第二章 總複習

第二章 多項式函數

1

第 二 章 總 複 習

＜單選題＞

（每題 6 分﹐共 18 分）

1. 某生演算多項式的除法﹐以 x a − 除 x

³

+ px

²

+ qx − 時﹐將常數項 15 − 15 誤看為 15﹐試算所得的餘式為 7﹐試求正確的餘式為下列何者？

(1)37 (2)22 (3)7 (4) − 8 (5) − 23 ﹒ 解：

^{x3+px2+qx+15=(x−a Q x) ( )+ ﹐7}

而x³+ px²+qx−15=x³+px²+qx+15 30−

=[(x−a Q x) ( )+ −7] 30

=(x−a Q x) ( )−23﹐

故選(5)﹒

2. 已知 y = x x ( − 1)( x + 的圖形如右﹐若 ( ) 1) f x = ( 1)( 1) 0.01

x x − x + + ﹐則 ( ) 0 f x = 有多少個正實根？

(1)0 (2)1 (3)2 (4)3 (5)4﹒

解：

^{y=x x( −1)(x+ +1) 0.01的圖形是}

y=x x( −1)(x+ 圖形上移 0.01 單位而得﹐ 1)

知有一根小於 1− ﹐另二根介於 0 與 1 之間﹐

共有 2 個正實根﹒

3. 設 f x ( ) = ax

¹⁰

− bx

⁶

+ 7 x − 7 ﹐其中 a﹐b 為非零的實數﹐試問 (3) f − f ( 3) − 的 值為何？(1) − 42 (2) − 21 (3)0 (4)21 (5)42﹒

解：

^{f(3)=a(3)10−b(3)6+ × −7 3 7﹐}

f( 3)− = −a( 3)¹⁰− −b( 3)⁶− × −7 3 7﹐得 (3)f − f( 3)− =42﹒

故選(5)﹒

2

第二章 多項式函數

＜多選題＞

（每題 10 分﹐共 30 分）

4. 設有理係數多項式 f x ( ) = 6 x

⁵

+ ax

⁴

+ bx

³

+ cx

²

+ dx + ﹐則下列何者正確？ 1 (1) ( ) f x = 必有實根 (2)若 ( ) 0 0 f x = 在 1 與 2 之間有實根﹐則 (1) (2) 0 f f <

(3)若 1 i + 為 ( ) 0 f x = 的根﹐則 1 i − 必為 ( ) 0 f x = 的另一根 (4)若 1 + 2 為 ( ) 0 f x = 的根﹐則1 − 2 必為 ( ) 0 f x = 的另一根 (5) 2 x + 3 不可能是 ( ) f x 的因式﹒

解：

(1)奇次項的實係數方程式﹐至少有一個實根﹒

(2)在 1 與 2 之間有偶數個實根時﹐ f(1) (2)f > ﹒ 0 (3)由虛根成對定理知正確﹒

(4)有理係數方程式﹐無理根成對﹐知正確﹒

(5)使用牛頓定理時﹐ ( )f x 必須是整係數多項式﹒

故選(1)(3)(4)﹒

5. 設實係數多項式 f x ( ) = ax

³

+ bx

²

+ cx − ﹐已知 ( ) 0 1 f x = 只有一個實根 2 + 5 ﹐ 則下列何者必為正數？

(1) (1) f (2) (3) f (3) (5) f (4) (7) f (5) (9) f ﹒ 解

：因 (0)f = − < ﹐而且 ( ) 01 0 f x = 只有一個實根 2+ 5﹐ 由勘根定理知：

當t< +2 5時﹐ ( ) 0f t < ﹐知 (1) 0f < ﹐ (3) 0f < ﹐

當t> +2 5時﹐ ( ) 0f t > ﹐知 (5) 0f > ﹐ (7) 0f > ﹐ (9) 0f > ﹐ 故選(3)(4)(5)﹒

6. 下列哪一個不等式的解為 x < 1 或 x > 3 ？

(1) ( x − 2)

²

> (2) 1 ( x − 1)( x − 3)( x

²

+ + > (3) x 1) 0 ( x − 1) (

³

x − > 3) 0 (4) ( x + 1) (

²

x − 1)( x − > (5) 3) 0 ( x

²

− 1)( x

²

− 9)( x

²

+ 4 x + > ﹒ 3) 0 解：

^{(1)x2−4x+ > ﹐ (3 0 x−1)(x− > ﹐知3) 0 x< 或1 x> ﹒ 3}

(2)因x²+ + > 恆成立﹐即 (x 1 0 x−1)(x− > ﹐知3) 0 x<1或x>3﹒ (3)(x−1)³與 (x− 同號﹐即 (1) x−1)(x− > ﹐知3) 0 x<1或x>3﹒ (4) (x−1)(x− > 且3) 0 x≠ −1﹒

(5)(x+1) (² x+3) (² x−1)(x− > ﹐即 (3) 0 x−1)(x− > 且3) 0 x+ ≠ ﹐1 0 x+ ≠ ﹐ 3 0 知x<1或x>3﹐且x≠ −1和 3− ﹒ 故選(1)(2)(3)﹒

第二章 多項式函數

3

（共 52 分）

1. 設 f x 為實係數三次多項式﹐已知 ( ) f (1) = f (2 + = 且 (0) 13 i ) 3 f = ﹐試求 ( 1) f − 的值﹒（8 分）

解：

^{設 ( )g x = f x( ) 3− ﹐則 (1)g =g(2}+ = 且 (0) 10^{i) 0} g = ﹐

知 ( ) 0g x = 有三根 1﹐ 2 i+ ﹐ 2 i− ﹐

g x( )=a x( −1)(x²−4x+ ﹐ 5)

g(0)= −5a=10知a= − ﹐ 2

g x( )= −2(x−1)(x²−4x+ ﹐ 5)

g( 1)− = − −( 2)( 2)(10)=40﹐得 ( 1) 43f − = ﹒

2. 設 f x ( ) = 3 x

³

− 5 x

²

− 4 x + 4 ﹐試解方程式 ( ) 0 f x = ﹒（8 分）

解：

由牛頓定理﹐原式可化為： ( ) (f x = x+1)(x−2)(3x− ﹐ 2)

知 ( ) 0f x = 三根為 1− ﹐2﹐2

3﹒

3. 二次函數 f x 滿足以下三個條件： ( )

(1)對所有實數 t﹐恆有 f (1 − = t ) f (1 + ﹒（2 分） t )

(2)當 0 ≤ ≤ x 4 時﹐ ( ) f x 的最大值為 9﹐最小值為 0﹒ （3 分）

(3) (0) f > f (4) ﹒（3 分）

試求 (3) f 的值﹒

解：

條件(1)知圖形的對稱軸為x= ﹐ 1

條件(3)知二次函數的開口向下﹐

條件(2)知 (1) 9f = ﹐ (4) 0f = ﹐

f x( )=a x( −1)²+9時﹐ (4) 9f = a+ =9 0﹐得a= − ﹐所以1 f x( )= − −(x 1)²+9﹐

故 (3) 5f = ﹒

4

第二章 多項式函數

4. 設 f x 是實係數多項式且 ( ) f (2 + = + ﹐試求： i ) 3 2 i

(1) (2 f − ﹒（4 分） (2) ( ) i ) f x 除以 x

²

− 4 x + 的餘式﹒（4 分） 5 解：

^{(1) f(2− =i) f(2+ =i) f(2+ = − ﹒ i) 3 2i}

(2)設 f x( )=(x²−4x+5) ( )Q x +ax+ ﹐ b

f(2+ =i) a(2+ + =i) b (2a+ + ﹐ b) ai

f(2+ = + ﹐得i) 3 2i a= ﹐2 b= − ﹐知所求餘式為 21 x− ﹒1

5. 在只有皮尺沒有梯子的情況下﹐想要測出一拋物線形拱門的高度﹒已知此拋 物線以過最高點的鉛垂線為對稱軸﹐現甲、乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為 6 公尺﹐且距底部 3

2 公尺高處其寬為 5 公尺﹒利用這些數據可推算出拱門的 高度為

⁵⁴

11

公尺﹒（化為最簡分數）（10 分）

解：

圖形坐標化得 (3,0)A ﹐ 5 3 ( , ) B 2 2 ﹐

設拋物線方程式y=ax²+ ﹐兩點代入﹐ b

0 9

3 25 2 4

a b a b

= +



 = +

 ﹐得 6

a= −11﹐ 54 b=11﹐

^{6 2 54}

11 11

y= − x + ﹐知拱門的高度為54

11（公尺）﹒

6. 諾曼第建築的窗戶﹐其形狀是在一般的長方形上面再加上一個半 圓形（如圖）﹐假設整個窗戶的外部周長是 8 公尺時﹐試求窗戶 的最大面積﹒（10 分）

解：

設半圓形的半徑為 x 公尺﹐長方形的高為 y 公尺﹐

則周長L=

π

x+2x+2y= ﹐ 8

面積 1 ²

2 2

A=

π

x + xy﹐ 2y= −8

π

x−2x﹐

( ) 2 ^{2 2} 8 (2 ) ² 8

2 2

A f x x

π

x x

π

x x

= = − − + = − + + ﹐

而 ( )f x 在 8 2(2 )

2

x⁼ ₊

π

^{時有最大值﹐}

即 8 x 4

=

π

+ 時﹐最大面積 8 32

( )

4 4

f +

π

⁼ +

π

（平方公尺）﹒