第 二 章 總 複 習

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第 二 章 總 複 習

＜單選題＞

1. 已知四邊形的四邊在下列四直線上：L ：₁ x 1 0﹐L ：₂ y  ﹐2 0 L ：₃ x 3 0﹐ L ：4 y  ﹐試問此四邊形的形狀為 5 0

(1)正方形 (2)菱形 (3)長方形 (4)梯形﹒

解： 因L 與₁ L 為平行的兩鉛直線﹐ ₃ L 與2 L 為平行的兩鉛直線﹐ ₄

所圍四邊形為四頂點 (1, 2) ﹐ (3, 2) ﹐ (3,5) ﹐ (1,5) 的長方形﹐故選(3)﹒

2. 不等式組

0 5

0 6

7 x y x y

  

  

  



所表示的區域中有多少個格子點？

(1) 7 (2) 12 (3) 17 (4) 21﹒

解： x y

1 1, 2, 3, 4, 5 2 1, 2, 3, 4, 5 3 1, 2, 3, 4 4 1, 2, 3

共 5 5 4 3 17    個格子點﹐故選(3)﹒

3. 設 ：x²y²10x  為坐標平面上的圓﹐試問9 0  上與直 線 : 3L x4y  距離等於 2 的點之個數為 5 0

(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4﹒

解： ：(x5)²y² ﹐知圓心 (5, 0)4² A ﹐半徑r ﹐ 4 因

2 2

|15 0 5 |

( , ) 2

3 ( 4) d A L  

 

  ﹐且半徑為 4﹐

得 上與 L 距離為 2 的共有 3 點﹐故選(3)﹒

2

＜多選題＞

4. 已知直線L ： 3x4y12 ﹐試問下列哪些選項正確？ 0 (1)x截距為 4 (2) y 截距為 3 (3)斜率為3

4 (4)斜率為 4 3﹒ 解： (1) L 與x 軸的交點 (4, 0) ﹐得 x 截距為 4﹒

(2) L 與 y 軸的交點 (0, ﹐得 y 截距為 33)  ﹒ (3)(4) 3

m ﹒故選(1)(3)﹒ 4

5. 設點 ( , )x y 是不等式組

4 8 0 3 15 0

0, 0 x y

x y

x y

  

   

  



區域內任一點（含邊界）﹐當 ( , ) (4, 3)x y 

時﹐x ty 有最大值﹐試問 t 值可能為(1) 4 (2) 1

 (3)3 1

3 (4) 4﹒

解： _{( , )x y x ty}

(0, 0) 0 (5, 0) 5 (4, 3) 4 3t (0, 2) 2t

4 3 0 4 3 5 4 3 2

t t t t

  

  

  



﹐知 1

t ﹐故選(3)(4)﹒ 3

6. 圓C：(x1)²(y2)² 1﹐自圓外一點P(3, 5)作圓C的切 線L₁﹐L₂﹐切點分別為A﹐B﹐若PAB的外接圓為S﹐試 問下列哪些選項正確？

(1)圓S通過圓C的圓心(1, 2) (2)圓S的直徑長為 5 (3)圓S的方程式為x²y²4x7y130 (4)AP4﹒ 解： (1)KAP  ﹐90 KBP  ﹐知 K ﹐ A ﹐ P ﹐ B 共圓﹒ 90

(2)圓 S 的一直徑KP 13﹒ (3)圓 S 的圓心為 7

(2, )

2 ﹐半徑 13

r 2 ﹐得 S ：x²y²4x7y13 ﹒ 0 (4)KP 13﹐AK  ﹐得1 AP 122 3﹒ 故選(1)(3)﹒

3

1. 設 (3, 1)A ﹐ (5, 3)B ﹐試求：

(1)直線AB 的斜率﹒

(2)AB 的垂直平分線﹒

解： (1)直線 AB 的斜率為 1﹒

(2) AB 的中點M(4, 2)﹐且垂直平分線的斜率為 1 ﹐ 由 y  2 1(x ﹐得4) x   ﹒ y 6 0

2. 三直線L₁：x2y4﹐L₂：3x y 7﹐L₃：kx y 3恰相交於P點﹐

(1)試求P點坐標﹒ (2)試求k值﹒

解： (1)由L 與₁ L 的方程組₂ 2 4

3 7

x y x y

 

  

 ﹐知 (2,1)P ﹒ (2) P 點在L 上﹐代入 2₃ k  ﹐得1 3 k  ﹒ 2

3. 在坐標平面上 (7, 5)P 處有一光源﹐將圓 C：x²(y1)²  投影到1 x軸的正射影

AB ﹐試求 AB 的長﹒

解： 自圓外 (7, 5)P 作圓 C 的二切線﹐

L ： y 5 m x(   7) mx y 7m  ﹐ 5 0 圓心 (0,1) 到切線 L 的距離為半徑 1﹐

2

| 7 4 | 1 1 m m

  

 ﹐得 3

m 或4 5 m12﹐ 所求切線 3x4y  ﹐交1 0 x軸 1

( , 0) A 3 ﹐ 5x12y25 ﹐交0 x軸 ( 5, 0)B   16

AB 3 ﹒

4. 設R代表坐標平面上由下列兩個不等式所定義的區域

2 2

4 1 x y y

  

 

 ^﹐求函數

xy在區域R上的最大值與最小值﹒

4 解： 區域 R 是右圖中陰影的部分﹐設 x  ﹐ y k

(1) k 的最大值﹐在 x  與y k x²y² 相切時﹐ 4

| | 2 2

k  ﹐得k2 2（取正值）﹒

(2) k 的最小值﹐在 x  通過點 (y k  3, 1)時﹐得k 1 3﹒

5. 在一個牽涉到兩個未知量x﹐ y 的線性規劃作業中﹐有三個限制條件﹒坐標 平面上符合這三個限制條件的區域是一個三角形區域﹒假設目標函數 ax by

（a﹐b是常數）在此三角形的一個頂點 (19, 12) 上取得最大值 31﹐而在另一 個頂點 (13, 10) 取得最小值 23﹒現因業務需要﹐加入第四個限制條件﹐結果 符合所有限制條件的區域變成一個四邊形區域﹐頂點少了 (19, 12) ﹐新增了

(17, 13) 和 (16, 11) ﹒在這四個限制條件下﹐請選出正確的選項﹒

(1)ax by 的最大值發生在 (17, 13) (2) ax by 的最小值發生在 (16, 11) (3)ax by 的最大值是 30 (4) ax by 的最小值是 27﹒

解： 因 (19, 12) 19 12 31 (13, 10) 13 10 23

f a b

f a b

  

   

 ﹐得 1

1 a b

 

  ﹐ 知目標函數為 k  ﹐可行解區域如右圖： x y 又因原本在三角形中 (19,12) 有最大值﹐

在 (13,10) 有最小值﹐

知三角形中之另一點 A 必在x y 31與x y 23之間﹐

又題目要求新的限制條件為一四邊形區域﹐

又點 A 必然要介於x y 23與x y 30中間﹐

知 kaxby之最大值為 30﹐最小值為 23﹐故選(1)(3)﹒