高三複習試題 第 10 章 平面向量

高三複習試題 第 10 章 平面向量

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◎學測篇 一、單選題

（ ）1.設△ABC 為平面上的一個三角形﹐P 為平面上一點且 1

AP3ABt AC﹐其中 t 為一實數﹒請問下列哪 一選項為 t 的最大範圍﹐使得 P 落在△ABC 的內部﹖ (1) 1

0 t 4 (2) 1

0 t 3 (3) 1 0 t 2 (4)

0 2 t 3

  (5) 3

0 t 4﹒(93 學測) 解答 4

解析 因為 1

AP3ABt AC﹐

所以點 P 必在過 E 且與AC平行的直線ED上﹐其中 1 AE3AB﹒ 又當 P  E 時﹐t  0﹔

當 P  D 時﹐因 D﹐B﹐C 三點共線﹐所以1 2 3   t 1 t 3﹒

由可知﹐當 2

0 t 3時﹐P 落在△ABC 的內部﹐故選(4)﹒

（ ）2.已知 a﹐b 為整數且行列式5 7 4 a

b  ﹐則絕對值|a  b|為何﹖ (1)16 (2)31 (3)32 (4)39 (5)條件不 足﹐無法確定﹒(99 學測)

解答 3 解析 5

4 35 4 31

7

a ab ab

b       ﹐

31 1 31 1 1 31 1 31 a

b

 

 

∴|a  b|  32﹐故選(3)﹒

（ ）3.坐標平面上給定兩點 A(1,0)與 B(0,1)﹐又考慮另外三點 P(



解答 1

解析 底邊相同﹐只須判別高之大小即可﹐

A

B D C

P E

1 1 0 1 1

x y

AB：      x y ﹐

1 1 3.14 ( , ) | |

2 2 2

hp d P AB





    ﹐

3 6 1 5 3 3.3

( , ) | |

2 2 2

hq d Q AB        ﹐

5 7

2 2 1 2 3.5 ( , ) | |

2 2 2

hr d R AB

      ﹐

∴hp  hq  hr  p  q  r﹐故選(1)﹒

（ ）4.設 ABC 為坐標平面上一三角形﹐P 為平面上一點且 1 2

5 5

AP AB AC﹐則 ABP ABC

△ 面積

△ 面積等於 (1)1 5 (2) 1

4 (3)2

5 (4)1

2 (5)2

3﹒(學測) 解答 3

解析 作直線 AP 交直線 BC 於 D﹐因 A﹑P﹑D 三點共線﹐所以可設ADk AP﹐因此 2

5 5

k k

AD AB AC﹐

又因 B﹑D﹑C 三點共線﹐所以 2 5 5 1

k  k  ﹐解得 5 k3﹐

因此 1 2

3 3

AD AB AC且AP：PD3 2： ﹐ 由向量的分點公式知BD：DC2 1： ﹐ 則△ABP 面積 3

5△ABD 面積 3

5(2

3△ABC 面積) 2

5△ABC 面積﹐故選(3)﹒

（ ）5.如圖﹐下面哪一選項中的向量與另兩個向量 PO ﹑QO 之和等於零向量﹖ (1) AO (2) BO (3) CO (4)

DO (5) EO ﹒(學測)

A B C

D E

O

P

Q

A

B D C

P

解答 3

解析 由圖可知﹐POQOQOORQR﹐則COQR 0 ﹐故選(3)﹒

二、多選題

（ ）1.一物體由坐標平面中的點(  3,6)出發﹐沿著向量 v 所指的方向持續前進﹐可以進入第一象限﹒請選出

正確的選項﹕ (1) v  (1, 2) (2) v  (1, 1) (3) v (0.001,0) (4) v (0.001,1) (103 學測)

(5) v  ( 0.001,1)﹒ 解答 234

解析 各向量的略圖如下（其中 v  (1, 2)的方向通過原點 O）﹕

由上圖得知﹐選項(2)(3)(4)正確﹒

（ ）2.坐標平面上有相異兩點 P﹐Q﹐其中 P 點坐標為(s,t)﹒已知線段 PQ 的中垂線 L 的方程式為 3x  4y  0﹐

試問下列哪些選項是正確的﹖ (1)向量 PQ 與向量(3,  4)平行 (2)線段 PQ 的長度等於| 6 8 | 5 s t

(3)Q 點坐標為(t,s) (4)過Q 點與直線 L 平行之直線必過點(  s,  t) (5)以 O 表示原點﹐則向量 OP OQ

與向量 PQ 的內積必為 0﹒(96 學測) 解答 1245

解析 (1)○﹕NL(3, 4) // PQ

(2)○﹕ 3 4 6 8

2 ( , ) 2 | | | |

5 5

s t s t

PQ d P L    

(3)╳﹕若 Q(t,s)﹐則PQ中點( , ) 2 2 st ts

不在 L 上

(4)○﹕∵O 必為PP之中點﹐∴過 O 且與 L 平行之直線必過(  s,  t)

A B C

D E

O

P

Q R

x y

O

v =(-0.001,1) v =(0.001,1) v =(0.001,0) v =(1,-2) v =(1,-1)

(-3,6)

L: 3x 4y=0

x y

O P(s,t)

M Q

P'( s, t)

(5)○﹕OPOQ2OM 垂直PQ 故選(1)(2)(4)(5)﹒

（ ）3.若實數 a﹑b﹑c﹑d 使得聯立方程組 8 4 3 ax y c x y

 

  

 有解﹐且聯立方程組 3

4 3 x by d x y

  

  

 無解﹐則下列

哪些選項一定正確﹖ (1)a   2 (2)c   6 (3)b  12 (4)d   9 (5)聯立方程組 8 3

ax y c x by d

 

  

 無

解(101 學測) 解答 34

解析 8 4 3 ax y c x y

 

  

 有解 唯一解﹕ 8 1 4 a

  a   2

無限多解﹕ 8

1 4 3 a  c

  a   2﹐c   6 3

4 3 x by d x y

  

  

 無解 3

1 4 3 b d

  

  b  12﹐d   9

又 8

3

ax y c x by d

 

  

  若 a   2﹐則 8 3 a

b

  唯有一解

若 a   2﹐c   6﹐b  12﹐d   9  2 8 6 3 12 d

 

 

  無解

故選(3)(4)

（ ）4.坐標平面中﹐向量 w 與向量 v (2, 5)互相垂直且等長﹒請問下列哪些選項是正確的﹖ (1)向量 w

必為 ( 5, 2) 或( 5, 2) (2)向量 v  w 與 v  w 等長 (3)向量 v  w 與 w 的夾角可能為 135

(4)若向量 u a v b w ﹐其中 a﹐b 為實數﹐則向量 u 的長度為 a²b² (5)若向量

(1,0)c v d w ﹐其中 c﹐d 為實數﹐則 c  0﹒(100 學測) 解答 125

解析 (1)○﹕設 w ( , )a b ﹐

∵ w  v 且| w | | v |﹐∴

2 2

2 5 0

9

a b

a b

  



 

 ﹐解得( , )a b ( 5, 2) 或( 5, 2)

(2)○﹕

∵| v || w |且 v  w ﹐∴| v  w | | v  w | 2 | v | 2 | w|

(3)╳﹕ v  w 和 w 的夾角為 45

(4)╳﹕| u |²|a v b w |²a²| v |²2ab v w b²|w |²（∵ v  w ﹐∴ v w 0）  (a²  b²)  9

| u |3 a²b²

(5)○﹕若 w ( 5, 2) ﹐(1,0)c(2, 5)d( 5, 2)

2 5 1 2 5 2 0 9

c d

c c d

  

  

 

 ﹐ 5

d 9

若 w  ( 5, 2)﹐(1,0)c(2, 5) d( 5, 2)

2 5 1 2 5 2 0 9

c d

c c d

  

  

 

 ﹐ 5

d  9 由得 c  0

故選(1)(2)(5)﹒

（ ）5.如下圖所示﹐兩射線 OA 與 OB 交於 O 點﹐試問下列選項中哪些向量的終點會落在陰影區域內﹖ (1) 2

OA OB (2)3 1

4OA3OB (3)3 1

4OA3OB (4)3 1

4OA5OB (5)3 1

4OA5OB﹒(94 學測)

解答 12

解析 令OP





欲使 P 點落在陰影區域內﹐則









(1)1  2  1 (2)3 1 13

  1 故選(1)(2)﹒

v w v

w

v

w v w

v w v

w

A O B

（ ） 6.如 圖 ， 以 M 為 圓 心 、 MA 8為 半 徑 畫 圓 ， AE為 該 圓 的 直 徑 ， B 、

C

MD  8(cos(θ 90 ), sin(θ 90 ))    

( 1)

MA  8(cosθ, sinθ)

( 2)

MC  8(cos(θ   45 ), sin(θ 45 ))  

( 4) （ 內 積 ）M B M D 0

( 5)

BD  8(cosθ cos(θ 90 ), sinθ sin(θ 90 ))      

解析

三、填充題

1.在坐標平面上的△ABC 中﹐P 為 BC 邊之中點﹐Q 為 AC 邊上且AQ2QC﹒已知PA(4,3) ﹐

(1,5)

PQ ﹐則 BC____________﹒(96 學測) 解答 (  1,12)

解析 2 1

3 3

PQ PC PA3PQ2PCPA2PC3(1,5)(4,3) ( 1,12)﹐

即BC ( 1,12)﹒

2.令 A ﹑ B 為坐標平面上兩向量﹒已知 A 的長度為 1﹐ B 的長度為 2 且 A 與 B 之間的夾角為 60﹒令

u  A B ﹐ v x Ay B ﹐其中 x﹑y 為實數且符合 6  x  y  8 以及  2  x  y  0﹐則內積 u  v 的最大 值為____________﹒(102 學測)

解答 31

解析 因為 A B   1 2 cos60 1﹐所以

A

B C

P Q

2 1 E

C B D

A

M

(3,3) (3,5)

(4,4) (2,4)

x y = 2 x y =0

x +y =8 y

2 2

( ) ( ) | | | |

u v  A B  x Ay B x A y A B x B Ay B  x  y  x  4y  2x  5y﹒

又 x﹑y 的可行解區域如圖 將四頂點代入 2x  5y﹐得

( , ) (3,3) (4,4) (3,5) (2,4)

2 5 21 28 31 24

x y x y

根據頂點法﹐當 x  3﹐y  5 時﹐ u  v 有最大值 31﹒

3.設點 A(  2,2)﹑B(4,8)為坐標平面上兩點﹐且點 C 在二次函數 1 ²

y2x 的圖形上變動﹒當 C 點的 x 坐標為

(1)____________時﹐內積 AB AC 有最小值(2)____________﹒(101 學測) 解答 (1)  1;(2)  3

解析 令 C 點坐標為(2t,2t²)

2 2 2

(6,6) (2 2, 2 2) 6(2 2) 6(2 2) 12( )

AB AC   t t   t  t   t t 1 ² 12( ) 3

t 2

  

當 1

t 2時﹐AB AC 有最小值  3

∴ C 點 x 坐標為  1 時﹐AB AC 的最小值為  3

4.在坐標平面上﹐正方形 ABCD 的四個頂點坐標分別為 A(0,1)﹐B(0,0)﹐C(1,0)﹐D(1,1)﹒設 P 為正方形 ABCD 內部 的一點﹐若△PDA 與△PBC 的面積比為 1：2﹐且△PAB 與△PCD 的面積比為 2：3﹐則 P 點的坐標為____________﹒

（化成最簡分數）(94 學測) 解答 2 2

( , ) 5 3 解析 設 P(x,y)﹐

1 2

2 3

PDA PE

PBC PF   y

△

△ ﹐ 2 2

3 5

PAB PG

PCD PH   x

△

△ ﹐

∴ 2 2 ( , ) P 5 3 ﹒

5.坐標平面上有四點 O(0,0)﹐A(  3,  5)﹐B(6,0)﹐C(x,y)﹒今有一質點在 O 點沿 AO

方向前進 AO 距離後停在 P﹐再沿 BP 方向前進 2BP 距離後停在 Q﹒假設此質點繼 續沿 CQ 方向前進 3CQ 距離後回到原點 O﹐則(x,y)  ____________﹒(98 學測)

x y

B F C(1,0) D(1,1) A(0,1) E

G H

P

y

P(3,5) C(x, y)

Q(x',y') 2

1

解析 AO(3,5)﹐∴P(3,5)﹐

2 1 PQ

BP  ﹐由分點公式﹕ 12

3 3

3

x x

 

    ﹐ 0

5 15

3 y y

 

    Q(  3,15)﹐

又 1

3 CQ

QO ﹐ 3 0

3 4

4 x x

     ﹐ 3 0

15 20

4 y y

   ﹐∴C(  4,20)﹒

6.小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星﹕由天璇起始向天 樞的方向延伸便可找到北極星﹐其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍﹒」今小明將所見的星空想像 成一個坐標平面﹐其中天璇的坐標為(9,8)及天樞的坐標為(7,11)﹒依上述資訊可以推得北極星的坐標為

____________﹒(101 學測) 解答 (  3,26)

解析 令北極星坐標為(x,y)

5

樞北 璇樞

 (x  7,y  11)  5(7  9,11  8)

 x  7   10 得 x   3

 y  11  15 得 y  26

∴ 北極星坐標為(  3,26)

7.坐標平面中 A(a,3)﹐B(16,b)﹐C(19,12)三點共線﹒已知 C 不在 A﹑B 之間﹐且AC : BC3 : 1﹐則 a  b  ____________﹒

(102 學測) 解答 19

解析 如圖﹐因為AB : BC2 : 1﹐所以由分點公式﹐得 38 3 24 (16, ) ( , )

3 3

b a 

 ﹒

解得 a  10﹐b  9﹐即 a  b  19﹒

8.在坐標平面上﹐設 A 為直線 3x  y  0 上一點﹐B 為 x 軸上一點﹒若線段 AB 的中點坐標為 7 ( ,6)

2 ﹐則(1)點 A 的坐 標為____________﹐(2)點 B 的坐標為____________﹒(97 學測)

解答 (1)(4,12);(2)(3,0)

解析 令 A(t,3t)﹐B(t,0)﹐則AB中點 3 7 ( , ) ( ,6)

2 2 2

tt t  ﹐

得 7

2 2 7 t t

t t

     ﹐3

6 4 3

2

t    t t ﹐

∴A(4,12)﹐B(3,0)﹒

9.坐標平面上有一質點沿方向 u (1, 2)前進﹒現欲在此平面上置一直線 L﹐使得此質點碰到 L 時依光學原理（入射 x y

O

天璇(9,8) 天樞(7,11) 北(x,y)

1 2 A

B

C

角等於反射角）反射﹐之後沿方向 v  ( 2,1)前進﹐則直線 L 的方向向量應為 w ____________﹒(97 學測) 解答 (1,  3)或(3,1)

解析 L 的法向量為 u  v ﹐

 u  v    ( 3, 1) 方向向量(1,  3)﹐

 u  v (1, 3) 方向向量(3,1)﹐ w (1, 3) 或(3,1)﹒

10.設實數 a  0﹒若 x﹐y 的方程組

2 1

2 122 x y x y a x ay

  

  

  



有解﹐則 a  ____________﹒(99 學測)

解答 14

解析

2 1

2 122 x y x y a x ay

  

  

  



解得 2

3 x a

 ﹐ 1 2

3 y  a

 ﹐

代入得2 1 2

3 3 122

a a

 a 

  

 2  a  a(1  2a)  366  a²  a  182  0  (a  14)(a  13)  0﹐

∵a  0﹐∴a  14﹒

11.設△ABC 為一等腰直角三角形﹐BAC  90﹐若 P﹐Q 為斜邊 BC 的三等分點﹐則 tanPAQ  ____________﹒（化 成最簡分數）(93 學測)

解答 3 4

解析 建立直角坐標系﹕A(0,0)﹐B(0,1)﹐C(1,0)﹐

因為 P﹐Q 為BC的三等分點﹐所以 1 2 ( , )

P 3 3 ﹐ 2 1 ( , ) Q 3 3 ﹐

因此

1 2 2 1 4 ( , ) ( , )

3 3 3 3 9 4

cos | | | | 5 5 5 5

3 3 9 AP AQ

PAQ

AP AQ

 

    

 

﹐又因PAQ 為銳角﹐所以 3

tanPAQ4﹒

[另解]

由向量分點公式知﹕ 2 1

3 3

AP AB AC﹐因為ABAC﹐所以ABAC0﹐

L v=( 2,1)

u= (1,2)

因此 ² 4 ² 4 1 ² 4 1 5 5

| | | | | | 0 | |

9 9 9 9 9 9 3

AP  AB  ABAC AC      AP  ﹒

同理可得﹕ 1 2

3 3

AQ AB AC﹐ 5

| |

AQ  3 ﹒

又 2 1 1 2 2 2 4

( ) ( ) 0 0

3 3 3 3 9 9 9

APAQ AB AC  AB AC      ﹐

所以

4 9 4

cos | | | | 5 5 5

3 3 AP AQ

PAQ

AP AQ

    

 

﹐又因PAQ 為銳角﹐所以 3

tanPAQ4﹒

12.設 u ﹐ v 為兩個長度皆為 1 的向量﹒若 u  v 與 u 的夾角為 75﹐則 u 與 v 的內積為____________﹒（化 為最簡根式）(103 學測)

解答 3 2



解析 依題意﹐利用向量加法的幾何表示﹐得下圖﹒

推得 u 與 v 的夾角為 150﹒ 故

1 1 cos150 3

u  v     2 ﹒

13.坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD﹐其中點 A 的坐標為(2,1)﹐點 B 的坐標為(8,2)﹐點 C 在第一象限且知其 x 坐 標為 12﹒若平行四邊形 ABCD 的面積等於 38 平方單位﹐則點 D 的坐標為____________﹒(99 學測)

解答 (6,8)

解析 AB(6,1)﹐AC(10,k1)﹐

平行四邊形面積 6 1

| | 38 | 6 16 | 38 9

10 1 k k

 k      

 或 11

k  3（不合）﹐

AC中點即為BD中點﹐故 14 10 8 2

( , ) ( , ) ( , ) (6,8)

2 2 2 2

x y

  x y

   ﹒

14.坐 標 平 面 上，直 線 L 與₁ L 的 方 程 式 分 別 為₂ x2y0與3x5y0。為 了 確 定 平 面 上 某 一 定 點 P 的 坐 標 ， 從 L 上 的 一 點₁ Q 偵 測 得 向 量1

Q P

  ( 7, 9) 　

Q P

   ( 6, 　 8)

P 點 的 坐 標 為 ____________。

解答 (9,1) 解析

x y

O

A(2,1) B(8,2) C(12,k) D(x, y)

75

75 150

u

u

v v