勾股定理證明-G191

(1)

勾股定理證明-G191

【作輔助圖】

1. 以 AC 為邊長向外作正方形 ACFG .

2. CB 上取一點 H 點使得 FH  AB，作正方形 FHMK . 3. 延長 HB 至 L 點使得 HLCB，作正方形 HLDE . 4. 過 C 點作平行 AB 的直線，交 GA 於 S 點。

5. 過 H 點作平行 AB 的直線，交 ED 於U 點。

6. FC 上取一點V 使得 FV HU，連VK . 7. 過 F 點作垂直 KV 的直線，交 KV 於 R 點。

8. 過 M 點作垂直 KV 的直線，交 KV 於 N 點。

9. 在直線 KV 的直線取一點T ，使得 VHT  CAB.

10. FK 上取一點 P 使得 PK VH，過 P 點作垂直 KV 的直線，交 KV 於 O 點。

A B

C

D H

K

L

M N

O P

T

R

S G

F

E

U V

【求證過程】

(2)

證明正方形 FHMK 面積等於正方形 HLDE 的面積加上正方形 ACFG 的面積，最後 推出勾股定理的關係式。

1. 證明三角形 FVR 與三角形 HUE 全等：

設 CAB x^, CBA y^，且已知x^y^ 90^。因為 VHT  CABx^，所以 HVT y^

  。因為 FVR  HVT  y^, HUE CBA y^，所以

. FVR HUE

  

又FRV 90^  HEU, FV HU，故 FVR HUE

   (AAS).

2. 證明三角形 KPO 與三角形 HVT 全等：

因為PKO90^ FVR90^y^ x^  THV ,

90 90

OPK ^ PKO ^ x^ y^ TVH

         , PK VH，所以

KPO HVT

   (ASA 全等).

3. 證明三角形 MKN 與三角形 CSA全等：

因為NKM 90^ PKO90^x^  y^  CBA, MNK 90^  ACB, MK  c AB，所以

MKN ABC

   (AAS 全等).

因為SC/ /AB ，所以 ACS  CAB，又CAS 90^  ACB, CAAC，可推得 CSA ABC

   (ASA 全等).

故

. MKN CSA

  

4. 證明四邊形 HTNM 與四邊形 SGFC 全等：

因為 KPO  HVT，所以HTV  KOP90^。因為HTV 90^ SGF, 90

MNT ^ CFG

    , MHT 90^x^ 90^(90^y^) 180 ^y^  CSG，所以

HTNM SGFC

四邊形與四邊形的四個內角都對應相等。

(3)

因為 MKN  ABC，所以 MN  AC  b CF。因為 CSA  ABC，所以 CS  ABc，可推得 MH  c CS。故

HTNM SGFC

四邊形與四邊形全等。

5. 證明四邊形 PORF 與四邊形UDLH 全等：

因為FPR180^ OPK 180^y^ 180^ HUE  HUD, 90

POR ^ UDL

    , ORF 90^ DLH，所以

PORF UDLH

四邊形與四邊形的四個內角都對應相等。

因為 FVR  HUE，所以 FRHE  a HL，又 FPFKPK FHVH FV HU，故

PORF UDLH

四邊形與四邊形全等。

6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

FHMK FVR KPO HVNM

MKN PORF

HUE HVT HVNM

CSA UDLH

    

  

    

  

正方形面積面積面積面積

面積面積

面積面積面積

四邊形

四

面積面積

邊形

HUE HTNM

CSA UDLH

HUE SGFC

CSA UDLH

  

  

  

  

面積面積

四邊形

面積面積

面積面積 (

( )

HUE UDLH

CSA SGFC

HLDE ACFG

  

  

 

面積面積)

面積

四邊形

正方形正

面積形

面積方面積，

即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1926 年 3 月 18 日想到的。

2. 心得：此證明使用的是切割法，必須證明正方形 FHMK 所切割成的所有區塊的面

(4)

積，恰好等於正方形 HLDE 的面積加上正方形 ACFG 的面積，最後就能推導 出勾股定理的關係式。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

● ● ● ●

4. 補充：

(1) 此證明在魯米斯的書中所提的作圖是錯誤的，書上是連線段 CK ，而不是連 線段VK ，事實上是錯誤的，必須在 FC 上取一點V 使得 FV HU，接下來 連VK 才是正確的分割。

(2) 此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：