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基本能力題

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Academic year: 2022

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(1)

3-1

A 基本能力題

1. 設 x>0,y>0,x+2y=3,求 xy 的最大值,又此時 x,y 之值是多少?

解:由算幾不等式知 x+2y

2 ≥ x.2y ,即3

2 ≥ 2xy ,故 xy < 9 8 。

xy的最大值是9

8 。此時,x=2y=

3

2 ,得 x=

3 2 ,y=

3 4 。

2. 一條繩子長 60 公尺,沿筆直的河邊圍成一個長方形,河邊不必使用繩

子,問這條繩子圍成的長方形最大面積是多少?

解:設長方形平行河岸的一邊長 x 公尺,垂直河岸的一邊長 y 公尺,

則 x+2y=60,由算幾不等式, x+2y

2 ≥ x.2y , 即 30 ≥ 2xy ,故 xy <– 450。xy 的最大值是 450。

即圍成的長方形最大面積是 450 平方公尺。

3. 已知 a,b,c 均為正實數,且 a+b+c=1,試求:

(1) a2+b2+c2的最小值。 (2) 1 a +

1 b +

1

c 的最小值。

解:(1) 柯西不等式(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a.1+b.1+c.1)2

即(a2+b2+c2).3 ≥(a+b+c)2=1,故 a2+b2+c2 ≥ 1 3 。

所以 a2+b2+c2的最小值是1 3 。

(2)

(2) 柯西不等式

〔( 1

a 2+( 1

b 2+( 1

c 2〕〔( a )2+( b )2+( c )2

≥( 1

a . a + 1

b . b + 1

c . c )2

即(1 a +

1 b +

1

c )(a+b+c)≥ 32, 1

a + 1 b +

1

c ≥ 9,得 1 a +

1 b +

1

c 的最小值是 9。

4. 設 x,y,z 為實數,且 x+2y+z=6,求 x2+y2+z2的最小值,又此時

x,y,z 之值各是多少?

解:柯西不等式(x2+y2+z2)(12+22+12)≥(x+2y+z)2即(x2+y2+z2).6 ≥ 36,故 x2+y2+z2 ≥ 6。

此時, x 1 =

y 2 =

z

1 =k,即 x=k,y=2k,z=k。

代入 x+2y+z=6,得 6k=6,故 k=1。x=1,y=2,z=1。

x2+y2+z2的最小值是 6。

5. 設 a,b,c 為實數,且 a+b+c=0,試證:2a+2b+2c

3。

證明:算幾不等式 2a+2b+2c

3 ≥ 3 2a.2b.2c

即 2a+2b+2c ≥ 3 3 2a+b+c=3.1=3。

(3)

B 挑戰題

1. 設 x,y 均為正數,且 xy3=16,求 x+3y 的最小值,又此時 x,y 之值各

是多少?

解:算幾不等式 x+y+y+y

4 4 x.y3

即 x+3y ≥ 4 4 16 =8,x+3y 的最小值是 8。此時 x=y=2。

2. 關於下面的題目:設 a,b 為正數,求 ( a+1

a ) ( 9

a +b ) 的最小值。

阿榮的解法是:

由算幾不等式知

a+1

b ≥2 a.1

b =2 a b ;

9

a +b ≥2 9

a .b=2

9b a , 所以 ( a+1

b ) ( 9

a +b ) ≥( 2 a

b ) ( 2

9b

a )=4.3=12。

於是阿榮回答:( a+1

b ) ( 9

a +b ) 的最小值是 12。

阿財的解法是:

由柯西不等式知

( a+1 b ) (

9

a +b )=〔( a )2+( 1

b )2〕〔( 3

a )2+( b )2〕 ≥( 3+1 )2=16。

(4)

於是阿財回答:( a+1 b ) (

9

a +b ) 的最小值是 16。

你認為誰的答案是正確的,為什麼?

解:阿財的答案是正確的。

就阿榮的解法而言,

當(a+1 b )(

9

a +b)=12 時,則 a=

1 b 且

9

a =b,得 ab=1 且 ab=9,矛盾。

就阿財的解法而言,

當(a+1 b )(

9

a +b)=16 時,則 a 3 a

1 b b ,即a

3 = 1

b ,得 ab=3。

即若 ab=3,則(a+1 b )(

9

a +b)有最小值 16。

3. 某奶粉工廠欲訂購一批體積固定的圓柱體鐵罐,問應如何設計才最節省

材料?

解:設圓柱體鐵罐的底面半徑是 r,高是 h,

則體積 V=πr2h,表面積 S=2πr2+2πrh=2πr2+πrh+πrh。

由算幾不等式知 2πr2+πrh+πrh

3 3 2πr2+πrh+πrh =33r 4h2

3 2π(πr h23 2πV 2

當 2πr2=πrh 時,表面積 S 最小值為 3 3 2πV 2

(5)

即當 r=h

2 (半徑為高的一半),最節省材料。

4. 試證:周長為定值的三角形中,以正三角形的面積最大。

提示:設三角形三邊長為 a,b,c,且 s=1

2 ( a+b+c ),則其面積為

s ( s-a ) ( s-b ) ( s-c ) ,考慮 s-a,s-b,s-c 三數的算幾不等式。〕 證明:設三角形三邊長分別為 a,b,c,且 s=1

2 ( a+b+c ),

由海龍公式知,此三角形的面積為 s ( s-a ) ( s-b ) ( s-c ) 。

由算幾不等式知( ) ( ) ( ) 3

s a    s b s c

3 (s-a)(s-b)(s-c),

3 1

( 3 [ ] [ ] )

2 2

s a b c    a b c     a b c a b c 

s 3 ≥

3 (s-a)(s-b)(s-c),

s3

27 ≥(s-a)(s-b)(s-c),

故 s ( s-a ) ( s-b ) ( s-c ) <– s2 3 3 ,

當此三角形面積最大時,s-a=s-b=s-c,即 a=b=c,即正三角形。

(6)

3-2

A 基本能力題

1. 試解下列各多項式不等式:

(1) x2-13x-30 ≤ 0。

(2) ( x-1 ) ( 2x+1 ) ( x-2 )>0。

(3) ( x-3 ) ( 2x2-x+1 ) ( 2x2-x-1 ) ≤ 0。

(4) x3-6x2+11x-6>0。

解:(1) x2-13x-30 ≤ 0,

(x+2)(x-15)≤ 0,-2≤ x≤ 15。

(2)(x-1)(2x+1)(x-2)>0

-1

2 <x<1 或 x>2。

(3) 由於 2x2-x+1=2(x2-1 2 x+

1 16 )+

7

8 =2(x-

1

4 )2+7

8 >0 恆成立,

(x-3)(2x2-x+1)(2x2-x-1)≤ 0,

(x-3)(2x2-x-1)≤ 0,

(x-3)(2x+1)(x-1)≤ 0,

x ≤-1

2 或 1 ≤ x ≤ 3。

(7)

(4) x3-6x2+11x-6>0,

(x-1)(x-2)(x-3)>0,

1<x<2 或 x>3。

2. 試解下列各分式不等式:

(1) 4x+1

3x-2 ≤ 1。 (2) 1

x <x。

解:(1) 4x+1

3x-2 ≤ 1,4x+1

3x-2 -1 ≤ 0, x+3 3x-2 ≤ 0

(x+3)(3x-2)≤ 0,但 3x-2≠0,故-3 ≤ x<2 3 。

(2) 1 x <x,

1

x -x<0,

x2-1 x >0

即 x(x2-1)>0,x(x+1)(x-1)>0,故得-1<x<0 或 x>1。

3. 試解下列各根式不等式:

(1) 3x+1 < 3-2x 。 (2) x2+3x-4 >x+1。

解: (1) 3x+1 < 3-2x ,

 

3x+1 ≥ 0,

3-2x>0,

3-2x>3x+1。

 



x ≥ 3 ,1

x<3 2 , x<2

5 。 取共同部分得其解為-1

3 ≤ x<

2 5 。

1 6 11 6 1 5 61

1 5 6 0 2 6 2 1 3 0

  

  

  

 

 

(8)

(2) x2+3x-4 >x+1,

( i )



x2+3x-4 ≥ 0,

x+1<0



( x+4 ) ( x-1 )≥ 7,

x+1<0 ,解得



x ≤-4或 x ≥ 1,

x<-1 取共同部分得 x ≤-4。

(ii)

 



x2+3x-4>0,

x+1 ≥ 0,

x2+3x-4 >x+1

  

( x+4 ) ( x-1 )0,

x ≥-1,

x>5

  

x<-4或 x>1,

x ≥ -1,

x>5。

取共同部分得 x>5。

由( i )(ii)知原不等式的解為 x ≤-4 或 x>5。

4. 設 f (x)=-2x2+4x-1,

(1) 若 x 為任意實數,求 f (x) 的極值。

(2) 若 2 ≤ x ≤ 4,求 f (x) 的極值。

解: f (x)=-2x2+4x-1=-2(x2-2x+1)+1=-2(x-1)2+1,

(1) 若 x 為任意實數,則當 x=1 時,f (x)有最大值 1;而 f (x)沒有最小值。

(2) 若 2 ≤ x ≤ 4,

當 x=2 時,f (x)有最大值-1,

當 x=4 時,f (x)有最小值-17。

5. 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f (t)=-t2+10t+11,其中 1 ≤ t ≤ 10,則這段時間內該地區最大溫差是多少。

(9)

解: f (t)=-t2+10t+11=-(t-5)2+36,

因 1 ≤ t ≤ 10,

當 t=5 時,f (t)有最大值 36,

當 t=10 時,f (t)有最小值 11。

故最大溫差是 36-11=25。

6. 求函數 f (x)=| x+1 |+| 2x-3 |+| x-2 |的極值。

解:f (x)=|x+1|+|2x-3|+|x-2|,

列出-3

2 ,-1,

3 2 ,2,

5

2 的函數值如下:

將(-3

2 , 10),(-1 , 8),(

3

2 , 3),(2 , 4),(

5 2 , 6)

各點,每相鄰兩點用線段連接,即得

f (x)=|x+1|+|2x-3|+|x-2|的折線圖形(如右圖)。

由圖形知 f (x)的最小值是 3,但沒有最大值。

7. 若坐標平面上兩點 A ( 2 ,-1 ) 與 B ( 3 , 4 ) 在直線 kx+y-5=0 的反側,

求 k 的範圍。

解:因 A(2 ,-1)與 B(3 , 4)兩點在直線 kx+y-5=0 的反側,

故(2k-1-5)(3k+4-5)<0,即(2k-6)(3k-1)<0,得1

3 <k<3。

x -3

2 -1 3

2 2 5 2

f (x) 10 8 3 4 6

(10)

8. 試圖解二元一次聯立不等式

 



x+2y ≤ 8,5x+4y ≤ 20,

x

0,

y

0

,並求此區域的面積。

解:



 

x+2y ≤ 8,5x+4y ≤ 20,

x ≥ 0y ≥ 0

圖解如右四邊形區域(含邊界):

此四邊形區域的面積為1 2

0 0 4 4 0 3 4 0 0 10 4

3

絕對值= 28 3 。

9. 如右圖,設 A ( 1 , 2 ),B ( 3 ,-2 ),C ( -3 , 0 ),

試以二元一次聯立不等式表示△ABC 的內部區域

( 含邊界 )。

解:直線 AB 的方程式為 y-2=-2(x-1),2x+y-4=0,

直線 BC 的方程式為 y-0=-1

3 (x+3),x+3y+3=0,

直線 CA 的方程式為 y-0=1

2 (x+3),x-2y+3=0,

由圖形知△ABC 內部區域(含邊界)為

 

2x+y-4 ≤ 0,

x+3y+3 ≥ 0,

x-2y+3 ≥ 0。

(11)

B 挑戰題

1. 設α,β是實係數二次方程式 x2-( k+2 ) x+( k2-k+2 )=0 的兩個實根,

求:(1) k 值的範圍。 (2)α2+β2的最大值與最小值。

解:(1)  ( k+2 )2-4 ( k2-k+2 ) ≥ 0,

3k2-8k+4 ≤ 0,( 3k-2 ) ( k-2 ) ≤ 0,2

3 ≤ k ≤ 2。

(2) 根與係數 α+β=k+2,αβ=k2-k+2,

故α2+β2=(α+β)2-2αβ=( k+2 )2-2 ( k2-k+2 )

=-k2+6k=-(k2-6k+9)+9

=-(k-3)2+9。

當 k=2 時,α2+β2最大值是 8。

當 k=2

3 時,α2+β2最小值是 32 9 。

2. 求函數 f (x)=2 ( 4x+4-x )-5 ( 2x+2-x ) 的最小值。

解:設 2x+2-x=t, 2 2

2 2 1 2

x x

x x

     ,則 t ≥ 2。

且4x(2 )2 x 22x (2 )x 2t2 故 f (x)=2(4x+4-x)-5(2x+2-x

=2〔(2x+2-x2-2〕-5(2x+2-x

=2t2-5t-4=2(t-5

4 )2- 57 8 。 當 t=2(即 x=0)時,f (x)有最小值-6。

(12)

3. 設 x,y 為實數,且滿足 x2+4y2=4,試求 2x2+5y2+6y+1 的極值。

解:由 x2+4y2=4 得 x2=4-4y2

故 2x2+5y2+6y+1=2(4-4y2)+5y2+6y+1=-3y2+6y+9

=-3(y2-2y+1)+12=-3(y-1)2+12。

由 x2+4y2=4 0 y2 1,-1 ≤ y ≤ 1。

故當 y=1 時,2x2+5y2+6y+1 的最大值是 12。

當 y=-1 時,2x2+5y2+6y+1 的最小值是 0。

4. 設 x-1,x,x+1 構成一鈍角三角形的三邊長,求 x 的範圍。

解:( i ) 三角形三邊長為正數,故

 

x-1>0,

x>0,

x+1>0。

即 x>1。

( ii ) 三角形任兩邊長之和必大於第三邊長,故 x-1+x>x+1,即 x>2。

(iii) 此三角形為鈍角三角形,

故(x+1)2>x2+(x-1)2,即 x2-4x<0,x(x-4)<0 得 0<x<4。

取( i ) ( ii ) (iii)共同部分得 2<x<4。

(13)

3-3

A 基本能力題

1. 試在條件



 

x y ≤ 4,

2,

x-y ≤ 2,

x+2y

8

的限制下,求 x+y 的最大值與最小值。

解:畫出

 

x ≥ 2,y ≤ 4,

x-y ≤ 2,

x+2y ≥ 8

的可行解區域如右:

比較可行解區域頂點的目標函數值:

故 x+y 的最大值是 10,最小值是 5。

2. 試在條件



 

2 ≤ x+y ≤ 7,

-4 ≤ 3x-2y ≤ 6的限制下,求 2x+5y+1 的最大值與最小值。

解:畫出



2 ≤ x+y ≤ 7,

-4 ≤ 3x-2y ≤ 6 的可行解區域如右:

比較可行解區域頂點的目標函數值:

故 2x+5y+1 的最大值是 30,最小值是 5。

(x , y) (2 , 3) (4 , 2) (6 , 4) (2 , 4)

x+y 5 6 10 6

(x , y) (0 , 2) (2 , 0) (4 , 3) (2 , 5)

2x+5y+1 11 5 24 30

(14)

3. 有位農夫計畫種植小麥和玉米兩種農作物,他想要獲得最大的收益,依

照過去的經驗:每公畝的小麥可以獲得 5000 元的收益,每公畝的玉米可

以獲得 4500 元的收益,但每公畝的小麥需要 12 小時的農耕,每公畝的

玉米需要 10 小時的農耕,而這位農夫現在有 80 公畝的土地和 900 小時

的工作時間,由於土壤的特性和輪耕的制度,他決定今年至少要種 24 公

畝的小麥。請問此農夫應該種多少公畝的小麥和多少公畝的玉米,才能

獲得最多的收益?又收益最多為多少?

解:設種 x 公畝的小麥,y 公畝的玉米,

總收益為 P=5000x+4500y(元)。

依題意列出聯立不等式為

 

x ≥ 24,y ≥ 0

x+y ≤ 80,

12x+10y ≤ 900。

其可行解區域如右:

比較可行解區域頂點的目標函數值:

所以 x=50,y=30 時,P 有最大值 385000,

即此農夫應該種 50 公畝的小麥,30 公畝的玉米,才能獲得最多的收益;

又收益最多為 385000 元。

(x , y) (24 , 56) (24 , 0) (75 , 0) (50 , 30)

P=5000x+4500y 372000 120000 375000 385000

(15)

4. 夏日育樂公司能製造木製搖搖椅和野餐桌,每張搖搖椅需要 3 公尺的木

頭和 4 小時的工時;野餐桌需要 5 公尺的木頭和 3 小時的工時。現在公

司擁有 105 公尺的木頭和每星期 96 小時的工時,而每張搖搖椅可獲利潤

700 元,每張野餐桌可獲利潤 600 元;由於競爭激烈,每星期至少要生 產 10 張搖搖椅,8 張野餐桌。請問:每星期要製造多少張搖搖椅和多少

張野餐桌,才能獲得最多的利潤?又最多利潤是多少?

解:設製造 x 張搖搖椅,y 張野餐桌,總利潤為 P=700x+600y 元。

依題意聯立不等式為

 

x ≥ 10y ≥ 8

3x+5y ≤ 105,

4x+3y ≤ 96。

其可行解區域如右:

依題意知 x,y 必須為整數,可行解區域 頂點皆為格子點,比較各頂點的目標函數值:

x=15,y=12 時,P 有最大值 17700。

即每星期製造 15 張搖搖椅,12 張野餐桌,利潤最多;最多 17700 元。

(x , y) (10 , 8) (18 , 8) (15 , 12) (10 , 15)

P=700x+600y 11800 17400 17700 16000

(16)

5. 超強電子公司在甲地和乙地生產電腦螢幕,在甲地製造的每台可獲利

2000元,運費需要 50 元;在乙地製造的每台可獲利 1800 元,運費需要

60元,甲地每星期至多生產 30 台,乙地每星期至多生產 40 台。現在公 司接獲訂單,每星期至少需要運送 50 台螢幕,若在運費不得超過 3600

元的條件下,甲、乙兩地各需運送多少台,公司獲利最多?又最多獲利

是多少?

解:設從甲地運送 x 台,從乙地運送 y 台,獲利 P=2000x+1800y 元。

依題意聯立不等式為

 

0 ≤ x ≤ 300 ≤ y ≤ 40

x+y ≥ 50,

50x+60y ≤ 3600。

其可行解區域如右:

依題意知 x,y 必須為整數,可行解區域 頂點皆為格子點,比較各頂點的目標函數值:

x=30,y=35 時,P 有最大值 123000。

即從甲地運送 30 台,從乙地運送 35 台,公司獲利最多;最多 123000 元。

(x , y) (10 , 40) (30 , 20) (30 , 35) (24 , 40)

P=2000x+1800y 92000 96000 123000 120000

(17)

6. 大盛紙業有限公司有兩家工廠,第一廠生產 A4 紙張 40 噸,第二廠生產

A4 紙張 50 噸。今該公司自甲、乙兩家經銷商接獲訂單,甲經銷商申購

A4紙張 30 噸,乙經銷商申購 A4 紙張 40 噸。如果自第一、二廠運送 A4 紙張至甲、乙兩家經銷商每噸的運費如下表所示:

請你 ( 妳 ) 幫該公司找出最佳方法 ( 運費最低 ),以分配兩廠將 A4 紙

張運至甲、乙兩經銷商。

解:設第一廠運送 x 噸到甲經銷商,運送 y 噸到乙經銷商,

則第二廠運送(30-x)噸到甲經銷商,運送(40-y)噸到乙經銷商,

運費 P=10x+14y+12(30-x)+15(40-y)

=-2x-y+960,

依題意列出聯立不等式為

 

0 ≤ x ≤ 30,

0 ≤ y ≤ 40,

x+y ≤ 40,

( 30-x )+( 40-y ) ≤ 50。

 

0 ≤ x ≤ 30,

0 ≤ y ≤ 40,

x+y ≤ 40,

x+y ≥ 20。

其可行解區域如右:

比較可行解頂點的目標函數值:

甲經銷商 乙經銷商 第一廠 10 元 14 元 第二廠 12 元 15 元

(x , y) (20 , 0) (30 , 0) (30 , 10) (0 , 40) (0 , 20)

P=-2x-y+960 920 900 890 920 940

(18)

x=30,y=10 時,P 有最小值 890,

即第一廠運送 30 噸到甲經銷商,運送 10 噸到乙經銷商;

第二廠運送 30 噸到乙經銷商,所需運費最低。

B 挑戰題

1. 已知聯立不等式



 

0 ≤ x ≤7,0 ≤ y ≤ 4,

x+y ≤ 9,

4x+5y

≥ 3

0。

若 x,y 均為整數,求

(1) 滿足此聯立不等式的 ( x , y ) 共有多少組解?

(2) P=5x+8y 的最小值。

解:(1)



 

0 ≤ x ≤7,0 ≤ y ≤ 4,

x+y ≤ 9,

4x+5y ≥ 30,

x,yZ

的圖解為右圖區域的格子點:

由 0 ≤ x+y ≤ 9 與 4x+5y ≥ 30,得 6-4

5 x ≤ y ≤ 9-x,

又 0 ≤ x ≤ 7,0 ≤ y ≤ 4。故 x,y 之整數解列表如下:

所以滿足此聯立不等式的(x , y)共有 10 組。

(2) 比較右列各組(x , y)的函數值 即可知 P=5x+8y 的最小值是 41。

x 3 4 5 6 7

y 4 3,4 2,3,4 2,3 1,2

(x , y) (4 , 3) (5 , 2) (7 , 1)

P=5x+8y 44 41 43

(19)

2. 設一線性規畫的可行解區域如右圖所示之

正六邊形內部 ( 含邊界 ),而目標函數為

y-ax;若已知 A 點為此目標函數取得最大

值之唯一的點,則 a 值的範圍要有限制,

若以不等式表示,求 a 之範圍。

解:AB̅̅̅ 的斜率為 0,AC̅̅̅ 的斜率為 tan120°=- 3 , 所以目標函數 P=y-ax 的斜率 a 必須滿足

- 3 <a<0,才能使得 A 點為此目標函數取得最大值的唯一點。

3. 為預防禽流感,營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少 84 單位

的營養素 A,至少 72 單位的營養素 B,至少 60 單位的營養素 C 給他的雞

群。這三種營養素可由兩種飼料中獲得,且知第一種飼料每公斤售價 5 元

並含有 7 單位的營養素 A,3 單位的營養素 B 與 3 單位的營養素 C;第二

種飼料每公斤售價 4 元並含有 2 單位的營養素 A,6 單位的營養素 B 與 2

單位的營養素 C。

(1) 若雞場主人每天使用 x 公斤的第一種飼料與 y 公斤的第二種飼料,

(20)

就能符合營養師吩咐,則除了 x

0,y

0兩個條件外,寫下 x,y 必

須滿足的不等式組。

(2) 若雞場主人想以最少的飼料成本來達到雞群的營養需求,則 x,y 的 值為何?最少的飼料成本又是多少?

解:依題意列出下表:

(1)

  

7x+2y ≥ 84,

x+2y ≥ 24,

3x+2y ≥ 60

(2)

 

7xx+2y ≥ 24,+2y ≥ 84,

3x+2y ≥ 60,

x ≥ 0,y ≥ 0

作圖如右,並解得各交點坐標。

目標函數:f(x , y)=5x+4y。

當 x=18,y=3,最少成本為 102 元。

營養素

飼料 A B C 售價

(元/公斤)

第一種(x 公斤) 7 3 3 5

第二種(y 公斤) 2 6 2 4

(x , y) (0 , 42) (6 , 21) (18 , 3) (24 , 0)

5x+4y 168 114 102 120

(21)

CHAP 3

A 基本能力題

1. 設 x,y,z 均為正數,且 3x+2y+z=6,求 xyz 的最大值,又此時 x,

y,z 之值各為何?

解:算幾不等式 3x+2y+z

3 ≥ 3 (3x)(2y)z ,

故6 3 ≥

3 6xyz ,6xyz <– 8,即 xyz <– 4

3 ,所以 xyz 的最大值是 4 3 。

此時 3x=2y=z=2,即 x=2

3 ,y=1,z=2。

2. 設 x,y,z 均為實數,且 2x+2y+z=6,求 x2+y2+z2的最小值,又此時 x,y,z 之值各為何?

解:柯西不等式(x2+y2+z2)(22+22+12)≥(2x+2y+z)2故 9(x2+y2+z2)≥ 36,即 x2+y2+z2 ≥ 4,

x2+y2+z2的最小值是 4。

此時x 2 =

y 2 =

z

1 ,令其比值為 k,

則 x=2k,y=2k,z=k,代入 2x+2y+z=6,得 9k=6,即 k=2 3 ,

於是 x=4 3 ,y=

4 3 ,z=

2 3 。

(22)

3. 證明下列各式:

(1) log37+log73>2。

(2) 若 a,b,c 為正數,則 ( a+b+c ) ( 1 a +

1 b +

1

c )

9。

證明:(1) 算幾不等式 log37+log73

2 > (log37)(log73)=1(log37≠log73),

故 log37+log73>2。

(2) 柯西不等式(a+b+c)(1 a +

1 b +

1 c )

=〔( a )2+( b )2+( c )2〕〔( 1

a 2+( 1

b 2+( 1

c 2

( a . 1

a + b . 1

b + c . 1 c 2

=(1+1+1)2=9。

4. 解下列各不等式:

(1) x3+26x

3 ( 3x2+8 )。

(2) 1

x+5

1

x2+x+1 。 解:(1) x3+26x ≥ 3(3x2+8),

x3-9x2+26x-24 ≥ 0,

(x-2)(x-3)(x-4)≥ 0,

2 ≤ x ≤ 3或 x ≥ 4。

1 -9 +26 -24 2 2 -14 +24 1 -7 +12 0 3 -12 3 1 -4 0

(23)

(2) 1

x+5 ≥ 1

x2+x+1 移項通分

(x2+x+1)-(x+5)

(x+5)(x2+x+1) ≥ 0,

x2-4

(x+5)(x2+x+1) ≥ 0, ( x+2 ) ( x-2 )

(x+5) ≥ 0 (因 x2+x+1>0 恆成立?),

(x+2)(x-2)(x+5)≥ 0,x≠-5,得-5<x ≤-2 或 x ≥ 2。

5. 設 f (x)=2x2-3x+1。

(1) 若 x 為任意實數,求 f (x) 的最小值。

(2) 若| x | ≤ 1,求 f (x) 的最大值與最小值。

解:f (x)=2x2-3x+1=2(x- 3

4 )2- 1 8 ,

(1) 若 x 為任意實數,當 x= 3

4 時,f (x)有最小值-

1 8 。 (2) 當|x|≤ 1,即-1 ≤ x ≤ 1,

當 x=-1 時,f (x)有最大值 6。

當 x= 3

4 時,f (x)有最小值-

1 8 。

(24)

6. 已知 A ( 2 , 1 ),B ( 2 , 6 ),C ( 5 , 3 ),D ( 5 , 0 ) 為坐標平面上的四點。

(1) 試以二元一次聯立不等式表示四邊形 ABCD 的區域 ( 含邊界 )。

(2) 試求四邊形 ABCD 面積。

(3) 若 P ( x , y ) 為四邊形 ABCD 區域的任一點,求 2x+y+3 的最大值

與最小值。

解:(1) 直線 AB 的方程式為 x=2;

直線 BC 的方程式為 y-6=-(x-2),即 x+y-8=0;

直線 CD 的方程式為 x=5;

直線 DA 的方程式為 y=- 1

3 (x-5),即 x+3y-5=0。

由右圖知,四邊形 ABCD 的區域(含邊界)

聯立不等式:

 

x ≥ 2,x+y ≤ 8,

x ≤ 5,

x+3y ≥ 5。

(2) 四邊形 ABCD 的面積為 1

2

2 5 5 2 2

1 0 3 6 1 絕對值=12。

(3)

故 2x+y+3 的最大值是 16,最小值是 8。

(x , y) (2 , 1) (2 , 6) (5 , 3) (5 , 0)

2x+y+3 8 13 16 13

(25)

7. 設 A ( 4 , 4 ),B ( 2 , 1 ) 為 xy 平面上兩點,而直線 y=ax+b 與線段AB̅̅̅

相交。作一圖,以 a 為橫坐標,b 為縱坐標,將數對 ( a , b ) 的範圍表示

出來。

解:因直線 y=ax+b 與 AB̅̅̅ 相交,

故(4a-4+b)(2a-1+b)≤ 0,

得 4a+b-4 ≥ 0,

2a+b-1 ≤ 0。



4a+b-4 ≤ 0,

2a+b-1 ≥ 0。

而滿足上式之點(a , b)所成的圖形如右區域。

B 挑戰題 1. 設 1

p + 1

3q =12,其中 p,q 為正數,試求 3 log1

3

p+log1

3

q 的最大值,又

此時 p,q 之值為何?

解:將 1 p + 1

3q =12 3p 1 3p 1 3p 1 3q 1 =12,

算幾不等式 1 3p +

1 3p +

1 3p +

1 3q

4 ≥ 4 1 3p .

1 3p .

1 3p .

1 3q , 故 12

4 ≥

4 1

34p3q ,得 34 ≥ 1

34p3q ,所以 p3q ≥( 1 3 )8, 取 log log1

3

p3q ≤ log1

3

( 1

3 )8,3 log1

3

p+log1

3

q ≤ 8,

故 3 log1

3

p+log1

3

q的最大值是 8。此時 1 3p =

1

3q =3,即 p=q=

1 9 。

(26)

2. 設 R 表示聯立不等式



 

x+2y-9

0,

3x-2y+5

0,

5x+2y-29 ≤ 0

所圍成的圖形區域,且 P ( x , y )

為區域 R 中的任一點,求:

(1) 2x-3y 的極值。 (2) y+1

x+1 的極值。 (3) x2+y2的極值。

解:

  

x+2y-9 ≥ 0,

3x-2y+5 ≥ 0,

5x+2y-29 ≤ 0

的圖解如右圖:

(1)

故 2x-3y 的最大值是 4,最小值是-15。

(2) y+1

x+1 表示 P(x , y)與 Q(-1 ,-1)

連成的直線的斜率,

故當(x , y)=(1 , 4)時,y+1

x+1 的最大值是 5 2 ;

當(x , y)=(5 , 2)時,y+1

x+1 的最小值是 1 2 。 (3) x2+y2表示 P(x , y)與原點距離的平方。

故當(x , y)=(3 , 7)時,x2+y2的最大值是 58;

而 x2+y2的最小值是原點到直線 x+2y-9=0 的距離的平方,

即(0+0-9)2 12+22 = 81

5 。

(x , y) (1 , 4) (5 , 2) (3 , 7)

2x-3y -10 4 -15

(27)

3. 在條件



 

2x+y x-3y ≤ 6,

-9,

x+2y ≤ 3,

x-y

-6

的限制下,已知 x=-3,y=3 是使目標函數

kx-y+3 取得最小值的最佳解,求 k 的範圍。

解:聯立不等式

 

2x+y ≥ -9,x-3y ≤ 6,

x+2y ≤ 3,

x-y ≥ -6

之圖解區域如右:

其頂點為(-5 , 1),(-3 , 3),

( 21 5 ,-

3

5 ),(-3 ,-3)

因 x=-3,y=3 時,kx-y+3 有最小值。



 

-3k ≤-5k+2,

-3k ≤-3k+6,

-3k ≤ 21k+18 5



k ≤ 1,

k ≥ -1 2 。

得-1

2 ≤ k ≤ 1

4. 某歌唱訓練班根據以往的經驗得知:每花 10 萬元在報章雜誌上替歌手打 廣告可以提升歌手的形象指數 5 點,知名度指數 10 點;反之,若是在電

台上,同樣花 10 萬元替歌手打廣告,則可提升歌手的形象指數 6 點,知

(x , y) (-5 , 1) (-3 , 3), ( 21 5 ,-

3

5 ) (-3 ,-3)

kx-y+3 -5k+2 -3k 21k+18

5 -3k+6

(28)

名度指數 4 點。根據市場調查發現成為名歌星的形象指數至少 160 點,

知名度指數亦至少 160 點,而且綜合指數 ( 形象指數與知名度指數的和 )

至少 360 點。試問:歌唱訓練班要讓一位歌手 ( 假設形象指數與知名度

指數皆為 0 ) 成為名歌星至少應該花多少廣告費?這些廣告費報章雜誌

與電台應各分配多少,效果最好。

解:設廣告費中報章雜誌分配 10x 萬元,電台分配 10y 萬元,

 

5x+6y ≥ 160,

10x+4y ≥ 160,

15x+10y ≥ 360,

x,y ≥ 0

 

5x+6y ≥ 160,

5x+2y ≥ 80,

3x+2y ≥ 72,

x,y ≥ 0 其圖解區域如右:

求目標函數 P=x+y 的最小值

當 x=14,y=15,P 有最小值 29,

即報章雜誌分配 140 萬元,電台分配 150 萬元,花費最少,最少是 290 萬元。

(x , y) (0 , 40) (4 , 30) (14 , 15) (32 , 0)

P=x+y 40 4 29 32

(29)

5. 某公司所生產的產品,存放在甲、乙兩 倉庫分別有 50 單位、40 單位,現在市

場 A、市場 B 分別的需求量是 20 單位、

30單位,下表是各倉庫運輸到各市場的每單位運輸成本:

在滿足 A,B 市場的需求下,最節省的運輸成本是多少?

解:設自甲倉庫運送 x 單位到市場 A,運送 y 單位到市場 B;

則自乙倉庫運送(20-x)單位到市場 A,運送(30-y)單位到市場 B。

依題意得下列聯立不等式:

 

0 ≤ x ≤ 20,

0 ≤ y ≤ 30,

x+y ≤ 50,

( 20-x )+( 30-y ) ≤ 40

 

0 ≤ x ≤ 20,

0 ≤ y ≤ 30,

x+y ≤ 50,

x+y ≥ 10 其可行解區域如右:

而運輸成本為

P=500x+400(20-x)+450y+300(30-y)

=100x+150y+17000(元),

比較可行解區域頂點的目標函數值:

故 P 的最小值是 18000,即最節省的運輸成本是 18000 元。

市場 A 市場 B 倉庫甲 500 元 450 元 倉庫乙 400 元 300 元

(x , y) (10 , 0) (20 , 0) (20 , 30) (0 , 30) (0 , 10)

P=100x+150y+17000 18000 19000 23500 21500 18500

參考文獻

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