1-5

1-5 三角測量

從古埃及的金字塔到今日的房屋、橋樑、隧道等建築工程﹐從精確 地圖的繪製到天文上的觀測﹐「測量」一直與人類的生活息息相關﹐

而三角學正是測量所倚重的基礎理論

測量上有一些常用的名詞

鉛垂線：物體與地心的連線稱作鉛垂線 水平線：和鉛垂線垂直的線都稱為水平線

仰角和俯角：觀測高處或低處目標時﹐視線與水平線所形成的夾角﹐分別稱作仰角和俯角 地理上常用方位來描述物體所在的位置或方向

其他描述法如圖所示：

P 點位於 O 點的北 30東（或東 60北）方位﹒

Q 點位於 O 點的北 75西（或西 15北）方位﹒

R 點位於 O 點的南 45東（或東南）方位﹒

例題

1---

30

45

---

隨堂練習--- 想測量某風景區中一大佛的高度﹐首先在與佛頂部仰角恰為60的地面 A 點處做上記號﹐面 對著佛像後退到仰角恰為30的 B 點﹐然後測得 A 點和 B 點的距離為 20 公尺﹒問佛像高度為 多少公尺？

---

例題

2---

(1)大樹和小華家距離多少公尺？

(2)樹高約為多少公尺？

---

隨堂練習--- 小君所住的公寓對面蓋起一座新的大廈﹐從公寓窗口觀測其高度﹐大廈屋頂的仰角為﹐大 廈最底部的俯角為﹒若公寓和大廈相隔著 8 公尺寬的馬路﹐則大廈應有多高？（以﹐表 示）---

根據氣象局發布的颱風消息﹐颱風中心目前在恆春東南方300 公里的海面上﹐向著東 75北 的方向前進﹐暴風半徑250 公里﹒如果颱風的行進方向不變﹐

(1)颱風中心與恆春的最近距離是　多少公里？（已知

3 1.732 

(2)恆春是否會進入暴風圈？

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隨堂練習--- 在由南向北時速90 公里的汽車上﹐看到北 45東的方位有一座摩天輪﹐車子繼續行駛 12 分 鐘後﹐摩天輪變成在北60東的方位﹐若汽車繼續前行﹐則車與摩天輪最近的距離是多少公 里？

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例題

4---

_{AC  80}

_{BC  50}

 ACB  60 

---

隨堂練習--- 山丘的兩端各有城市A 與 B﹐因開鑿馬路需測量出這兩座城市的距離﹐今在 C 點成立觀測 站﹐測得

_AC

_BC

 ACB  120 

---

例題

5---

30

30

45

---

隨堂練習--- 空中消防直升機發現：地面正西方俯角

60

60

的B 處有消防車﹒若直升機的飛行高度為 300 公尺﹐求 A、B 之間的距離

---

例題

6---

都是

60

_{BC  40}

 BAC  30 

---

隨堂練習--- 在地面上不共線的

_A

_B

C

75

_{AB  60}

120

 ACB  

_{tan 75    2 3}

---

三角函數值的求法

1 度＝60 分﹐1 分＝60 秒 ( 1°＝60'﹐1'＝60" ) 查 cos 20°40'0.9356

B. 利用電腦求三角函數值 sin 32°30'換算成 32.5°

隨堂練習--- 利用三角函數值表求下列各值：

(1)sin1550﹒ (2)cos7410﹒

(3)tan1040﹒ (4)tan7920﹒

---

隨堂練習--- 利用三角函數值表﹐求下列各銳角 的近似值：

(1) sin  0.4120﹒　　　　　　 (2) tan  1.7090﹒

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利用三角函數值表及內插法﹐求下列各三角函數值：

(1) sin3122﹒　　(2)cos1624﹒

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隨堂練習--- 利用三角函數值表及內插法﹐求下列各三角函數值：

(1)cos3338﹒

(2)tan3612﹒

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例題

8---

高75 公尺的塔旁有一道坡度為

28

_14

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隨堂練習--- 為了測量金字塔的高度﹐在A 點處測得金字塔塔頂的仰角為 24﹐向著金字塔前進 100 公尺 到達B 點後﹐再測得仰角 33﹐則金字塔的高度約為多少公尺？（四捨五入取至整數位）

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1-5　 習題 一、基礎題

1. 利用三角函數值表﹐求下列各近似值：

(1)

cos17 50 

tan 50 20 

(4)已知 sin  0.7790﹐求 的度數﹒

(5)已知 tanθ 3

4﹐求 的度數﹒（四捨五入至「分」位）

2. 某人站在巷口的某一點

P

_CD

_AB

_{PC PA   10}

_BD

(1)

10sin

 10sin

10cos

 10 cos

10 tan

 10 tan

3. 某測量員想測河流的寬度﹐在河岸邊取兩點 A 和 B﹐並取對岸 岸邊處C 為目標﹐若測得∠CAB  45 ∠﹐ CBA  60且

AB

4. 小山丘上矗立著一座寶塔﹒從地面上 A 點測得塔底的仰角為 45;　塔頂的仰角為 60﹒若 寶塔高度為20 公尺﹐則山丘高度為多少公尺？

5. 如圖﹐在與河岸平行的筆直河堤

A

B

30

 DAC  

 DBC  60 

A

B

B

C

C

D

6. 設

A

B

C

D

A

B

C

C

﹑

D

二、進階題

7. 如圖﹐美美站在大樓的景觀電梯內﹐從最頂樓測得地面上一棵大樹樹底的俯角為 ﹒當1

電梯直線下降20 公尺後﹐重新測得大樹樹底的俯角為 ﹐當電梯又下降2

20 公尺後﹐再測得大樹樹底的俯角為 ﹒請問下列哪一個選項的數值依3

序成等差數列﹖

(1) ﹐1  ﹐2 3

(2)

sin

sin

sin

(3)

cos

cos

cos

(4)

tan

tan

tan

8. 在兩座高度分別為 400 公尺及 200 公尺的山丘頂 A 點與 B 點上﹐

架設空中纜車﹒如果在地面一點C 可測量出 A 與 B 兩座山丘頂的 仰角皆為

45

 ACB  60 

9. 捷運站 A 大樓與摩天 B 大樓矗立在同一街道上﹐在此兩 棟大樓間的地面上一點C﹐分別測得 A 大樓與 B 大樓的 仰角為

30

45

15

10. 某人於山麓測得山頂的仰角為

45

30

75

4

 ）

11. 某海島上觀察哨 A 在上午 9 時測得一輪船在海島遠方的 B 處﹐10 時 20 分測得此輪船在海 島北偏西

30

(1)輪船由

B

_D

(2)上午 9 時輪船與海島的距離

_AB