第 四 章 總 複 習

第 四 章 總 複 習

＜單選題＞

1. 若 ： (x2)²(y3)²  x 2 為一拋物線方程式﹐試問哪一選項正確？

(1) 的圖形開口向左 (2)頂點的坐標為 (2, 3) (3)準線方程式為x 2 0 (4)對稱軸方程式為x 2 0 (5)圖形對稱於y ﹒ 2

解：拋物線的準線為x 2 0﹐焦點為 (2, 3)F ﹐得方程式(y3)² 8x﹒ (1)開口向右﹐(2)頂點A(0, 3)﹐(3)準線x 2 0﹐

(4)對稱軸y ﹐(5)對稱於3 y ﹐故選(3)﹒ 3 2. 令橢圓 ：_{1 2}² ₂² 1

5 3 x y

  ﹐ ：₂ ²_{2 2}² 2 5 3 x y

  ﹐ ：_{3 2}² ₂² 2 5 3 5 x y x

  的長軸長分別為

 ﹐1  ﹐₂  ﹒請問下列哪一個選項是正確的？ ₃

(1)₁₂  (2)₃ ₁₂  (3)₃ ₁₂  (4)₃ ₁₃ ₂

(5)₁₃  ﹒ ₂ 【99 學測】

解： ：₁ ^{2 2} 1 25 9

x  y  ﹐₁2a10﹐

 ：2 ^{2 2} 1 50 18

x  y  ﹐₂ 2a10 2﹐

 ：3 ( 5)^{2 2} 25 9 1 x y

  ﹐₃ 2a10﹐ 知₁₃  ﹐故選(4)﹒ ₂

3. 坐標平面上滿足方程式

2 2 2 2

2 2 2 2

( )( ) 0 5 4 3 4 x y x y

   的點 ( , )x y 所構成的圖形為 (1)只有原點 (2)橢圓及原點 (3)兩條相異直線 (4)橢圓及雙曲線

(5)雙曲線及原點﹒ 【100 學測】

解：滿足

2 2

2 2 0

5 4 x y

  或 ₂² ₂² 0 3 4 x y

  的所有點﹐

得原點 (0, 0) 及 4x3y ﹐ 40 x3y ﹐ 0

但原點在兩直線的交點上﹐知圖形是兩條相異直線﹐故選(3)﹒

＜多選題＞

4. 直線 y 與下列哪些曲線的交點恰兩個？ x (1)x² 4y (2)x²y²  (3)8 ^{2 2} 1

16 9

x  y  (4)x²y² ﹒ 1 解：將 y 代入各方程式中﹐ x

(1) (0, 0) ﹐ (4, 4) 兩交點﹒ (2) (2, 2) ﹐ ( 2,  兩交點﹒ 2) (3) 12 12

( , )

5 5 ﹐ 12 12 ( , )

5 5

  兩交點﹒ (4)不相交﹒

故選(1)(2)(3)﹒

5. 已知一橢圓的長軸平行於x軸﹐中心為 (1, 2) 且通過點 (4, 6) ﹒試問下列哪些點一定會在這橢圓上？

(1) ( 2,  (2) ( 2, 6)2)  (3) (4, 2) (4) (5, 6) ﹒ 解：橢圓對稱於直線y 與2 x1﹐

設 (4, 6)P ﹐當 P 在橢圓上時﹐

得 (4, 2)Q  ﹐ ( 2, 6)R  ﹐ ( 2, 2)S   亦在橢圓上﹐

故選(1)(2)(3)﹒

6. 雙曲線的兩焦點F( 1, 1) ﹐ (3, 1)F 且通過點 (3, 4) ﹐試問雙曲線一定會通過哪 些點？(1) (1, 1) (2) ( 1, 4) (3) (3, 2) (4) ( 1, 2)  ﹒

解：雙曲線的中心為 (1, 1) ﹐對稱於x1與y ﹐ 1 設 (3, 4)P ﹐當 P 在雙曲線上時﹐

得 (3, 2)Q  ﹐ ( 1, 4)R  ﹐ ( 1, 2)S   亦在雙曲線上﹐

故選(2)(3)(4)﹒

1. 雙曲線

2 2

2 1 x y

t   與橢圓 ² ₂² 1 4

x y

 t  有相同焦點﹐則 t 值為 1 ﹒ 解：雙曲線中﹐t0﹐知開口向左右﹒

設焦點 ( , 0)F c ﹐則雙曲線中c²   ﹐橢圓中t 2 c²   ﹐ 4 t²

2 2

2 4

c     得 (t t t2)(t  ﹐但1) 0 t0﹐得t1﹒

2. 在坐標平面上給定兩點 ( 3, 0)A  與 (3, 0)B ﹒考慮坐標平面上的點集合 { |

S P △PAB之面積為 12 且周長為 16} ﹐則S恰有 2 個點﹒

解：由△PAB12﹐AB6﹐

知 P 點在與直線 AB 距離為 4 的兩平行直線 L ﹐ L 其 中之一上﹐

由△PAB的周長16﹐AB6﹐ 知 P 點是滿足PAPB10的橢圓 ﹐ 即a5﹐c3﹐b4﹐

知 L ﹐ L 與橢圓 各有 1 交點﹐知S恰含 2 個點﹒

3. 如圖所示﹐AB 的長度為 3 且 AC CB： 2 1： ﹐保持 AB3不變﹐

當點 A 在 y 軸上進行上下移動﹐且點 B 在x軸上左右移動時﹐

點C所經過的路徑會形成一圖形﹐試問此圖形所在方程式為

2 2

4 1 1

x  y  ﹒

解：設 (0, )A a ﹐ ( , 0)B b ﹐ ( , )C x y ﹐ 由分點公式﹐ 2

x3b﹐ 1

y3a﹐即 3

b2x﹐a3y﹐ 3

AB 不變﹐得a²b² ﹐知9 9 ^{2 2} 9 9

4x  y  ﹐得 ^{2 2} 1 4 1

x  y  ﹒

4. 設E ：₁

2 2

2 2 1

x y

a b  （其中a0）為焦點在 (3, 0) ﹐ ( 3, 0) 的橢圓；

E ：焦點在 (3, 0) 且準線為2 x 3的拋物線﹒

已知E ﹐₁ E 的交點在直線₂ x3上﹐則a 3 3 2 ﹒ 【100 學測】

解：拋物線E ：₂ y²12x﹐

因E ﹐₁ E 的交點在直線₂ x3上﹐

由y² 36知交點 (3, 6)A ﹐ (3, 6)B  ﹐令 (3, 0)F ﹐F( 3, 0) ﹐ 橢圓中 AFAF 6 6 2 2a﹐得a 3 3 2﹒

5. 彗星P 的軌道是以太陽為焦點的拋物線﹐當彗星 P 與太陽的 距離為 4 萬公里時﹐二者的連線與拋物線對稱軸的夾角為

60﹐已知彗星逐漸接近太陽﹐則當二者的連線與對稱軸垂直 時﹐兩者的距離為 2 萬公里﹒

解：設 ( , 0)F c ﹐則 L ：x c﹐

又因PF  且4 PFQ  ﹐知 (60 P c2, 2 3)﹐ 因 ( , )d P L PF﹐得 (c      ﹐ 2) ( c) 4 c 1 則PF x軸時﹐PFd P L( , )2c （萬公里）﹒ 2

6. 某行星繞太陽的軌道為如圖之橢圓﹐太陽位於橢圓軌道之一 焦點處﹒據觀測﹐此行星與太陽的最近距離為 6 萬公里﹐最 遠距離為 8 萬公里﹐則行星距太陽的距離恰為 7 萬公里時﹐

試問行星在下列哪一點上？

(1)A (2) B (3)C (4) D (5) E ﹒ 解：AF6﹐FG8﹐得2a14﹐a7﹐

設行星為 P ﹐PFPF14﹐當PF 7時﹐得PF7； 因EF EF7﹐知 P ﹐故選(5)﹒ E