高雄市明誠中學

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：103.04.28 範

圍 2-3&3-1.2.3 班級二年____班姓座號名

第第第第第 (第第 10 第 )

1.下列各圖代表空間中三平面相交的 8 種情形﹕



三平面重合



二平面重合且與第三平面平行



三平面平行



二平面重合且與第三平面交於一直線



二平面平行且與第三平面交於一直線



三平面兩兩相交於一直線但沒有共同交點



三平面兩兩不重合且相交於一直線



三平面交於一點

試問下列各組平面相交的圖形為上述何者﹖（寫下代號即可）

(1)

1 2 3

2 3 1

2 3 5

2 3 4

E x y z

− + =

 − + =

 − + =



：

____________﹒ (2)

1 2 3

2 3 4

4 2 6 8

2 1

E x y z

− + =

 − + =

 − + =



：

____________﹒

(3)

1 2 3

1

3 3 3 3

2 2 2 5

E x y z

+ + =

 + + =

 + + =



：

____________﹒ (4)

1 2 3

2 4

2 4 2 8

E x y z

− + =

 − + − = −

 − + =



：

____________﹒

(5)

1 2 3

2 0

2 1

3 2

E x y z

− + =

 − + =

 − − =



：

____________﹒ (6)

1 2 3

2

2 1

2 7

E x y z

− + =

 + − =

 + + =



：

____________﹒

(7)

1 2 3

1

2 3 2

3 7 3

E x y z

+ − =

 + + =

 + + =



：

____________﹒ (8)

1 2 3

2 2

2 5 2

E x y z

+ + =

 + + =

 + + =



：

____________﹒

解答見解析

解析 (1)因為三平面的法向量均為(2, − 1,3)﹐且三平面均不重合﹐所以填﹒

(2)因為 E1﹕2x − y + 3z = 4 與 E2﹕4x − 2y + 6z = 8 為二重合平面﹐且共同的法向量(2, − 1,3) 與 E3的法向量(1, − 2,1)不平行﹐所以填﹒

(3)因為 E1﹕x + y + z = 1 與 E2﹕3x + 3y + 3z = 3 為二重合平面﹐且共同的法向量(1,1,1)與 E3的法向量(2,2,2)平行﹐所以填﹒

(4)因為 E1﹕x − 2y + z = 4﹐E2﹕− x + 2y − z = − 4 與 E3﹕2x − 4y + 2z = 8 為重合三平面﹐所以填﹒

(5)因為 E1﹕x − 2y + z = 0 與 E2﹕x − 2y + z = 1 為二平行平面﹐且共同的法向量(1, − 2,1)與的法向量(3, − 1, − 1)不平行﹐所以填﹒

(2)

(6)因為

1 1 1

2 1 1 6 0

2 1 1

−

∆ = − = ≠ ﹐所以聯立方程式恰一組解﹐即三平面共點﹒故填﹒

(7)因為

1 1 1 1 2 3 0 1 3 7

−

∆ = = ﹐所以聯立方程式可能無解或無限多組解﹒

對於聯立方程式

1

2 3 2

3 7 3

x y z

+ − =

 + + =

 + + =











﹐利用加減消去法﹐

由 − 及 − 消去 x﹐得

1 4 1

2 8 2

x y z

y z

+ − =

 + =

 + =











﹒

由 −  × 2 消去 y﹐得

1 4 1 0 0 x y z

y z

+ − =

 + =

 =











即 1

4 1 x y z

y z

+ − =

 + =









令 z = t﹐代入﹐解得 y = 1 − 4t﹐再將 y = 1 − 4t﹐z = t 代回﹐解得 x = 5t﹒

可得聯立方程式的解為 5 1 4 x t

y t

z t

 =

 = −

 =



（t 為實數）﹐即聯立方程式有無限多組解﹒

因為三平面的法向量均不互相平行﹐故填﹒

(8)因為

1 1 2 2 1 1 0 1 2 5

∆ = = ﹐所以聯立方程式可能無解或無限多組解﹒

對於聯立方程式

2 2

2 5 2

x y z

+ + =

 + + =

 + + =











﹐利用加減消去法﹐

由 −  × 2 及 − 消去 x﹐得

2 2

3 2

3 0

x y z

y z

+ + =

− − = −

 + =











﹐

由 + 消去 y﹐得

2 2

3 2

0 2

x y z

y z

+ + =

− − = −

 = −











﹐

因為沒有 x﹐y﹐z 滿足﹐所以聯立方程式無解﹒又三平面的法向量均不互相平行﹐故 填﹒

2.方程組

5 3 0

2 3

4 17

x y z

x y z a

x y bz + − =

 + + =

 + + =



有無限多解﹐求(1)a = ____________﹒(2)b = ____________﹒

解答 (1) − 1;(2) − 58

解析方程組有無限多解﹐表示∆ = ∆x = 0﹐

(3)

5 3 1 2 1 3 0 1 4 b

−

∆ = = ⇒ 5b − 8 + 9 + 1 − 60 − 6b = 0 ⇒ b = − 58﹒

0 3 1

1 3 0

17 4 58

x a

−

∆ = =

−

⇒ 0 − 4a + 153 + 17 − 0 + 174a = 0 ⇒ a = − 1﹒

3.方程組 x + 2y + 3z = kx﹐2x + 3y + z = ky﹐3x + y + 2z = kz 有異於(0 , 0 , 0)之解﹐則(1)k = ____________﹒

(2)若 k 為整數﹐則方程組的解為____________﹒

解答 (1)6﹐ 3 ﹐− 3;(2) x t y t z t

 =

 =

 =

（t 為實數）

解析

(1 ) 2 3 0

2 (3 ) 0

3 (2 ) 0

k x y z

x k y z

x y k z

− + + =

 + − + =

 + + − =



﹐

(1)

1 2 3

2 3 1 0

3 1 2

k k

k

−

∆ = − =

−

﹐

⇒ (1 − k)(3 − k)(2 − k) + 6 + 6 − 9(3 − k) − (1 − k) − 4(2 − k) = 0

⇒ k³ − 6k² − 3k + 18 = 0 ⇒ (k−6)(k− 3)(k+ 3)= ⇒ k = 6﹐ 3 ﹐0 − 3﹒ (2)k 為整數﹐即 k = 6

5 2 3 0

2 3 0

3 4 0

x y z

− + + =

 − + =

 + − =











﹐

 × 3 −  ⇒ 11x − 11y = 0﹐

 × 4 +  ⇒ 11x − 11y = 0﹐

令 y = t ⇒ x = t 代入得 z = t﹐

∴方程組之解為 x t y t z t

 =

 =

 =

（t 為實數）﹒

4.已知 A (5 , 1)﹐B (1 , 3)﹐C (1 , 1)﹐若通過 A﹐B﹐C 三點之圓方程式為 x² + y² + dx + ey + f = 0﹐求序 組(d , e , f)之值為____________﹒

解答 ( − 6 , − 4 , 8)

解析圓方程式為 x² + y² + dx + ey + f = 0﹐

A (5 , 1)代入得 25 + 1 + 5d + e + f = 0﹐

B (1 , 3)代入得 1 + 9 + d + 3e + f = 0﹐

C (1 , 1)代入得 1 + 1 + d + e + f = 0﹐

⇒

5 26

3 10

2 d e f

d e f

d e f + + = −

 + + = −

 + + = −











﹐

(4)

解得 d = − 6﹐e = − 4﹐f = 8﹐∴(d , e, f) = ( − 6 , − 4 , 8)﹒

5.有個三位數﹐其百位數字與個位數字之和等於十位數字﹐如果將百位數字與十位數字交換﹐所得之三位數較原數大 450﹐如果將原數的十位數字與個位數字交換﹐所得之三位數較原數小 27﹐試求此數為____________﹒

解答 385

解析設此數為 100a + 10b + c﹐

則 100 10 100 10 450

100 10 100 10 27

a c b

b a c a b c

a c b a b c

 + =

 + + = + + +

 + + = + + −



⇒

0 5 3 a b c a b b c

− + =

 − = −

 − =



﹐得 a = 3﹐b = 8﹐c = 5﹐此數 385﹒

6.若 ² ² ²

3 3 3

4 12 28 x y z

x y z

+ + =

 + + =

 + + =



且 x > y > z﹐則 x = ____________﹒

解答 1+ 3

解析 ∵(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)﹐

∴16 = 12 + 2(xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx = 2﹐

∵x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² − xy − yz − zx)﹐

∴28 − 3xyz = 4(12 − 2) ⇒ xyz = − 4﹐

∴x﹑y﹑z 為 t³ − 4t² + 2t + 4 = 0 的三根且 x > y > z﹐

又(t − 2) (t² − 2t − 2) = 0 ⇒ t = 2﹐1+ 3﹐1− 3﹐

∵1− 3< 2 <1+ 3﹐∴x =1+ 3﹒

7.空間兩直線 0

4 3 1

x y z

+ − =

 − + =

 與 2

3 2 2 1

x y z k

x y z

+ − =

 + − =

 相交於一點﹐則 k = ____________﹒

解答 1

解析

0

4 3 1

3 2 2 1

2 x y z

x y z

x y z k + − =

 − + =

 + − =

 + − =













解得 x = 1﹐y = 2﹐z = 3﹐代入得 k = 1﹒

8.解

6( ) 5 2( ) 3 3( ) 4

x y xy

y z yz

z x zx

+ =

 + =

 + =



得(x,y,z) = ____________﹒

解答 (0,0,0)或(3,2,1) 解析 (1)xyz = 0﹕

當 x = 0 代入 6(x + y) = 5xy ⇒ y = 0﹐同理 z = 0﹐ ∴x = y = z = 0﹐∴(x,y,z) = (0,0,0)﹒

(2)xyz ≠ 0﹕

6( ) 5 2( ) 3 3( ) 4

x y xy

y z yz

z x zx

+ =

 + =

 + =



⇒

1 1 5 6 1 1 3 2 1 1 4 3 y x

z y

x z

 + =



 + =



 + =



∴(x,y,z) = (3,2,1)﹒

(5)

由(1)(2)可得﹐(x,y,z) = (0,0,0)或(3,2,1)﹒

9.設

( ) 12

( ) 15

( ) 20

x x y z yz

y x y z zx

z x y z xy

+ + = −

 + + = −

 + + = −



﹐求(x,y,z) = ____________﹒

解答 (1,2,3)或( − 1, − 2, − 3)

解析原式

2 2

2

12 15 20 x xy xz yz xy y yz zx xz yz z xy

 + + + =

⇒ + + + =

 + + + =



( )( ) 12 ( )( ) 15

( )( ) 20

x y x z x y y z y z x z

+ + =



⇒ + + =

 + + =











 ×  ×  ⇒ [(x + y) (y + z) (z + x)]² = 2⁴ × 3² × 5² ⇒ (x + y) (y + z) (z + x) = ± 60﹐

當(x + y) (y + z) (z + x) = 60﹐則

5 4 3 y z z x x y

 + =

 + =

 + =



1 2 3 x y z

 =

⇒ =

 = 當(x + y)(y + z)(z + x) = − 60﹐則

5 4 3 y z z x x y

+ = −

 + = −

 + = −



1 2 3 x y z

 = −

⇒ = −

 = −



∴(x,y,z) = (1,2,3)或( − 1, − 2, − 3)﹒

10.x﹑y﹑z 為實數﹐解

(2 ) 7 (2 ) 14 (2 ) 12 x y z y z x z x y

+ =

 + =

 + =



得(x,y,z) = ____________﹒

解答 (1,2,3)或( − 1, − 2, − 3)

解析

(2 ) 7 (2 ) 14 (2 ) 12 x y z y z x z x y

+ =

 + =

 + =











 +  +  ⇒ 3(xy + yz + zx) = 33 ⇒ xy+yz + zx = 11……

 −  ⇒ yz − xy=4……

 −  ⇒ zx − yz = − 3……

 +  ⇒ 3zx = 9 ⇒ zx = 3 代入得 yz = 6﹐代入得 xy = 2﹐

(zx) (yz) (xy) = 36 ⇒ xyz = ± 6﹐∴(x,y,z) = (1,2,3)或( − 1, − 2, − 3)﹒

11.

2 2 1

3 2 1

3 8

x y z

x y z + + =

 − + = −

 + − = −



﹐得(x,y,z) = ____________﹒

解答 ( − 2,1,3)

解析

2 2 1 3 1 2

3 1 1

∆ = − =

−

2 + 12 + 3 + 3 − 4 + 6 = 22﹐

1 2 1

1 1 2

8 1 1

∆ = −x − =

− −

1 − 32 − 1 − 8 − 2 − 2 = − 44﹐

(6)

2 1 1 3 1 2

3 8 1

∆ =y − =

− −

2 + 6 − 24 + 3 + 32 + 3 = 22﹐

2 2 1

3 1 1

3 1 8

∆ =z − − =

−

16 − 6 + 3 + 3 + 2 + 48 = 66﹐

所以 44

22 2

x=− = − ﹐ 22 22 1

y= = ﹐ 66

22 3

z= = ﹐∴(x,y,z) = ( − 2,1,3)﹒

12.已知方程組

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

+ + =

 + + =

 + + =



恰有一組解(2,3,1)且方程組

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

b x c y d z a b x c y d z a b x c y d z a

+ + =

 + + =

 + + =



也恰有一組解

(α,β,γ)﹐求(α,β,γ) = ____________﹒

解答 ( 3 1 1 , , 2 2 2

− − )

解析 b1x + c1y + d1z = a1 ⇒ a1 − b1x − c1y = d1z ⇒ a1(1

z) + b1( x z

− ) + c1( y

− ) = dz 1﹐ 1

z = 2 ⇒ z =1

2=γ﹐ x

− = 3 ⇒ x = − 3z =z 3

− = 2 α﹐ y

− = 1 ⇒ y = − z =z 1

− =2 β﹐

∴(α,β,γ) = ( 3 1 1 , , 2 2 2

− − )﹒

13.設方程組

2 3 2 3 2 3

x y z kx

x y z ky

x y z kz

+ + =

 + + =

 + + =



恰有一組解﹐求 k 的範圍為____________﹒

解答 k ≠ 0 且 k ≠ 6

解析原方程組為

(1 ) 2 3 0

(2 ) 3 0 2 (3 ) 0

k x y z

x k y z

x y k z

− + + =

 + − + =

 + + − =



恰有一組解﹐則

1 2 3

1 2 3 0

1 2 3

k k

k

−

− ≠

−

﹒

即(1 − k)(2 − k)(3 − k) + 6 + 6 − 3(2 − k) − 6(1 − k) − 2(3 − k) ≠ 0

⇒ − k³ + 6k² ≠ 0﹐所以 k ≠ 0 且 k ≠ 6﹒

14.空間中四平面的方程式如下﹕x + y + z = 0﹑x + y − z = − 6﹑x − y + z = 8﹑x − y − z = a﹐其中 a 為實 數﹐若此四平面共交一點時﹐則 a 的值為____________﹒

解答 2

解析 ∵三平面 x + y + z = 0﹑x + y − z = − 6﹑x − y + z = 8 有共同交點(1, − 4,3)﹐

∴x − y − z = a 包含(1, − 4,3)﹐得出 a = 2﹒

15.空間中三平面 E1 : 2x + 3y + z = 2﹑E2 : 3x − 2y + z = 1﹑E3 : ax + by + z = 1﹐若三平面相交情形為其 中兩平面平行與另一平面各交一線﹐則 a + b = ____________﹒

解答 5

解析 若 E1 // E3

2 3 1 2 1 1

a = = ≠ ⇒ a = 2﹐b = 3 ⇒ a + b = 5﹒ b

若 E2 // E3

3 2 1 1 1 1

a b

=− = = （不合﹐∵E2與 E3重合）﹒

(7)

由 ⇒ a + b = 5﹒

16.已知二次函數 f(x)過點 A(1, − 6)﹐B(2,1)﹐C( − 3,26)﹐則 f(x) = ____________﹒

解答 3x² − 2x − 7

解析設 f(x) = ax² + bx + c

過(1, − 6) ⇒ a + b + c = − 6……

過(2,1) ⇒ 4a + 2b + c = 1……

過( − 3, − 26) ⇒ 9a − 3b + c = 26……

由 − 得 3a + b = 7……

 − 得 5a − 5b = 25 即 a − b = 5……

 + 得 4a = 12 ⇒ a = 3 ⇒ b = − 2 代入

3 − 2 + c = − 6 ⇒ c = − 7

∴f(x) = 3x² − 2x − 7﹒

17.設 2x − 3y + 4z = x − y + 2z = 3x + y − 2z﹐求 2

x y z x y z

+ − =

− + ____________﹒

解答 1

解析 2 2 0

4 6 0

x y z

− + =

 + − =

 ⇒x : y : z = 2 : 4 : 3﹐x = 2k﹐y = 4k﹐z = 3k﹐∴ 2 4 3

2 4 4 3 1

x y z k k k

+ − = + − =

− + − + ﹒

18.一礦物內含 A﹑B﹑C 三種放射性物質﹐放射出同一種輻射﹒已知 A﹑B﹑C 每公克分別會釋放出 1

單位﹑2 單位﹑1 單位的輻射強度﹐又知 A﹑B﹑C 每過半年其質量分別變為原來質量的1

2﹑1 3﹑1

4倍﹒

於一年前測得此礦物的輻射強度為 66 單位﹐而半年前測得此礦物的輻射強度為 22 單位﹐且目前此 礦物的輻射強度為 8 單位﹐則目前此礦物中 A﹑B﹑C 物質之質量分別為

(1)____________﹐(2)____________﹐(3)____________公克﹒

解答 (1)4;(2)1;(3)2

解析設 A﹑B﹑C 一年前分別有 x﹐y﹐z 公克﹐

2 66

1 2 1

2 3 4 22

1 2 1

4 9 16 8

x y z

 + + =

 + + =



 + + =



⇒

2 66

4 1

3 2 44

8 1

9 4 32

x y z

 + + =

 + + =



 + + =











 −  ⇒2 1

3y+2z=22﹐ −  ⇒10 3

9 y+4z=34⇒ 4 3 132 40 27 1224

y z

+ =

 + =









 × 10 −  ⇒ 3z = 96﹐z = 32﹐y = 9﹐x = 16﹐

則目前此礦物 A﹑B﹑C 物質之質量分別為 1 ²

16( )

2 ﹐ 1 ²

9( )3 ﹐ 1 ² 32( )

4 ⇒ 4﹐1﹐2（公克）﹒

19.設 a∈  ﹐若方程組 2 3 5

3 2 7

a x a

a y a

−    + 

 

  = 

 − −  −

     無解﹐則 a = ____________﹒

解答 5

解析 2 3

( 1)( 5)

3 2

a a a

a

∆ = − = − −

− − ﹐

(8)

5 3

( 1)( 11)

7 2

x

a a

a

+ −

∆ = = − −

− − ﹐ 2 5

( 1)( 1)

3 7

y

a a a

a a

∆ = + = − + −

− − ﹐

故當 a = 5 時﹐方程組無解﹒

1.阿妙解聯立方程組

4 1 3 3

2 3

ax y z x by z x y cz

− + =

 − + =

 + + =



﹐先寫出增廣矩陣﹐然後再利用列運算化簡到

1 3 5 5 0 1 2 5 0 0 1 2

 − 

 

 

﹐若

計算過程均無錯誤﹐求序對(a,b,c) = ____________﹒

解答 (3,1,3)

解析

3 5 5 2

1 3 5 5

0 1 2 5 2 5 1

0 0 1 2 2 2

x y z x

y z y

z z

− + = = −

−  

 

 

  ⇒ + = ⇒ =

 

 

  = =

   

代回原方程組

2 1 8 1 3

2 6 3 1

4 1 2 3 3

a a

b b

c c

− − + = =

 

 

⇒ − − + = ⇒  =

− + + =  =

 

數對(a,b,c) = (3,1,3)﹒

2.設矩陣

1 3 2 4

2 1 3 6

3 2 5 6

− − −

 

 

 − 

 

經列運算後得

0 1 2

0 0 2

0 0 4

a b

c

 

 

 

﹐則 a + b + c 之值為____________﹒

解答 7

解析

1 3 2 4

2 1 3 6

3 2 5 6

− − −

 

 

 − 

 

→

1 3 2 4

0 7 7 14 0 7 11 18

− − −

 

 

 

→

1 3 2 4

0 1 1 2

0 7 11 18

− − −

 

 

 

→

1 3 2 4

0 1 1 2

0 0 4 4

− − −

 

 

 

→

1 0 1 2 0 1 1 2 0 0 1 1

 

 

 

→

1 0 1 2 0 1 0 1 0 0 1 1

 

 

 

→

1 0 1 2

0 2 0 2 1

0 0 4 4 a

 

  ⇒ =

 

 

﹐b = 2﹐c = 4 ∴a + b + c = 7﹒

3.對矩陣

2 1 1

1 2 3

3 2 2

a b c

− −

 

 − − 

 

 

作列運算若干次後得到

1 0 1 2 0 0 1 1

0 3 3 3

 − 

 

 − 

 

﹐則(a , b , c) = ____________﹒

解答 ( − 3 , 4 , 7) 解析

2 1 1

1 2 3

3 2 2

a b c

− −

 

 − − 

 

 

→

1 0 1 2 0 0 1 1 1 0 3 3 3 ( 3)

 − 

  ×

  × −

 − 

 

→

1 0 0 3 0 0 1 1 0 3 0 6

 

 

 − 

 

得 x = 3﹐y = − 2﹐z = 1

⇒ 2

2 3

3 2 2

x y z a

x y z b

x y z c

− − + =

 − − =

 + + =



的解(x , y , z) = (3 , − 2 , 1)﹐代入求出(a , b , c) = ( − 3 , 4 , 7)﹒

4.設 4 3

2 1 A  − 

=  − ﹐ ₂ 1 0 0 1

I  

=  

 ﹐若 1 3

P 1 2

=  

 ﹐且已知 A = PBP^{− 1}﹐試求 (1)(3I2 − A)的乘法反方陣為____________﹒（以 A 表示之）

(9)

(2)A⁴ − 6A³ + 10A² − 8A + 3I2 = ____________﹒

(3)A¹⁰ = ____________﹒

解答 (1)1

2A ;(2) 15 15 10 10

− 

− 

 ;(3) 3070 3069 2046 2045

 − 

 − 

 

解析 (1) 3 0 4 3 1 3

3I A 0 3 2 −1 −2 4

− =   − −   = −  ∴ ¹ 1 4 3 1 (3 )

2 1

det(3 ) 2

I A A

I A

−  − 

− = −  − = ﹒ (2)∵A = PBP^{− 1} ∴P^{− 1}AP = B﹐Bⁿ = P^{− 1}AⁿP ⇔ PBⁿP^{− 1} = Aⁿ

又 2 3 4 3 1 3 1 0

1 1 1 2 1 1 2 0 2

B  −   −     

= − −    −      =  ∴ 1 0 0 2

n

B  n

=  

 

而 A⁴ − 6A³ + 10A² − 8A + 3I = P(B⁴ − 6B³ + 10B² − 8B + 3I)P^{− 1}

1 3 1 6 10 8 3 ₄ ₃ 0 ₂ 2 3 15 15

1 2 0 2 6 2 10 2 8 2 3 1 1 10 10

− + − + − −

       

=    − × + × − × +    −   = − ﹒ (3)∵A¹⁰ = PB¹⁰P^{− 1}

∴ ¹⁰ 1 3 1 0₁₀ 2 3 3070 3069 1 2 0 2 1 1 2046 2045

A     −   − 

=       −   = − ﹒ 5.小明使用高斯－喬登消去法﹐在紙上解三元一次聯立方程式如下﹕

1 2 18 1 0 0 2

0 1 5 0 1 0 5

0 12 0 0 0 1 6

a b c

   

   

⇒ − − ⇒ ⇒ 

   − 

   

 ﹐數字 a﹐b﹐c 不慎污損﹐請幫他找回(a,b,c)為

____________﹒

解答 ( − 1,25,10)

解析由

1 0 0 2 0 1 0 5 0 0 1 6

 

 

 − 

 

可知﹕

2 5 6 x y z

 =

 =

 = −



2 18

1 2 18

0 1 5 5

0 12 0 12 0

x y az a

b y z b

c y cz

+ + =



 

 − − ⇒ − − =

 

   + =

  

將 x﹐y﹐z 代入得

2 10 6 18 1

5 30 25

60 6 0 10

a a

b b

c c

+ − = = −

 

− + = ⇒ =

 

 − =  =

 

∴(a,b,c) =

( − 1,25,10)﹒

6.若此方程組

2 5 1

2 2 3

3 10 6 1

x y z

x y z a

+ + = −

 + + =

 + − = −



有解﹐則 a 值為____________﹒

解答 − 18 解析

2 5 1 1

1 2 2 3

3 10 6 a 1

 − 

 

 − − 

 

→

0 1 3 7

1 2 2 3

0 4 12 a 10

− −

 

 

 − − 

 

→

0 1 3 7

1 2 2 3

0 0 0 a 18

− −

 

 

 + 

 

× −( 2)

× −( 3) × −( 4)

∵有解 ∴a = − 18﹒

7.設方程組 (1 ) 2 2 1

3 (2 ) 2 7

a x y b c

x a y b c

− + = − +

 + − = + −

 ﹐除 x = 0﹐y = 0 的解外﹐尚有其他組解﹐試求(a,b,c)的值為

(10)

____________﹒

解答 (4,1,3)或(− 1,1,3)

解析 ∵有(0,0)的解﹐∴ 2 1 0

( , ) (1,3) 2 7 0

b c b c b c

− + =

 ⇒ =

 + − =

 ﹐

(1 ) 2 0 3 (2 ) 0

a x y

x a y

− + =

 + − =

 除了(0,0)之外尚有其他解﹐表示有無限多解﹐

∴1 2

3 2 4

a a

a

− = ⇒ =

− 或− 1﹐∴(a,b,c) = (4,1,3)或(− 1,1,3)﹒

8.若

2 3

4 3 2

x y z x z

x y z t

− − =

 + =

 − − =



有解﹐求 t = ____________﹒

解答 9 解析

1 1 1 2

1 0 1 3

4 3 2 t

− −

 

 

 − − 

 

1 1 1 2

0 1 2 1

0 1 2 t 8

− −

 

 

→  

 − 

 

1 0 1 3 0 1 2 1 0 0 0 t 9

 

 

→  

 − 

 

( 1) ( 4)

× −

1 ( 1)

×

× −

∵方程組有解故為無限多組解⇒ t − 9 = 0 ⇒ t = 9﹒

9.若一聯立方程式的增廣矩陣經過下列三個步驟進行運算﹕

(a)第一列乘上( − 2)加到第二列﹔

(b)第一列乘上 3 加到第三列﹔

(c)第二列乘上( − 1)加到第三列﹒

得到矩陣為

1 2 3 5

0 5 9 13

0 0 2 4

 − 

 − − 

 

 

﹐試求﹕

(1)此聯立方程式的解為____________﹒ (2)原聯立方程式為____________﹒

解答 (1)x = 1﹐y = 1﹐z = 2;(2)

2 3 5

2 3 3

3 11 16 24

x y z

− + =

 + − = −

− + − = −



解析 (1)依題意可知原聯立方程式與聯立方程式

2 3 5

5 9 13

2 4

x y z

y z z

− + =

 − = −

 =









有相同的解﹒

由式得 z = 2﹐代入式得 y = 1﹐將 y﹐z 代入式得 x = 1﹐故解為 x = 1﹐y = 1﹐z = 2﹒

(2)將矩陣列運算逆回去即得﹒

1 2 3 5

0 5 9 13

0 0 2 4

 − 

 − − 

 

 

→

1 2 3 5

0 5 9 13

0 5 7 9

 − 

 − − 

 

 − − 

 

→

1 2 3 5

2 1 3 3

3 11 16 24

 − 

 − − 

 

− − − 

 

﹒

( )1

(2) ( 3)−

(11)

故原聯立方程式為

2 3 5

2 3 3

3 11 16 24

x y z

− + =

 + − = −

− + − = −



﹒

10.下列是一個有關 x﹐y﹐z 方程組的高斯消去法運算過程﹕

2 1 1 3

1 1 3 10

1 2 2 1

 − 

 − 

 

 − − 

 

→

1 1 10

2 1 1 3

1 2 2 1

− a

 

 − 

 

 − − 

 

→

1 1 10

0 7 17

0 1 5 9

a b

 − 

 − − 

 

 − − − 

 

→

1 1 10

0 1 5

0 3 7 17

a c

 − 

 

 − − 

 

→…繼續列運算﹐

可求得 x﹐y﹐z 之解﹒試問﹕式中數對(a,b,c) = ____________﹒

解答 (3,3,9) 解析

2 1 1 3

1 1 3 10

1 2 2 1

 − 

 − 

 

 − − 

 

→

1 1 3 10

2 1 1 3

1 2 2 1

 − 

 − 

 

 − − 

 

→

1 1 3 10

0 3 7 17

0 1 5 9

 − 

 − − 

 

 − − − 

 

( 2)− ( 1)−

( 1)−

→

1 1 3 10

0 3 7 17

0 1 5 9

 − 

 − − 

 

 

→

1 1 3 10

0 1 5 9

0 3 7 17

 − 

 

 − − 

 

﹐故數對(a,b,c) = (3,3,9)﹒

11.矩陣

1 1 2 1 0 0 2 1 1 0 1 0 1 3 3 0 0 1

 − 

 

 

可經列運算化為

1 0 0 0 1 0 0 0 1

x y z p q r l m n

 

 

 

﹐則

x y z p q r l m n

 

 

 

= ____________﹒

解答

3 1

0 5 5

1 1 1

3 15 5

1 4 1

3 15 5

 − 

 

− 

 

 − 

 

 

解析

1 1 2 1 0 0 2 1 1 0 1 0 1 3 3 0 0 1

 − 

 

 

→

1 1 2 1 0 0

0 3 3 2 1 0

0 4 1 1 0 1

 − 

 − − 

 

 − 

 

( 2)−

( 1)−

1 ( )3

→

1 1 2 1 0 0

2 1

0 1 1 0

3 3

0 4 1 1 0 1

 − 

 

 − − 

 

 − 

 

→

1 1

1 0 1 0

3 3

2 1

0 1 1 0

3 3

5 4

0 0 5 1

3 3

 

 

 − − 

 

 − 

 

 

(1)

1 ( )5 ( 4)−

(12)

→

1 1

1 0 1 0

3 3

2 1

0 1 1 0

3 3

1 4 1

0 0 1

3 15 5

 

 

 − − 

 

 − 

 

 

→

3 1

1 0 0 0

5 5

1 1 1

0 1 0

3 15 5

1 4 1

0 0 1

3 15 5

 − 

 

 − 

 

 − 

 

 

﹒

(1) ( 1)−

則

x y z p q r l m n

 

 

 

=

3 1

0 5 5

1 1 1

3 15 5

1 4 1

3 15 5

 − 

 

− 

 

 − 

 

 

﹒

12.設方程組 L﹕

1

2 3 2

4 5 x y z

x y z

x y az b + + =

 + − =

 + + =



﹐

(1)當 a = h﹐b = k 時﹐方程組 L 有無限多解﹐則數對(h , k) = ____________﹒

(2)當 a ≠ ____________時﹐方程組 L 恰有一解﹒

解答 (1)(1 , 4);(2)1

解析由矩陣列運算得

1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 1 2 0 1 3 0

4 5 a b 0 1 a 4 b 4

   

 − → − 

   

   − − 

   

﹐

(1)∵無限多解﹐∴ 4 3

4 0 a b

− = −

 − =

 ⇒ 1

4 a b

 =

 = ﹐故(h , k) = (1 , 4)﹒

(2)1 3 1 a 4

≠ −

− 恰有一解⇒a ≠ 1﹒

1.若 3 1

A 2 1

=  

 ﹐ 1 2

3 1 B  − 

=  − ﹐則(A + B)(A − 2B) = ____________﹒

解答 8 17 5 25

 

 

 

解析 ∵ 4 1

5 0

A B  − 

+ =  

 ﹐ 3 1 2 4 1 5

2 2 1 6 2 4 3

A B    −   

− =   − −   = − 

∴ 4 1 1 5 8 17

( )( 2 )

5 0 4 3 5 25

A B A B  −     

+ − =   −   = ﹒

2.設 A = 1 2 3 4

 

 

 ﹐B = 2 3 9

k 

 

 ﹐若(A + B)² = A² + 2AB + B²成立﹐則 k = ____________﹒

解答 6

解析 (A + B)² = A² + 2AB + B²成立時﹐AB = BA﹐

AB = 6 20

3 12 42 k

k

 + 

 + 

 ﹐而 BA = 6 2 8

30 42

k+ k+

 

 

 ﹐得 k = 6﹒

(13)

3.若

0 1 1 1 1 4 1 1 3

x u

y v

z w

   

 

   

    =

 

   

 − 

     

﹐

5

1 2 3

2 1 3 1

3 1 2 3

u v w

−    

 

   

 −    = −

 

   

 − 

     

﹐則 y = ____________﹒

解答 29

−10

解析

3 2 3 5 10

2 3 1 31 3 2 3 10

1 2 u

u v w

u v w v

u v w

w

 =

− + =

 

 + − = − ⇒ = −

 

 − + = 

  = −



﹐

3 10 4 31

10 3 1

2 y z

x y z

 + =



 + + = −



 − + = −



⇒ y = 29

−10﹒

4.設 M = 1 1 1 1

 − 

 

 ﹐求 M¹² = ____________﹒

解答 64 0 0 64

− 

 − 

 

解析 M² = 1 1 1 1 0 2

1 1 1 1 2 0

− − −

     

    = 

     ﹐

M³ = 0 2 1 1 2 2

2 0 1 1 2 2

− − − −

     

    = − 

     ﹐

M⁴ = 2 2 1 1 4 0

2 2 1 1 0 4 4I

− − − −

     

= = −

 −     − 

      ﹐

(M⁴)³ = (− 4I)³ = − 64I = 64 0 0 64

− 

 − 

 ﹒

5.若 1 1

A  1 0

= − ﹐試求 A²⁰¹⁴ = ____________﹒

解答 1 1 1 0

 

− 

 

解析 1 1 A  1 0

= − ﹐ ² 1 1 1 1 0 1

1 0 1 0 1 1

A      

=−   −   = − − 

3 1 1 0 1 1 0

1 0 1 1 0 1 ( 1)

A     −  I

=−   − −   = − = −

2014 3 671 671 671 1 1

( ) [( 1) ]

A A A I A I A A  1 0

= = − = = = − ﹒

6.若 A =

1 1 1 0 1 1 0 0 1

 

 

 

﹐則 A⁵⁰ = ____________﹒

解答

1 50 1275 0 1 50

0 0 1

 

 

 

(14)

解析 A =

1 1 1 0 1 1 0 0 1

 

 

 

﹐A² =

1 2 3 0 1 2 0 0 1

 

 

 

﹐A³ =

1 3 6 0 1 3 0 0 1

 

 

 

﹐A⁴ =

1 4 10 0 1 4 0 0 1

 

 

 

⇒ 可推斷 Aⁿ =

1 1 2

0 1

0 0 1

n n

n + + +

 

 

 



﹐∴A⁵⁰ =

50 51 1 50

1 50 1275 2

0 1 50 0 1 50

0 0 1 0 0 1

 × 

   

  = 

   

   

 

 

﹒

7.設 A = 8 10 4 5

 

− − 

 滿足 A + A² + A³ + A⁴ + A⁵ = kA﹐求實數 k = ____________﹒

解答 121

解析 A² = A･A = 8 10 8 10 24 30 8 10

3 3

4 5 4 5 12 15 4 5 A

       

= = =

− −  − −  − −  − − 

        ﹐

∴A + A² + A³ + A⁴ + A⁵ = A + 3A + 3²A + 3³A + 3⁴A = 121A﹐∴k = 121﹒

8.設矩陣 A = [aij]3 × 2﹐其中 aij = i² + ij + 2﹐求矩陣 A = ____________﹒

解答

4 5 8 10 14 17

 

 

 

解析

4 5 8 10 14 17 A

 

 

=  

 

 

﹒

9.設 A =

1 1

2 2

1 1

2 2

 − 

 

 

﹐B =

3 1

2 2

1 3

2 2

 

 

− 

 

﹐則 A⁵⁴ − A¹²⁴B⁵⁴ + 2B¹⁴¹ = ____________﹒

解答 1 1

1 1

− −

 

 − 

 

解析 A =

cos sin

4 4

sin cos

4 4

π π

 − 

 

 

﹐B =

cos sin

6 6

sin cos

6 6

π π

 

 

− 

 

 

﹐提示:π = °90

A⁵⁴ − A¹²⁴B⁵⁴ + 2B¹⁴¹

=

27 27 47 47

cos sin cos sin

cos 31 sin 31 cos 9 sin 9

2 2 2 2 2

27 27 sin 31 cos 31 sin 9 cos 9 47 47

sin cos sin cos

2 2 2 2

π π π π

π π π π π π π π

 −   

   −     

− +

     −   

  − 

   

   

= 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1

2 2

1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1

− − − − − −

               

− + = − + =

−   −   −    −       − 

               ﹒

(15)

10.設 A =

1 3

2 2

3 1

2 2

 

 − 

 

 

﹐求 A¹⁹² − 3A⁴⁵ + 2I2 = ____________﹒

解答 6 0 0 6

 

 

 

解析 A = cos 60 sin 60 ⁶ cos 360 sin 360 1 0 ₂ sin 60° −cos 60° A sin 360° −cos 360° 0 1 I

     

⇒ = = =

 ° °  ° °  

      ﹐

∴A¹⁹² − 3A⁴⁵ + 2I2 = I2 − 3A³ + 2I2 = 3 1 0 1 0 6 0

0 1 3 0 1 0 6

  −   

− =

   −   

     ﹒

11.設 A =1 3 1

2 1 3

 − 

 

 ﹐求(1)A¹⁰⁰ = ____________﹒(2)使 Aⁿ = I2的最小自然數 n 為____________﹒

解答 (1)

1 3

2 2

3 1

2 2

 

− −

 

 − 

 

;(2)12

解析 (1)A =

3 1

cos sin

3 1

1 2 2 6 6

2 1 3 1 3 sin cos

6 6

2 2

π π

 −   − 

   

 − = =  

 

   

 

      

﹐

A¹⁰⁰ =

100

cos sin cos(100 ) sin(100 )

6 6 6 6

sin cos sin(100 ) cos(100 )

6 6 6 6

π π π π

 −   × − × 

   

  = 

   × × 

   

   

=

2 2 1 3

cos sin

3 3 2 2

2 2 3 1

sin cos

3 3 2 2

π π

 

 −  − − 

 

 =

 

 − 

 

   

﹒

(2)Aⁿ =

cos sin cos 1

1 0

6 6 6

0 1

sin cos sin 0

6 6 6

n n n

π π π



 −   =

  = ⇒

    

     =

  

  

∴ 6

nπ _{= 2k}π ⇒ n = 12k（k 為自然數）﹐取 k = 1 時﹐所求的最小自然數為 12﹒

12.設 1 4 5 4 2 0

A  − 

=  

 ﹐ 1 2 3

2 4 6

B  − − 

= − − ﹐若 5X − A + B = 2A + 3X﹐求 X = ____________﹒

解答 1 5 9

7 5 3

 − 

 − 

 

解析 5X − A + B = 2A + 3X ⇒ 2X = 3A − B

(16)

1 4 5 1 2 3 1 5 9

3 1 3 1

4 2 0 2 4 6 7 5 3

2 2 2 2

X A B  −   − −   − 

⇒ = − =  − − −   = − ﹒

13.

1 1 1 0 1 1 0 0 1 A

 

 

=  

 

 

﹐求 A⁵⁰ = ____________﹒

解答

1 50 1275 0 1 50

0 0 1

 

 

 

解析

1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 A

     

     

=  =  + 

     

     

令

0 1 1 0 0 1 0 0 0 B

 

 

=  

 

 

∴ ²

0 0 1 0 0 0 0 0 0 B

 

 

=  

 

 

﹐ ³

0 0 0 0 0 0 0 0 0 B

 

 

=  

 

 

∴A⁵⁰= +(I B)⁵⁰=C⁵⁰₀ I+C₁⁵⁰B+C⁵⁰₂ B²

1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 50 1275

0 1 0 50 0 0 1 1225 0 0 0 0 1 50

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

       

       

= +  +   = 

       

       

﹒

14.設 A =[a_ij]_{6 6}_× ﹐且 aij = , 0,

, i i j

i j j i j

 <

 =

 >

 　　

﹐則 A 之各元總和為____________﹒

解答 70

解析依題意可知 A =

0 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 1 2 0 3 3 3 1 2 3 0 4 4 1 2 3 4 0 5 1 2 3 4 5 0

 

 

 

﹐

故 A 之各元總和為 2 × (1 × 5 + 2 × 4 + 3 × 3 + 4 × 2 + 5 × 1) = 70﹒

15.若矩陣 A﹐B 滿足 3A + 2B = 2 0 1 1 2 3

 

 

 ﹐2A + B = 1 0 1 1 1 2

 − 

− 

 ﹐

則(1)A = ____________，(2)B = ____________﹒

解答 (1) 0 0 3 3 0 1

 − 

− 

 ;(2) 1 0 5 5 1 0

 

 

 

解析設 X = 2 0 1 1 2 3

 

 

 ﹐Y = 1 0 1 1 1 2

 − 

− 

 ﹐⇒ 3 2 2

2 2 3

A B X A X Y

A B Y B X Y

+ = = − +

 

 + = ⇒ = −

  ﹐

故 A = 2 0 1 1 0 1 0 0 3

1 2 3 2 1 1 2 3 0 1

− −

     

− + −   = − ﹐

B = 2 0 1 1 0 1 1 0 5

2 3

1 2 3 1 1 2 5 1 0

   −   

− =

  −   

     ﹒

(17)

16.若矩陣 A﹐B 滿足 A + B = 3 4 1 1

 

− 

 ﹐A − B = 1 2 3 1

 − 

 

 ﹐求 A² − B² = ____________﹒

解答 10 0 5 8

 

 

  解析 A =1

2( 3 4 1 1

 

− 

 + 1 2 3 1

 − 

 

 ) =1 2

4 2 2 2

 

 

 = 2 1 1 1

 

 

 ﹐ B =1

2( 3 4 1 1

 

− 

 − 1 2 3 1

 − 

 

 ) =1 2

2 6 4 0

 

− 

 = 1 3 2 0

 

− 

 ﹐ 故 A² − B² = 2 1

1 1

 

 

 

2 1 1 1

 

 

 − 1 3 2 0

 

− 

 

1 3 2 0

 

− 

 = 5 3 5 3 10 0

3 2 2 6 5 8

  −   

− =

  − −   

     ﹒

17.ω為 x³ − 1 = 0 的一虛根﹐且 A1 = 0 0

0 0

ω ω

ω

 

 

 

﹐A2 =

2 2 2

0 0

0 0 0 0 ω

ω ω

 

 

 

﹐A3=

1 0 0 0 1 0 0 0 1

 

 

 

﹐則

ω²A1 + ωA2 − A3 = ____________﹒

解答

1 1 1

− 

 − 

 

 − 

 

解析 ω²A1 + ωA2 − A3=

3 3

0 0 0 0 1 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 1 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

ω ω

      − 

  +  −  = − 

       

        − 

   

﹒

18.設 A = sin 28 cos 28 cos 28 sin 28

° °

 

− ° °

 ﹐B = sin17 cos17

cos17 sin17

° °

 

− ° °

 ﹐試求﹕(1)AB = ________﹒(2)(AB)¹⁰ = _________﹒

解答 (1)

2 2

 

− 

 

− −

 

 

;(2) 0 1 1 0

 − 

 

 

解析 (1)AB = sin 28 cos 28 cos 28 sin 28

° °

 

− ° °

 

sin17 cos17 cos17 sin17

° °

 

− ° °

 

sin 28 sin17 cos 28 cos17 sin 28 cos17 cos 28 sin17 sin17 cos 28 cos17 sin 28 cos 28 cos17 sin 28 sin17

° ° − ° ° ° ° + ° °

 

= − ° ° − ° ° − ° ° + ° °

cos 45 sin 45 sin 45 cos 45

− ° °

 

=− ° − °=

2 2

 

− 

 

− −

 

 

﹒

(2)AB =

2 2

 

− 

 

− −

 

 

cos 225 sin 225 sin 225 cos 225

° − °

 

=  ° °﹒

故(AB)¹⁰ cos(10 225 ) sin(10 225 ) sin(10 225 ) cos(10 225 )

× ° − × °

 

=  × ° × ° ﹐又 2250° = 360° × 6 + 90°﹐

(18)

故(AB)¹⁰ cos 90 sin 90 sin 90 cos 90

° − °

 

=  ° °

0 1 1 0

 − 

=  

 ﹒

19.設 A﹑B 均為二階方陣﹐且 2 2

2 5

A B  

+ =  

 ﹐ 0 2

4 3

A B  

− =  

 ﹐則 A² − B² = ____________﹒

解答 6 10 17 21

 

 

 

解析 2 2 0 2 2 4 1 2

2 ( ) ( )

2 5 4 3 6 8 3 4

A A B A B       A  

= + + − =  +  = ⇒ = 

       ﹐

代回 2 2

2 5

A B  

+ =  

 ⇒ 1 0

B  1 1

= − ﹐ ² 7 10 15 22

A  

=  

 ﹐ ² 1 0

2 1

B  

= − ﹐

則 ² ² 6 10

17 21

A B  

− =  

 ﹒ 20.設 A = a b

b a

 − 

 

 ﹐求 A² − 2aA + (a² + b²)I2 = ____________﹒

解答 0 0 0 0

 

 

 

解析 A² = ² ²

2 2

a b a b a b ab

b a b a ab a b

− −  − − 

   

=  

    −

     ﹐

A² − 2aA + (a² + b²)I = ² ² ² ² ²

2 2 2 2 2

2 2 2 0

a b ab a ab a b

ab a b ab a a b

 − −   −   + 

− +

 −     + 

     

=

2 2 2 2 2

0 0

2 2 2

0 0

2 2 2

a b a a b ab ab

ab ab a b a a b

 − − + + − +   

 − − − + +  = 

  ﹒

1.設 2 3

1 1

A  

=  

 ﹐ 2 3

B  1 3

= − ﹐若 AX = B﹐則二階方陣 X = ____________﹒

解答 5 6

4 3

− 

 − 

 

解析 AX = B ⇒ X = A^{− 1}B﹐

又 2 3

1 1

A  

=  

  ⇒ ¹ 1 1 3 1 1 3 1 3

1 2 1 2 1 2

det 1

A A

−  −   −  − 

= − =− −   = − ﹐

∴ 1 3 2 3 5 6

1 2 1 3 4 3

X −    − 

= −   −   = − ﹒

2.已知二階方陣 1 5

2 3

A  

=  

 有反方陣﹐求 A 的反方陣為____________﹒

解答

3 5 7 7

2 1

7 7

− 

 

 − 

 

 

解析設 A 的反方陣 ¹ a b

A c d

−  

=  

 