102年數學科學科能力測驗試卷-2

(1)

102 年數學科學科能力測驗試卷

科班　學號姓名___

_

總

分

第

﹕選

60 分

一

部

分

擇

題

（

占

）

一

30 分

﹑

單

選

題

（

占

）

說

﹕第

1 題

6 題

5 明

至

第

﹐

每

題

有

個

5 項

當

得

﹐

者

對

答

題

各

﹒

項

選

的

適

﹐

選

或

確

正

是

個

一

有

只

中

其

最

分

個

算

計

分

零

以

題

該

﹐

者

項

選

一

﹔

於

多

記

畫

或

答

作

未

﹑

錯

答

﹒

( 　 )1. 學 ﹒ 　校項生範模選參格資有才﹐求要兩規下足滿時同需績成期學上定以一 70 分 ﹒ 成或英文成績文國﹑績數格及績成學以﹑二；上）（含已小上 65 知文學期國文分下的確正是論推的項選個一哪列問而請﹒格資生範模選參合符不他且？ (1) 小的 70 分文英文成績未達 (2) 小的文數學成績不及格 (3) 小的 70 分文英文成績成及不績以學數但上格 (4) 小的 70 分文英文成績未達且數學成績不及格 (5) 小的 70 分 ﹒ ﹝第 CH2﹞ 二冊文未績成英達文格績及不成學或數 ( 　 )2. 令_a__2.610__2.69 _﹐_b__2.611__2.610 _﹐ 2.611 2.69 　 2 c  ﹒請 ﹒ 選出正確的大小關係 (1)a b c  　(2)a c b  　(3)b a c  　(4)b c a  　(5)c b a  ﹒ ﹝第 CH3﹞ 一冊 ( 　 )3. 袋 3 顆 2 顆 ﹒由 1 　子有裡白﹐球球黑甲﹑﹑丙三人依序各抽取乙顆球 ﹐ 抽取後不放回 ﹒ 若每顆球到的條件下﹐丙抽白色球之條件機率為何球顏被﹐取出的機會相等請同問在甲和乙抽到相？

(2)

(1)1 3 　(2) 5 12 　 (3) 1 2 　 (4) 3 5 　(5) 2 3 ﹒ ﹝第 CH3﹞ 二冊 ( 　 )4. 　已知以下出為負相關﹐請選相且關係數最小的選項皆同各直選項資料的迴歸線相（最適合直線）皆﹒ (1)x_y _{1 13 1}2 3 5 　(2)x_y 2_{3 10 2}3 5　 (3)x_y 2 3 5_{5 7 3} 　 (4)x_y 2 3 5_{9 1 5} 　(5)x_y 2 3 5_{7 4 4} ﹒ ﹝ 第 CH4﹞ 二冊 ( 　 )5. 將24 　顆雞蛋分裝到紅 ﹑ 黃 ﹑ 綠的 ﹒子裡都裝奇數顆請個選出分裝的方法數籃兩三子個籃子﹒每個籃都綠要有雞蛋﹐且黃﹑﹒ (1)55 　(2)66 　(3)132　(4)198　(5)253_﹒ ﹝第 CH2﹞ 二冊 (　　 )6. 莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球﹒在上午 10：00 熱氣球的仰角為 30 ﹐到上午 10：10 仰角變成34 ﹒請利用下表判斷到上午 10：30 時﹐熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數？  30 34 39 40 41 42 43 sin 0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 cos 0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 tan 0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933 (1)39　(2)40　(3)41　(4)42　(5)43_﹒ ﹝第 CH1﹞ 三冊

(3)

二

30 分

﹑

多

選

題

（

占

）

說

﹕第

7 至

12 題

明

正

項

選

確

正

出

選

﹐

的

確

選

是

項

個

一

有

少

至

題

每

﹐

﹒

各

題

之

選

項

獨

立

判

定

﹐

所

有

選

﹐得

5 分

1 個

﹐得

3 分

2 個

﹐得

1 均

項

答

者

對

答

錯

﹔

項

選

者

答

錯

﹔

選

項

者

分

﹔

所

有

選

項

均

未

作

答

2 個

﹐該

﹒

多

於

錯

或

答

選

項

者

題

以

零

分

計

算

( 　 )7. 設n 為 1 1 　正整數﹐符號 0 2 n       代表矩陣 1 1 0 2       自 n 次乘 ﹒令 1 1 0 2 n n n n n a b c d              ﹐ 請選出正確的選項﹒ (1)a21　 (2)a a a1, 2, 3 為等比數列　 (3)d d1, 2, d3為等比數列　 (4)b b b1, 2, 3 為等差數列 (5)c c c1, 2, 3 為 ﹒ ﹝第 CH3﹞ 四冊列數等差 ( 　 )8. 設a  1 b 0 ﹐ 　選項選的確正出列請﹐式等不下於關﹒ (1)

   

a 7 a 9　(2)_b9__b7₍₃₎ 10 10 1 1 log log

a b 　(4)log 1 log 1a  b 　(5)logablogba ﹒

﹝第 CH3﹞ 一冊 ( 　 )9. 設a b c  ﹒ y f x

 

的 x 軸　數知多已實係數函式項拋與且﹐線物開的上向口一為形圖交於



a,0



﹑

 

b,0 兩 y g x

 

的 x 數實點；函項多數係式的跟且﹐線物拋口上向開一為形圖亦軸

 

b,0 ﹑

 

c,0 兩 y f x

 

g x

 

的於交相出選請﹒點圖形可能的選項﹒ (1) 水平直線　 (2) 和x 軸僅交於一點的直線　 (3) 和x 軸無交點的拋物線 (4) 和x 軸僅交於一點的拋物線　 (5) 和x 軸 ﹒ ﹝第 CH2﹞ 一冊的點物線兩於交拋 ( 　 )10. 坐 Q1

 

1,0 ﹐Q2



1,0



　平上標點兩慮考面 ﹒ P滿在點一有少至上其出選請﹐中形圖的式程方各列下足內積 1 2 0 PQ PQ

 

  的選項﹒ (1) 1 2 y 　 (2)_{y x}_ 2_₁ ₍₃₎_{ }_x2 ₂_y2_₁ ₍₄₎₄_x2_ _y2_₁ ₍₅₎ 2 2 ₁ 2 2 x _ y _ _﹒ ﹝第 CH3﹑第 CH4﹞ 三冊四冊 ( 　 )11. 設F1 ﹑F2 為 Γ的 S 為 F1 為 S 的 Γ 　圓橢 ﹒點個兩焦以（形方正的中心各邊可不與的 S 可 Γ上軸行）﹒試問稱對平落在有點頂個幾能？ (1)1　 (2)2 　(3)3　 (4)4 　(5)0﹒ ﹝第 CH4﹞ 四冊 ( 　 )12. 設　實數組公的成列數首成的列數 an 是比為 0.8 的組 bn 是為項 10 數實﹐列比等數的 a9 b9 且a10 b10 ﹒ 已差知等數列﹒ 請選出正確的選項﹒ (1)a9a100 　 (2)b10 0 　 (3)b9b10 　(4)a9a10 　(5)a8 b8 ﹒ ﹝第 CH1﹞ 二冊

(4)

第

﹕選

二

部

分

填

題

（

40 分

占

）

說

﹕第

A至 H題

每

完

全答

對

得

5 分﹐答

明

﹐

題

錯

不

倒

扣

完

答

對

不

分

全

﹐未

給

﹒

A. 設k 為 31 1 一整數﹒已知 3 3 k _ _ k ﹐ 則 k 　 ﹒ ﹝第 CH1﹞ 一冊　　　 B. 設a ﹑b 為



a bi

 

2 6 i



 80 ﹐ _i2_{ }₁_﹒ 數實且中其則



a b,



 （　 , 　）　　　　　　 ﹒ ﹝第 CH2﹞ 一冊 C. 坐 A a

 

,3 ﹐B



16,b



﹐C



19,12



三共中面標平點線 ﹒ 已間知 C 不 A﹑B之 ﹐且在 : 3 : 1 AC BC ﹐ 則 a b 　 ﹒ 　　　 ﹝第 CH3﹞ 三冊 D. 阿賣100 公的德斤香蕉 ﹐一第每；部的分﹐第價天降二天公斤賣 40 元賣沒為每公斤 36 完元；為每公斤 ﹐ 全部天得共所 ﹒ 設第到三第三降天再 32 元完 ﹐賣三天為3720 元假阿德在第三天賣香蕉公斤數為蕉的香所的 t ﹐ 天賣出斤數公為 at b ﹐ a 　 ﹐ 第可算得二其中　　　 b 　 ﹒ ﹝第 CH3﹞ 三冊　　　 E. 坐 x y 1 以 x y 5 所面﹐上標線直與圓一平及直線截弦長皆為則圓的面此積為的 14 ﹒ 　  ﹒ ﹝第 CH2﹞ 三冊　　　 F. 令



_A ﹑



_B 為量坐標平面上兩向 ﹒ 已知長長



_A 的度為 1 ﹐



_B 的度為 2 且



_A 與



_B 之間夾的角為 60 ﹒

  

_u _ _A_ _B ﹐

  

_v __{x A y B}_ ﹐ x ﹑y 為 6  x y 8 以令中其實數且符合及 2 x y 0     ﹐ 則值積內

 

_{u v}_ 的為　 ﹒ ﹝第 CH2 3﹑ ﹞ 三冊大最　　　 G. 設銳外外距為距為離離角三 ABC 的接圓半徑為8 ﹒ 圓心圓接 _AB 的 2 ﹐ BC 的 7 角知已到而到形 ﹐ 則最簡成根式） AC 　 ﹒ 化 ﹝第 CH1﹞ 三冊　　　（ H. 如圖 ﹐ 在坐標空間中﹐ A﹑B﹑C ﹑D ﹑E ﹑F ﹑G ﹑H 為體正立方的個頂點﹐已知其中四坐標的點個八 A



0,0,0



﹑B



6,0,0



﹑



0,6,0



D 及E



0,0,6



﹐P在段CG 上 CP : PG1 : 5﹐R在段線且線 EH 上 ER : RH 1 : 1﹐Q 在段AD 上且線 ﹒若空間中通過 P﹐Q ﹐R這三點的平面﹐與直線 AG 不則Q 點 y坐相交﹐ 的標為 ﹒ 化（成最簡分數） ﹝第 CH2﹞ 四冊 ﹝第 CH2﹞ 四冊 x y z A B C D E F _G H Q P R

(5)

答

案

第

﹕選

一

部

分

擇

題

一

﹑

單

選

題

　 1. (5) 　 2. (4) 　 3. (3) 　 4. (5) 　 5. (2) 　 6. (3)

二

﹑

多

選

題

　7. (1)(2)(3)(5) 8. (1)(2) 　 9. (4)(5) 　 10. (1)(3)(4) 　 11. (1)(2)(5) 12. (1)(3)

第

﹕選

二

部

分

填

題

　A. 16 　B.



4,12



　C. 19 　D. 2 ﹐70 　E. 51 　 F. 31 　G. 4 15 　H. 15 11

解

析

第

﹕選

一

部

分

擇

題

一

﹑

單

選

題

1. 因為兩要都求要項且滿足 ﹐ 小的準文標達未文國所以只要英文與數學有一科未達標準就不符合資格﹒ 故選 (5)﹒ 2. 因為　_a__{2.6 2.6 1}9



_{ }



_{2.6 1.6}9_ _﹐ 　b2.6 2.69



22.6



2.694.16 ﹐ 　 2 9 2.6 1 9 2.6 2.6 2.88 2 c _  _    ﹐ 所 b c a  ﹒ 以故選 (4)﹒ 3. P





P



_

_



P   甲乙同色丙白丙白｜甲乙同色甲乙同色 3 2 1 2 1 3 5 4 3 5 4 3 3 2 2 1 5 4 5 4          1 2  _﹒ 故選 (3)﹒ 4. 由斜迴歸直線的率 y x m r     ﹐ x 得 y m r     _﹒ 因為各選項的 m 及x 都 m 為相等﹐且負﹐ 所 y 最 r 就個選項的一哪以小﹐其相關係數最小 ﹒ 計算各選項的 y ： (1) 16 64 16 96 3 3 y      ﹒ (2) 4 25 9 38 3 3 y      ﹒ (3) 0 4 4 8 3 3 y      ﹒ (4) 16 16 0 32 3 3 y      ﹒ (5) 4 1 1 6 3 3 y      ﹒ 故選 (5)﹒

(6)

5. 設 x ﹑2y1 ﹑2z1 （x y z, , _{ } ）籃個紅﹑黃﹑綠三裝各子顆雞蛋﹒ 依意題 ﹐ 得



2 1

 

2 1



24 2 2 26 x y  z   x y z 由上式得知 x 為偶數﹐討論方程式的解如下： 當x 時﹐2 y z 12﹐有y_z _{11 10}1 2  11₁  ﹐共11組解﹒ 當x 時﹐4 y z  ﹐有11 y_z _{10 9}1 2  10₁  ﹐共10 組解﹒ 　　　　　　 當x22時﹐y z  ﹐有2 y_z 1₁﹐共1組解﹒ 因此﹐方法數共有11 10 1 11 11 1





66 2     _  種﹒ 故選(2)﹒ 6. 如圖﹐設底邊為1﹐10：00 時熱氣球高 a ﹐10：10 升高 x ﹐ 則 10：30 再升高 2x ﹒因為 tan30 0.577 tan 34 0.675 a a x           ﹐ 所以x0.675 0.577 0.098  ﹒因此﹐ 3 0.577 3 0.098 0.871 tan 41 a x      ﹒ 故選 (3)﹒

二

﹑

多

選

題

7. 計算如下： 2 1 1 1 1 1 1 1 3 0 2 0 2 0 2 0 4   _    _                 ﹐ 3 1 1 1 3 1 1 1 7 0 2 0 4 0 2 0 8   _    _                 ﹒ (1)a21 ﹒ (2)a11 ﹐a2 1 ﹐a31 為等比數列﹒ (3)d12 ﹐d24 ﹐d38 為等比數列﹒ (4)b11 ﹐b23 ﹐b37 不為等差數列﹒ (5)c10 ﹐c20 ﹐c30 為等差數列﹒ 故選 (1)(2)(3)(5)﹒ 8.

(1) 因為數底   a 1 ﹐

   

a 7 a 9 ﹒ 所以 30°34° 2x x a 1

(7)

(2) 因為數指底 0 b 1 ﹐ 數  9 7 ﹐ _b9__b7 _﹒ 所以 (3) 因為數真底 10 1 ﹐ 數1 1 ab ﹐ 10 10 所以 1 1 log log a b ﹒ (4) log 1 log 1 0_a  _b  _﹒ (5) 錯！例如：當 a2 ﹐ 1 4 b 時 a  1 b 0 ﹐ ﹐滿足但　 log log₂1 2 　　　　 4 ab   小 1 於 4 1 log log 2 2 ba   ﹒ 故選 (1)(2) ﹒ 9. 設 f x

 

 A x a x b





 





﹐g x

 

B x b x c





 





﹐A ﹐0 B ﹐則0 f x

 

g x

 

 A x a x b





 

 



B x b x c





 







x b A x a

 





B x c





    



x b

 



A B x





Aa Bc



    



A B x b x

 



Aa Bc A B       _  _   ﹐A B  ﹒0  當Aa Bc b A B  _  時 x 軸 ﹐圖形為與拋線物交的點兩於﹒  當Aa Bc b A B  _  時 x 軸 ﹐圖形為與拋線物交的點一於﹒ 故選 (4)(5)﹒ 10. 設P x y ﹐代入



,



1 2 0 PQ PQ

 

  ﹐得



₁_{ }_{x y}_,

 

_{     }₁ _{x y}_,



₀



₁ _x

 

_{ }₁ _x



__y2_{ }₀ _x2__y2_{ ﹐}₁ 即P 是圓心

 

0,0 ﹐半徑1的圓之內部的點﹒ (1) 　(2) 　(3) (4) 　(5) 選 (1)(3)(4) 有故項交點﹐ 選 (1)(3)(4) ﹒ 11. 因為正方形的四個頂點到中心等距離﹐所以S 的頂點必落在以F 為圓心的圓 C 上﹒1

(8)

又因為在所有橢圓上的點中﹐以頂點 A 距離F 最近（近日點）﹐所以圓 C 最多與橢圓 Γ 交 2 點﹐即 S1 最多有2 個頂點落在 Γ 上﹒ 底下三個圖中的 S 分別有 0 ﹑1﹑ 2 個頂點在橢圓 Γ 上： 　　　　圖 1　　　　　　　　圖 2　　　　　　　　圖 3 三個圖中﹐圓 C 的半徑在圖 1 小於AF ﹐在圖 2 等於₁ AF ﹐在圖 3 等於正焦弦長之半﹒1 故選 (1)(2)(5) ﹒ 12. 因為等比數列 a 的公比為 0.8n  ﹐所以 a 是正負相間﹐且愈來愈接近 0 ﹒n 因為 b 是首項為10 的等差數列﹐所以n b 是從10 開始遞增或遞減的數列﹒n 又知a9 且b9 a10b10﹐所以b 與9 b 有一個比負數還小﹐10 因此﹐ b 為遞減數列﹐且公差為負﹒n (1)因為 a 正負相間﹐所以n a9a10 ﹒0 (2)(3) 因為 b 為遞減數列﹐所以n b10 ﹒b9 又因為a 與9 a 一正一負﹐且10 a9 且b9 a10b10﹐所以b10 ﹒0 (4)(5) 下圖的數列 a 與n b 滿足題意﹒n 但a9a10﹐a8 ﹒b8 故選 (1)(3) ﹒

第

﹕選

二

部

分

填

題

A. 由原式﹐得





2 2 3 31 1 279 1 k   k k   k ﹒ 因為 ₁₆2_₂₅₆ _﹐₁₇2 _₂₈₉ _﹐ _k_₁₆ _﹒ _所_以 B. 由原式﹐得



2a6b

 

 6a2b i



_{  ﹒}80 根據複數相等的定義﹐得 2 6 80 6 2 0 a b a b      _ _  ﹒ 解得 a 4﹐b12 ﹒ C. 如圖﹐因為AB : BC2 : 1﹐所以由分點公式﹐得 1 2 B C

(9)



16,



38 3 24, 3 3 a b _{ }   _  ﹒ 解得即 a10 ﹐b9 ﹐ a b 19 ﹒ D. 依題意﹐可列得













40 100 at b t  36 at b 32t3720﹐ 整理得



280 4 b

 

  4a 8



t_{ ﹒}0 因為是恆等式﹐所以 280 4 0 4 8 0 b a        ﹒ 解得 a 2﹐b70 ﹒ E. 因為兩平行直線x y   與1 0 x y   所截的弦等長﹐且其距離為5 0

   

 

2 2 1 5 ₄ 2 2 2 1 1        ﹐ 所以弦心距 1 2 2 2 2 d   ﹒因此﹐圓的半徑

 

2 2 7 2 51 r   ﹒ 故此圓的面積為 51 ﹒ F. 因為

 

_{A B}_ _{  }_{1 2 cos60}_{ }₁﹐所以 u v _ A B  _{ } x A y B _    

     

2 2 x A y A B x B A y B 

     

        x y x 4y 2 x5y_﹒ 又 x ﹑ y 的可行解區域如圖 將四頂點代入 2x5y﹐得



,

       

3,3 4,4 3,5 2,4



2 5 21 28 31 24 x y x y 根頂點 x3 ﹐y5 時

 

_{u v}_ 有據法 ﹐ 最大 ﹐ 當值 31 ﹒ G. 依題意﹐得右圖﹒利用和角公式﹐得　　　　sinBsin



 



r d d 7 7 7 7 (3,3) (3,5) (4,4) (2,4) x y= 2 x+y=6 x y=0 x+y=8 x y O

(10)

sin cos  cos sin    2 15 2 15 7 8 8 8 8     15 4  ﹒ 再利用正弦定理 2 sin AC _R B  ﹐得 2 sin 16 15 4 15 4 AC R B   ﹒ H. 依題意﹐得G



6,6,6



﹑P



6,6,1



﹑R



0,3,6



﹒ 設Q



0, ,0y



﹐ 0  ﹐y 6  為通過 P ﹑ Q ﹑ R 三點的平面﹒ 由 與直線 AG 不相交﹐得知 _{ 與直線 AG 平行﹐因此﹐  的法向量 n}



與直線_{AG 的方向向量 l}



垂直﹒取

  

_n __{PR PQ}_ _{  }



_{6, 3,5}

 

_{ }_6,_y_{  }_{6, 1}

 

_{33 5 , 36, 6}_ _y _ _ _y_₁₈



1 1



6,6,6

 

1,1,1



6 6 l  AG 

 

因為 n

 

 l ﹐所以

 

n l 0﹐即



33 5 , 36, 6 y   y18

 

 1,1,1



 0 15 11 y_{ ﹒}0 解得 15 11 y ﹒ A B C O 7₈ 2 15 2 15

102年數學科學科能力測驗試卷-2