係數可得 k = 1 。 17. 試證： 1 1 1 1. a b a2 b2 a4 b4 18. 試證： 1 1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 。 19. 求： 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 20. 試證：. c c2 c4. d = (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d )(c − d )(a + b + c + d ) 。 d2 d4. 1 c2 c3 c4. 1 d2 = (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d )(c − d )(abc + abd + acd + bcd ) d3 d4. 1 1 1 3 1. 1 1 1= ?。 1 3. 36.
(7) 3 2 0 0 0. 1 3 2 0 0. 0 1 3 2 0. 0 0 1 3 2. 0 0 0 = 63 。 1 3. 21. 設 ω 為 x 2 + x + 1 = 0 之一根，求：. ω ω2 1 ω2 3 2ω ω ω ω2. 1 2ω 3. ω. 2. 2ω 3. ω = ?。 2ω 2 −ω4. 1 【討論】 三元一次方程組解及其幾何意義： ⎧ E1 : a1 x + b1 y + c1 z = d 1 ⎪ 試討論三元一次聯立方程組 ⎨ E 2 : a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2 解的幾何意義。 ⎪E :a x + b y + c z = d 3 3 3 ⎩ 3 3. 1.. 當 ∆ ≠ 0 時，方程組有唯一解 ( x, y, z ) = (. ∆x ∆y ∆z , , ) ，此稱克拉瑪公式。 ∆ ∆ ∆. (1)、 (因前兩平面交線的方向向量 n1 × n 2 = (. b1. c1. b2. c2. 與第三個平面的法向量 n3 = (a3 , b3 , c3 ) 不垂直 故內積不為零 n1 即 ∆ = (n1 × n 2 ) ⋅ n3 = n2 n3 =(. b1. c1. b2. c2. a1 a2. b1. c1. b2. c2. a1. b1. c1. = a2. b2. c2. a3. b3. c3. = a3 ×. 2.. ,−. c1 a1 , c2 a2. b2. a1. c1. a2. c2. − b3 ×. b1. ) ⋅ (a3 , b3 , c3 ) + c3 ×. a1. b1. a2. b2. ≠ 0) 當 ∆ = 0 且 ∆2x + ∆2y + ∆2z ≠ 0 時，為無解。. (1)、. (設前兩平面平行 故 a1 : b1 : c1 = a 2 : b2 : c 2 37. ,−. a1 a2. c1 a1 , c2 a2. b1 b2. ).
(8) 行列式 ∆ 中兩列成比例， 故∆ = 0 又前兩平面不重合 則 a 2 = ka1 , b2 = kb1 , c 2 = kc1 ，但 d 2 ≠ kd1 且 a1 : b1 : c1 ≠ a3 : b3 : c3 (不妨設 b1 : c1 ≠ b3 : c3 ，即 b1c3 − b3 c1 ≠ 0 ) 則∆x d1. b1. c1. = d2. b2. c2. d3. b3. c3. d1 = d 2 − kd1 d3. b1 0 b3. c1 0 c3. = −(d 2 − kd1 )(b1c3 − b3 c1 ) ≠ 0 ) (2)、. (因三法向量共平面. 故 ∆ = (n1 × n2 ) ⋅ n3 = 0 又前兩平面不重合 則 a 2 = ka1 , b2 = kb1 , c 2 = kc1 ，但 d 2 ≠ kd1 且 a 2 : b2 : c 2 ≠ a3 : b3 : c3 (不妨設 a 2 : a3 ≠ b2 : b3 ，即 a 2 b3 − a3 b2 ≠ 0 ) 又設點 ( x 0 , y 0 ,0) 在平面 E 2 , E3 的交線上， 但不在平面 E1 上 ⎧a x + b2 y 0 = d 2 故得 ⎨ 2 0 且 a1 x0 + b1 y 0 ≠ d1 ⎩a3 x0 + b3 y 0 = d 3 a1 b1 d1 則 ∆ z = a 2 b2 d 2 a3 b3 d 3 a1. b1. d1 − a1 x 0 − b1 y 0. = a2 a3. b2 b3. 0 0. = (d1 − a1 x 0 − b1 y 0 )(a 2 b3 − a3b2 ) ≠ 0 ) 3. 當 ∆ = ∆ x = ∆ y = ∆ z = 0 時，為無解或無限多解。 (1)、. (因三平面重合， a1 : b1 : c1 : d1 = a 2 : b2 : c 2 : d 2 = a3 : b3 : c3 : d 3 ∆, ∆ x , ∆ y , ∆ z 四個行列式中的任兩列都成比例， 故 ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0 ). (2)、. (因兩平面重合並與另一平面平行， ∆, ∆ x , ∆ y , ∆ z 四個行列式中的某兩列都成比例， 38.
(9) 故 ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0 ) (3)、. (因三平面平行 a1 : b1 : c1 = a 2 : b2 : c 2 = a3 : b3 : c3 故 ∆, ∆ x , ∆ y , ∆ z 四個行列式中的某兩行都成比例， 故 ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0 ). (4)、. (因兩平面重合， ∆, ∆ x , ∆ y , ∆ z 四個行列式中的某兩列都成比例， 故 ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0 ). (5)、 (因三法向量共平面 ⇒ ∆ = (n1 × n 2 ) ⋅ n3 = 0 又設 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 為三平面交線上的一點 d1. b1. c1. 故 ∆ x = d2 d3. b2 b3. c2 c3. a1 x0 + b1 y 0 + c1 z 0. b1. c1. = a 2 x 0 + b2 y 0 + c 2 z 0 a3 x0 + b3 y 0 + c3 z 0. b2 b3. c2 c3. a1 x0. b1. c1. = a 2 x0. b2. c2. a3 x0. b3. c3. a1. b1. c1. = x0 × a 2 a3. b2 b3. c2 c3. = x0 × ∆ = 0， 同理 ∆ y = ∆ z = 0 ) 例如： ⎧x + y + z = 1 ⎧x + y + z =1 ⎪ ⎪ ⎨ x + y + z = 1 為無限多解，但 ⎨ x + y + z = 1 為無解。 ⎪x + y + z = 1 ⎪x + y + z = 2 ⎩ ⎩ ⎧ E1 : a1 x + b1 y + c1 z = 0 ⎪ 齊次方程組 ⎨ E 2 : a 2 x + b2 y + c 2 z = 0 至少會有 (0,0,0) 的解，所以 ⎪E : a x + b y + c z = 0 3 3 ⎩ 3 3. 1.. 若 ∆ ≠ 0 ，則齊次方程組只有一組解 (0,0,0) 。. 39.
(10) 即 若 ∆ = 0 ，則有無限多解 即齊次方程組除了 (0,0,0) 之外，尚有其他的解。 註：此種情形中，至少有一樣其中兩行成比例。 【定義】 三階行列式： 由前面討論可知若定義如下行列式，則以後較為方較研究 2.. a b c e f d f d −b +c d e f =a h i g i g g h i = aei + bfg + dhc − gec − ahf − bdi. e 。 h. 註：用降階定義可以推廣。 【應用】 1. 平行六面體的體積： 由 a = (a1 , a 2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), c = (c1 , c 2 , c3 ) 三向量(設 φ 為 a × b 與 c 的夾角) 所決定的平行六面體的體積為 V = Ah = | a × b | ×(| c | ⋅ cos φ ) = (a × b) ⋅ c. =| (. a2 b2. =| c1. a3 a1 ,− b3 b1. a2. a3. b2. b3. − c2. a3 a1 , b3 b1 a1. a3. b1. b3. a1. a2. a3. =| b1 c1. b2 c2. b3 | 。 c3. a2 b2 + c3. ) ⋅ (c1 , c 2 , c3 ) | a1 b1. a2 | b2. 註： (1). (a × b) ⋅ c 為一種有向體積，若 a × b 與 c 的夾角 φ 為銳角時， (a × b) ⋅ c =| a × b | ×(| c | × cos φ ) > 0 ，. 否則 (a × b) ⋅ c =| a × b | ×(| c | × cos φ ) < 0 。 (2).可以用來求給定空間中四個點所圍成的四面體的體積， 1 即三向量所決定的平行六面體的體積的 。 6 (3).行列式中若有任兩行或兩列成比例，其值為 0， 就幾何意義而言， 此行列式的三個向量共面， 即它不能決定空間中的一個平行六面體， 所以其行列式值必為 0， 亦即退化的平行六面體， 體積為 0。 (4). (a × b) ⋅ c = a ⋅ (b × c) 。. 40.
(11) 2.. 3.. 設空間中有四點 A(a1 , b1 , c1 ), B(a 2 , b2 , c 2 ), C (a3 , b3 , c3 ), D(a 4 , b4 , c 4 ) ， 1 則四面體 ABCD 的體積 = (向量 AB, AC , AD 所展成平行六面體體積)。 6 空間中三向量共平面： 三向量 a = (a1 , a 2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), c = (c1 , c 2 , c3 ) 共平面的充要條件是 a1. a2. a3. b1 c1. b2 c2. b3 = 0 。 c3. 註： 若∆ ≠ 0 ⇔ a, b, c 所圍平行六面體的體積不為零. 4.. ⇔ a, b, c 不共平面 ⇔ 三面交一點 平面上三點所圍成三角形面積： 設平面上有三點 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C ( x3 , y 3 ) ， 則三角形 ABC 的面積為 1 x − x1 y 2 − y1 ∆ABC = | 2 | 2 x3 − x1 y 3 − y1 1 0 1 = | 1 x 2 − x1 2 1 x3 − x1 x1 1 = | x2 2 x3. 5.. 0 y 2 − y1 | y 3 − y1. y1 1 y2 1 | 。 y3 1. 平面上三點共線： 平面上 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C ( x3 , y 3 ) 三點共線的充要條件為 1 x − x1 ∆ABC = | 2 2 x3 − x1. y 2 − y1 y 3 − y1. x1. y1 1. | =| x 2. y 2 1 |= 0 。. x3. y3 1 x. 6. 過點 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 的直線方程式為 x1 x2 7.. y. y1 1 = 0 。 y2 1. 平面上三線共點： 設 L1 : a1 x + b1 y = c1 , L2 : a 2 x + b2 y = c 2 , L3 : a 3 x + b3 y = c3. 表三相異直線， a1. b1. c1. 則若 L1 , L2 , L3 相交於一點 ⇒ a 2 a3. b2 b3. c2 = 0 。 c3. 41. 1.
(12) 註： 三線共點實際上可寫成如下： 設表三相異直線， a1. b1. c1. 則若 L1 , L2 , L3 相交於一點或三線平行 ⇔ a 2 a3. b2 b3. c2 = 0 。 c3. 註： 設 L1 , L2 之交點 P ( x0 , y 0 ) = (. ⇒(. c1. b1. c2. b2. a1. b1. a2. b2. ,. a1. c1. a2. c2. a1. b1. a2. b2. ⎛ ⎛ c1 b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ c 2 b2 ⎟ ⇒ a3 ⎜ ⎟ + b3 ⎜ ⎜ ⎜ a1 b1 ⎟ ⎜ ⎜a b ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ b1 c1 a1 ⇒ a3 − b3 b2 c 2 a2. 8.. a1. b1. c1. ⇒ a2. b2. c2 = 0. a3. b3. c3. ∆x ∆y , ) 在 L3 上 ∆ ∆. ) ∈ L3. a1 a2 a1 a2 c1 c2. c1 ⎞ ⎟ c2 ⎟ ⎟ = c3 b1 ⎟ b2 ⎟⎠ a b1 + c3 1 =0 a 2 b2. 平面上三線平行： 設 L1 : a1 x + b1 y = c1 , L2 : a 2 x + b2 y = c 2 , L3 : a 3 x + b3 y = c3. 表三直線， 若三直線平行 a1 b1 c1 則 a 2 b2 c 2 a3 b3 c3 a1. 9.. b1. c1. = k1 a 2. k 1 b2. c2 = 0. k 2 a3. k 2 b3. c3. 空間中外積概念： a b b ⎧ax + by + cz = 0 ，且 , 如果 ⎨ d e e ⎩dx + ey + fz = 0. x: y:z =. b d. c c : f f. c c , f f. a a b : 。 d d e. 42. a 中至少有一個不為 0，則 d.
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