3.3

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3.3 條件機率、貝氏定理與獨立事件 一年____班 座號：____ 姓名：

重點 1：條件機率

緣由：一事件發生的機率常因另一事件的發生與否而有所改變

1.定義：設 A，B 為樣本空間 S 中的兩事件，且 P(A)＞0，在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機率稱為條件機率條件機率條件機率條件機率 記為 P(BA)＝ ( )

( ) n A B

n A

I ＝ ( ) ( ) P A B

P A

I ，意即 A∩B 在事件 A 中所占的比例，如右圖 註：P(BA)讀作『在 A 發生的情況下，B 發生的機率』

2.條件機率的性質：

(1) P(BA)＝ ( ) ( ) n A B

n A

I ＝ ( ) ( ) P A B

P A I

(2) 0 ≤ P(BA) ≤ 1 (3) P(B'A)＝1－P(BA)

(4) P(B∪CA)＝P(BA)＋P(CA)－P(B∩CA)

例 1.1：某獎券開獎，末兩碼是 35，45，92 就可得獎。已知小璿的獎券最末一碼的確是 5，

試問他中獎的機率是多少？

例 1.2：調查某校高一學生擁有手機以及平板電腦的情形，結果如下表所示：

有手機 無手機 有平板電腦 60 % 5 % 無平板電腦 20 % 15 %

試問在有手機的學生中任選一人，此人同時也擁有平板電腦的機率是多少？

例 1.3：已知 A，B 為兩事件，P(A)＝1

4，P(B)＝1

3，P(A∪B)＝ 5

12，則：

(1) P(BA) (2) P(AB) (3) P(A'B' )

重點 2：條件機率的乘法法則

1.意義：假設 A，B 是同一樣本空間 S 中的兩事件，且 P(A)＞0，則 P(A∩B)＝P(A)P(BA) 註：由條件機率的定義 P(B|A)＝ ( )

( ) P A B

P A

I ，移項得知 P(A∩B)＝P(A)P(BA)

2.三個事件的乘法法則

P(A1∩A2∩A3)＝P((A1∩A2)∩A³)＝P(A1∩A2)P(A3A1∩A2)＝P(A1)P(A2A1)P(A3A1∩A2) 即 P(A1∩A2∩A3)＝P(A1)P(A2A1)P(A3A1∩A2)

S

A B

A∩B

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例 2.1：袋中有 3 顆紅球與 2 顆白球，假設每球被選取的機會均等，今從袋中取球，每次取 1 球連取兩次，取後不放回，

則第一次取到白球且第二次取到紅球的機率是多少？

例 2.2：若籤筒內有 10 支籤，其中 2 支標示有獎，假設每支籤被抽中的機會均等。今甲、乙、丙三人依序抽籤，每人抽 一支且抽完不放回，試問在還沒抽之前，甲、乙、丙三人中獎的機率分別是多少？

重點 3：貝氏定理(條件機率的加法法則)

1.分割：令 S 為樣本空間，如右圖，若 n 個事件 A¹，A2，…，An滿足下列條件：

(1)若 i j，則 A_i∩Aj＝∅ (事件兩兩不相交或互斥) (2)A₁∪A2∪…∪An＝S (聯集為全是件)

則稱{A1，A2，…，An}為樣本空 S 的一個分割分割分割分割

2.加法法則：

若{A1，A2，…，An}為樣本空 S 的一個分割，B 為一個事件，如右圖 得知 B＝(B∩A1)∪(B∩A2)∪……∪(B∩An)

則 P(B)＝P(B∩A¹)＋P(B∩A²)＋……＋P(B∩Aⁿ)

＝P(A₁)P(BA₁)＋P(A₂)P(BA₂)＋……＋P(A_n)P(BA_n)

3.貝氏定理：

設{A₁，A₂，…，A_n}為樣本空 S 的一個分割，且 P(Ak)＞0，k＝1，2，…，n，B 為任意事件

則在 B 條件下 Ak成立的機率為 P(AkB)＝

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k k

n n

P A P B A

P A P B A +P A P B A + +L P A P B A ，k＝1，2，…，n 例 3.1：有兩個袋子，甲袋有 2 顆白球 2 顆紅球，乙袋有 2 顆白球 4 顆紅球。

今投擲一枚均勻硬幣，若出現正面則從甲袋取一球，出現反面則從乙袋取一球。

如果同一袋中的球被取出的機率均等，試求取到白球的機率為何？

An

A1

A2

A3

……

S

An A₁

A₂ A3

……

S B∩An B

B∩A2

B∩A1

B∩A3

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例 3.2：某公司有 A，B，C 三個工廠，各工廠的生產情形如下：A 廠生產 40％的公司產品，產品合格率 90％，B 廠生產 30％的公司產品，產品合格率 80％，C 廠生產 30％的公司產品，產品合格率 70％。試求：

(1)則公司全部產品的合格率為何？

(2)若品管員隨機抽樣一產品，發現它是不合格的，則它來自 A 廠的機率為何？

例 3.3：有兩個袋子，甲袋有 2 顆白球 2 顆紅球，乙袋有 2 顆白球 4 顆紅球。今投擲一枚均勻硬幣，若出現正面則從甲袋 取一球，出現反面則從乙袋取一球。如果同一袋中的球被取出的機率均等，若已知取到白球，試求白球是來自甲 袋的機率為何？

例 3.4：某公司的產品分別由甲、乙、丙三家工廠所生產，其中甲廠占 60％，乙廠占 20％，丙廠占 20％。而三家工廠所 生產的產品中分別有 4％、7％、6％的瑕疵品。若在該公司的產品中發現一個瑕疵品，則此瑕疵品為甲廠所生產 的機率為何？

例3.5：已知某種快篩試劑對某病毒的檢驗，其「偽陰率」為20 %(即帶原者做檢驗有20 %的機會呈陰性反應，其他呈陽性 反應)，而「偽陽率」亦為20 %(即未帶原者做檢驗有20 %的機會呈陽性反應，其他呈陰性反應)。現推估有2 %的 民眾為此病毒帶原者。若小芬以此試劑檢驗結果呈陽性反應，試求她確實帶原的機率為何？

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重點 4：獨立事件

1.定義：若兩事件 A，B 滿足 P(A∩B)＝P(A)P(B)，則稱 A，B 為獨立事件，

若 A，B 不是獨立事件，則稱 A，B 為相依事件。

註：A，B 為獨立事件，即「A 發生了也不影響 B 發生的機率」，⇒ P(B)＝P(BA)＝

) (

) (

A P

B A P ∩

註：獨立事件獨立事件獨立事件是指兩者互不干擾，兩者還是可能同時發生；互斥事件獨立事件 互斥事件互斥事件是指一個發生，另一個就不會發生 互斥事件 2.性質：

(1) P(A)＝P(AB)，P(B)＝P(BA)

(2)設已知 A，B 為獨立事件，則：(1)A′，B 也是獨立事件 (2) A，B′也是獨立事件 (3) A′，B′也是獨立事件 (3)已知 P(A∩B)＝P(A)P(B)，則：(1) P(A′∩B)＝P(A′)P(B)，(2) P(A∩B′)＝P(A)P(B′)，(3) P(A′∩B′)＝P(A′)P(B′)

例 4.1：投擲一顆公正骰子一次，若 A 表示擲出 1 點或 2 點的事件，B 表示擲出奇數點的事件，C 表示擲出 2 點或 4 點的 事件，試問：(1) A 與 B 是否為獨立事件？ (2) A 與 C 是否為獨立事件？

例 4.2：設 A，B 為樣本空間 S 中的兩事件，P(A)＝3

8，P(A∪B)＝1

2，則：

(1)若 A，B 為互斥事件，求 P(B) (2)若 A，B 為獨立事件，求 P(B)

例 4.3：若 A，B 為獨立事件，且 P(A)＝1

3，P(B)＝2

5，試求 P(A′∩B)與 P(A′∩B′)。

例4.4：小璿、小芬遇到不會的題目都用猜的。已知小璿猜對的機率為2

3，小芬猜對的機率為1

2，且兩人的猜題是獨立事 件。今兩人同猜一題，試求：

(1)兩人都猜對的機率 (2)兩人都沒猜對的機率 (3) 至少有一人猜對的機率

例 4.6：設甲、乙兩人射擊的命中率分別為2 3、3

4，今兩人同射一靶，每人各射擊一發，且射擊時彼此互不影響，試求：

(1)此靶恰中一發的機率 (2)若已知靶面恰中一發，則是由甲命中的機率