2003 年高一力學課程大要 陳義裕
Lecture 3
反作用定律的推論：
1 2 2 1
1 1 2 2
1 1 2 2 0
F F
m a m a m a m a
→ = →
⇒ = −
⇒ + =
但是我們知道
1 1
1
2 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) v t t v t
a t
v t t v t
a t
+ ∆ −
= ∆
+ ∆ −
= ∆
所以
[
1 1( ) 2 2( )] [
1 1( ) 2 2( )]
m v t t m v t t m v t m v t 0 t
+ ∆ + + ∆ − +
∆ =
這表示這一瞬間的m v1 1+m v2 2的值和下一瞬間的數值根本是一樣的！所以我們 說m v1 1+m v2 2是個守恆量。
定義：粒子的mvG
叫做它的動量。
守恆律的好處多多！它讓我們在不需要追究交互作用細節的情況下仍能得到一 些有用的資訊！
例子：
質量m的子彈以速度v打入一個質量是 M 的靜止木塊內並卡在其中。假設木塊 屑沒有散落出來，請問木塊(含子彈)後來的速度為何？
答：
子彈打入木塊內是一個很複雜的交互作用，但我們不需要去理會它也仍然能算出 答案來！令木塊(含子彈)後來的速度為u，則
0 ( )
mv M m M u
u mv
m M
+ ⋅ = +
⇒ = +
其實物理上還有另外一個很重要的守恆律！
例子：
在地球表面附近，物質粒子都有一個往下受加速的趨勢。實驗顯示：此加速度之 大小竟然對所有測試粒子都一樣！我們把它叫重力加速度，其數值並以 g 代表。
試求出一個垂直拋射出去的粒子在任一瞬間之高度。
答：
我們曾解過等加速度的問題：若加速度為a，則
0
2 0
( )
( ) (0) 1
2 v t v at
r t r v t at
= +
⇒ = + +
此處我們若選定往上的方向是正向，則 a= − ，於是套公式可得任一瞬間的速度g 及所在的高度是
0
2
0 0
( ) 1
2 v v gt
z t z v t gt
= −
= + −
不過這一題的目的不是在套公式，而是要看出以下一件重要的事：
2 2 2 2 2
0 0 0
2 0 2
0
2 0
0
( ) ( ) 2
2 2 2
1
2 2
( ) 2
v t v gt v v gt g t
v g v t gt
v g z z
− − +
= =
⎛ ⎞
= − ⎜⎝ − ⎟⎠
= − − 所以移項以後我們就得到
2 2
0 0
( ) ( )
2 2
v t v
gz t gz
+ = + = 常數 因此，我們有了另外一個新的守恆律！
定義：
2
2 mv
mgz
叫動能 叫重力位能
註：
以上所做的推導若用大家剛學到的微積分符號來表達，其實會更簡潔。你唯一須 注意到的是以下的對應：
( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( )j ( )
t dt
r dr
v v
t dt
r t r v t t v t t t v t t
v t t v t dt
∆ ↔
= ∆ ↔ =
∆
− = ∆ + − ∆ ∆ + + ∆ ∆
=
∑
∆ ↔∫
"
例子：
1 2 2 1
1 1 2 2
1 1 2 2 0
F F
m a m a m a m a
→ = →
⇒ = −
⇒ + =
但是
1 1
2 2
a dv dt a dv
dt
=
= 所以
1 2
1 2
1 1 2 2
0
( )
0
dv dv
m m
dt dt
d m v m v dt
+ =
⇒ + =
最後這道式子就代表了m v1 1+m v2 2不隨時間而改變，因此就是個守恆量。
例子：
2
2
0
1 0
2 1
2 0
dv g
dt
vdv gv dt
dv dz
dt gdt
d v gz
dt
= −
⇒ + =
⇒ + =
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇒ =
最後這道式子就代表了1 2
2v +gz不隨時間而改變，因此就是個守恆量。
