第一節、緩長記憶與Hurst 指數之關係

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第三章研究方法

第一節、緩長記憶與Hurst 指數之關係

碎形布朗運動(fBM)有下列主要的特性，可以用來發現一時間序列是否具有緩長記憶之性質。

定理 1: 碎形布朗運動(fBM)的特性(Embrechts 與 Maejima, 2002) 碎形布朗運動過程{B_H(t)}t≥0有下列性質:

1. 單一的;

2. H 自我相似(H-ss) ，e.g. B_H(t) ~ t^HB_H(1) ;

3. 其有靜態的變量(stationary increments) ，e.g. E[(B_H(t+h) - B_H(h))(B_H(s+h) - BH(h))] ;

4. 若 H=1/2，其有獨立的變量(independent increments) ; 5. 若 H>1/2，其有緩長的記憶效應, e.g. ∑n=1∞

Cov(BH(1), BH(n+1) - BH(n)) = ∞;

6. 若 H≠1/2，其為非馬可夫過程(non-Markovian) ;

7. 若 H>1/2，則過去的變量與未來的變量之共變異數為正, 若 H<1/2 則其為負。

由上可知，H (Hurst 指數)可以決定過去的變量與未來的變量之共變異數，若 1/2<H<1，則其過程是持續的(persistent)，即若過去的變量是增加的，則未來的變量也是增加的，反之亦是; 若 0<H<1/2，則其過程是反持續的(anti-persistent)，即若過去的變量是增加的，則未來的變量則為減少的，反之亦是。圖 3-1 可顯示 fBM 與 Hurst 指數，當 Husrt 指數愈大，其時間序列之曲線愈平滑。

Razdan (2002)指出多數的金融市場之 Hurst 指數為介於 0.5 與 1 之間，即具有趨勢持續的現象，其過程為非馬可夫過程，因此其選擇權評價不能用傳統之平賭測度模型或一般隨機微積分直接處理，必需以其他方式處理。

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圖3-1fBM與Hurst 指數之關係

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第二節、R/S分析

在碎形布朗運動中，Hurst 指數為重要的參數，目前有幾種估計 Hurst 指數的方法，

其中 R/S 分析最早的亦是最簡單的，更是最普遍的方法。此方法由英國水利學家 Hurst (1951)在研究建造水庫時發現的。其方法簡述如下:

今有一時間序列 r(t) ， t=1,…,T,(可假設其為股票的日報酬率) ，X(t)為 r(t)累計之均 差和:

( )

1

( ) ( ) , 1,..., ,

t

X t r t r t T

′=

=

∑

′ − = ⁽²¹⁾

式中

1

1 ( ).

T

t

r r t

T _′= ′

=

∑

₍₂₂₎

R(T)為此累計之均差和 X(t)之變幅(range):

1 1

( ) max ( ) min ( )

T T

t t

R T X t X t

=

= = − (23)

S 為此區間的標準差:

( )

1 2 2

1

1 ( )

T

t

S r t r

T _′=

 ′ 

=

∑

−  ⁽²⁴⁾

求出兩者之比值:

( )

^H^,

R AT

S = (25)

式中 A 為一常數，H 即為 Hurst 指數。

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第三節、修正之 R/S 分析

Lo (1991)證明出標準 R/S 分析太弱(weak) ，會將無緩長記憶性質之時間序列視為有緩長記憶性質。因此 Lo (1991)發展出一較為強(stronger)的分析法，即為修正之 R/S 分析:

此分析法主要修正式(25)中的分母:

( ) ( )

^,

ˆ R H

S q = AT (26)

式中

( ) ( ) ( )

2 2

1

ˆ 2 ˆ , 1 ,

1

q

j j j

j

S q S q q j

ω γ ω q

=

= + = −

∑

+ ⁽²⁷⁾

q<T，S 為樣本標準差， ˆγ 為樣本自我共變異數(autocovariance)。

q 的決定為^q⁼

[ ]

^k^T ^,^其中

1 2 3 3

2

3 2ˆ ˆ , 2 1

T

k T ρ

ρ

 

=   −  (28)

ρ 為樣本之第一階自我相關係數(first-order autocorrelation coefficient) 。

Teverovsky, Taqqu 與 Willinger (1999)指出 Lo 的修正 R/S 分析法過於嚴謹，其舉例指出 Lo 的方法無法拒絕一具有緩長記憶性質(如 H=0.6)之時間序列為短期相依 (short range dependence)之虛無假設。

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第四節、DFA 分析

Detrended Fluctuation Analysis (DFA, Peng et al., 1994)與 Hurst 之 R/S 分析法主要之不同在於分子 R 的計算方式不同:

將式(21)中之 X(t)分為 N 組不重疊的區間I ，每組有相同數量τ ，其中 n=0,1,…,N-1_n 且^N ⁼

[ ]

^T^/^τ ^{, 定義}^{Y t}τ^{( )}為區域趨勢函數:

( ) _n _n for _n,

Y t_τ = +a b t t∈I (29)

式中a b 可由最小平方法求出。 _n, _n 令

( )

1 2 2

1

( ) ( )

( ) ,

N

t

X t Y t

R n

τ

τ τ

= τ

 − 

 

= 

 

 

∑

(30)

由式(25)得出:

( )

H,

R A

S

τ = τ (31)

式中 A 為一常數，H 即為 Hurst 指數。

Costa 與 Vasconcelos (2003)指出 DFA 是較為可靠的計算方式; 但因其計算過程較為繁瑣，一般較為少用。

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第五節、碎形 Black-Scholes 選擇權評價

Hu 與 Øksendal (2000)以類似 Itô 隨機績分的方式，證明出在碎形布朗運動B 下之金_H 融市場價格過程之解，其基本假設與 Black-Scholes 相似，差別在其假設市場價格報酬為碎形布朗運動(fBM)，其結果如下:

命題 1: (幾何碎形布朗運動，Geometric Fractional Brownian Motion) 設金融市場價格過程為幾何碎形布朗運動:

( ) ( ) ( )

^H

( )

^{, (0)} ⁰

dS t =µS t dt+σS t dB t S =s (32)

其解為

( )

⁰^exp

( )

¹ ^{2 2}

2

H

S t =s σBH t +µt− σ t  (33) 證明:見 Hu 與 Øksendal (2000) 。

由上述之命題，Necula (2002)證明出下列定理以評價歐式買入選擇權:

定理 2: (碎形 Black-Scholes 公式,fBS)

設履約價 K，到期日 T 之歐式買入選擇權，其任一時刻^t^∈

[ ]

^0,^T ^{之價格為:}

( )

1 2

( ( ), ) ( ) ( ) ^{r T t} ( ),

C S t t =S t N d −Ke⁻ ⁻ N d (34)

其中

( )

1 2 2 2

ln( ) ( ) ( )

2 ,

H H

S t r T t T t

d K

σ

+ − + −

= (35)

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Necula (2002)亦求出 BS 模型與 fBS 模型避險參數之不同如下表:

表 3-1 BS 模型與 fBS 模型避險參數比較

classical Black-Scholes fractional Black-Scholes

) (d₁ S N

C =

∂

= ∂

∆ N(d₁)

t T S

d N S

C

= −

∂

= ∂

Γ σ

) ( ' ₁

2 2

H

H t

T S

d N

2 2

1) ( '

− σ

) ( ) ( exp(

2 ) ( '

2

1 rK r T t N d

t T

d SN t

C − − −

− −

∂ =

=∂

Θ σ

) ( ) ( ) exp(

( '

2 2 2 1 1

2 rK r T t N d

t T

d Ht SN

t C

H H

H − − −

− −

∂ =

=∂

Θ ⁻ σ

) ( ' d₁ N t T C S

V = −

∂

= ∂

σ S T²^H −t²^HN'(d₁) )

( )) ( exp(

)

(T t r T t N d₂ r K

C = − − −

∂

= ∂

ρ K(T −t)exp(−r(T−t))N(d₂) 其中 BS 模型與 fBS 模型之d d 並不相同。 ₁, ₂

第一節、緩長記憶與Hurst 指數之關係

第三章 研究方法