第三章 總複習

第三章 指數函數與對數函數

第 三 章 總 複 習

＜單選題＞（每題 6 分﹐共 18 分）

1. 設

a > 1

﹐若

y

=

f x

( )=

a

^−x與

y

=

g x

( )=log_a

x 的圖形

皆在右圖中﹐則右列的圖形中﹐何者為

y

=

f

(− 與

x

)

( )

y

= −

g x

的圖形？

(1)BA (2)CA (3)DA (4)CE (5)DE﹒

解： ^{f(− =x) ax}﹐知y= f(−x)的圖形為 C﹐

( ) log_a log1 a

g x x x

− = − = 知y= −g x( )的圖形為 A﹐故選(2)﹒

2. 若

x > 1

﹐且 log_a

x

<log_b

x

< ﹐則下列敘述何者正確？ 0

(1)

0 < < < a b 1

(2)

0 < < < b a 1

(3)

a > > b 1

(4)

b > > a 1

(5)

a > > > 1 b 0

﹒ 解：^作y=log2x﹐y=log₃x﹐ ₁

3

log

y= x﹐ ₁

2

log y= x﹐ 因x> 且 log1 _ax<log_bx< ﹐ 0

知 0< < < ﹐故選(2)b a 1 ﹒ 3. 下列各數值中﹐哪一個最大？

(1)log 14 (2)₆ log 11 (3)₅ log 8 (4)₄ log 5 (5)₃ log 0.8 ﹒ 2

解： 6

log14 log 14 1.47

log 6

= ≈ ﹐

5

log11 log 11 1.49

log 5

= ≈ ﹐

log 8 1.54 = ﹐ log 5 1.473 ≈ ﹐ log 0.82 < ﹒ 0 故選(3)﹒

第三章 指數函數與對數函數

＜多選題＞（每題 10 分﹐共 30 分）

4. 下列敘述何者正確？

(1)

log ( 3)

₂

−

²

= 2 log ( 3)

₂

−

(2) ₃

log

3

7 = log 49

(3)7^log8 =8^{log 7} (4)log 3₇₇ =log 3 log 3₇ + ₁₁ (5)log 5₇₉ =log 2 log 3₇₉ × ₇₉ ﹒ 解：^{由對數的意義﹐知}log ( 3)2 − 不存在﹐

由對數的定律及換底公式﹐知(2)(3)正確﹒

5. 下列敘述何者正確？

(1)2³⁰ >3²⁰(2)20³⁰ >30²⁰ (3)0.2^0.3>0.3^0.2 (4)2⁴⁹ >3³¹ (5)2^0.945+2^0.755 >2^1.7﹒ 解：(1)log 2³⁰=30 log 2⋅ ≈9.03﹐log 3²⁰=20 log 3≈9.542﹐知2³⁰<3²⁰﹒

(2)log 20³⁰=30 log 20≈39.03﹐log 30²⁰=20 log 30≈29.542﹐知20³⁰>30²⁰﹒

(3) ^0.3 1

log 0.2 0.3log 0.2097

= 5≈ − ﹐ ^0.2 3

log 0.3 0.2 log 0.105

= 10≈ − ﹐知0.2^0.3<0.3^0.2﹒ (4)log 2⁴⁹=49 log 2 14.749≈ ﹐log 3³¹=31 log 3 14.79⋅ ≈ ﹐知2⁴⁹<3³¹﹒

(5)2^0.945+2^0.755≥2 2^0.945⋅2^0.755 = ⋅2 2^{1 0.85}=2^1.85>2^1.7﹐知2^0.945+2^0.755>2^1.7﹒ 故選(2)(5)﹒

6. 若

x > 0

﹐則下列敘述何者恆成立？

(1)

2 ( ) ¹

≥ 2

x x (2) _{2 1}

2

log

x

≥log

x

(3)log₂

x

≥log₃

x

(4) ₁

2

2^x ≥log

x

(5)

2

^x

≥ log

₂

x

﹒

解：^{(1)y= 與2x y=2−x圖形﹐知x> 時0 2 ( )1}

≥ 2

x x﹒

(2)y=log₂x與 ₁

2

log

y= x圖形﹐知x≥ 時才成立﹒ 1 (3)y=log₂x與y=log₃x圖形﹐知x≥ 時才成立﹒ 1 (4)y= 與2^x ₁

2

log

y= x圖形﹐知不一定成立﹒

(5)y= 與2^x y=log₂x圖形﹐知x> 時﹐0 2^x≥log₂x﹒ 故選(1)(5)﹒

第三章 指數函數與對數函數

（共 52 分）

1. 設 2^a =7﹐log 3₇ = ﹐若

b

log 63₉₈

2 1

kab a

a

= +

+ ﹐則 k 之值為 2 ﹒（8 分）

解：^{2a = ﹐得7} a=log 72 ﹐b=log 3₇ ﹐知ab=log 3₂ ﹐

2 2 2

98

2 2 2

log 63 2 log 3 log 7 2 log 63

log 98 2 log 7 log 2 2 1 ab a

a

+ +

= = =

+ + ﹐知k = ﹒ 2

2. 若 a﹐b﹐c 為正整數﹐已知

a

log₂₇₀2+

b

log₂₇₀3+

c

log₂₇₀5=2﹐則 a 為﹒（8 分）

解：alog2702+blog2703+clog2705=log2702^a⋅ ⋅ 3 5^{b c}

得2^a⋅ ⋅ =3 5^{b c} 270²= ⋅ ⋅(2 3 5)^{3 2}=2²⋅ ⋅3 5^{6 2}﹐知a= ﹒2

3. 設

log

_aα

= log

_bβ

= log

_ab

10

﹐已知α β≠ ﹐則αβ = 100 ﹒（8 分）

解：^{令 log}a

α

=^logb

β

=^log ab¹⁰= ﹐ k ak

α

= ﹐

β

=b^k﹐10=( ab)^k =ab ﹐ ^2k

2 2

( ) [( ) ]2 10 100

k

k k k

a b ab ab

αβ

= ⋅ = = = = ﹒

4. 設

f x

( )=3^x+3^−x﹐若α ﹐β為

f x ( ) = 40

的解﹐則α β+ = 0 ﹒（8 分）

解： ^{f(− =x) 3−x+3x = f x( )﹐}

知若

α

是 ( )f x = 40的一解﹐則− 也是 ( )

α

f x = 40的另一解﹐

β

= − ﹐得

α α β α α

+ = − = ﹒0 5. 將等比數列

²

3

﹐

( ) ²

²

3

﹐

( ) ²

³

3

﹐…逐項化成小數﹐首次在小數點以下第 4 位才 開始出現不為 0 的數字為第 n 項﹐且該數字為 a﹐則數對 ( , )

n a = (18,6)

﹒

（10 分）

解：^{依題意：( )2 103} 3

n< − ﹐即 3 ³

( ) 10 2

n > ﹐

3 3

log( ) log10 2

n> ﹐知n×0.1761 3> ﹐n>17.03…﹐知n≥18﹐

而 2 ¹⁸ 2

log( ) 18log 3.1698 4 0.8302

3 = 3 ≈ − = − + ﹐因 log 6 0.8302 log 7< < ﹐得a=6﹒ 6. 小康在大學時期以信用卡與現金卡借款度日﹐以致大學畢業時共積欠銀行

100 萬元﹐依照當初與銀行約定畢業後以年利率 18%﹐每月複利計息一次﹒

第三章 指數函數與對數函數

小康畢業後立即找到一份月薪 2 萬 3 仟元的工作﹐小康準備省吃儉用償還債 務﹐扣除生活費之後每月最多只能償還 2 萬元﹒依此計劃﹐小康至少需 8 年才能還清此債務？（ log1.01 0.0043≈ ﹐ log1.02 0.0086≈ ）（10 分）

解：^{貸款的本利和}S1=10 (1 0.015)⁶ + ⁿ﹐

還款的總和S₂=20000+20000(1 0.015)+ +…+20000(1 0.015)+ ⁿ⁻¹ 20000 (1.015) 1

1.015 1

 n− 

 

= − ﹐

由S₂≥S ﹐ (1.015)₁ ⁿ≥ ﹐又 log1.015 0.006454 ≈ log 1.015 0.6020

n ≥ ﹐n≈94（月） 8≈ 年﹒