NP-Completene ss

(1)

Jennya

2013/10/31

(2)

P _決

�

(

_�^�

)

_, _{�� }

NP

NPC

這些問題可以在 polynomial time 內被

verify certificat hamiltonian cycle problem e

directed graph G = (V,E)

+ 〈 v1, v2, v3, … v|V| 〉

=> check if correct NP-complete

� (3^�) ,�(2^�)

(3)

NP-Complete

 一個問題是 NP, 而且跟 NP 裡面的其他問題至少

”一樣難”

 ( 一樣難 : 所有 NP 裡面的問題可以在 polynomia l time 裡面轉換成 NP-complete 的問題 )

 因為以上 , 所以”一解則全解”

(4)

NP-Complete

1. 這些問題目前尚未找到可以在 polynomial time 內解決的 algorithm.

2. 這些問題目前尚未被證明無法在 polynomial time 內解決 .

(5)

NP

P=NP???

P

NP-Complete

NPP

NP-Complete

(6)

學這個有什麼用 ?

 雖然還沒有人證明出 NP-complete problems 無法在 polynomial time 裡面解出來

但是經過了 40 年了 , 沒有任何 NP-complete problem 被解出來 (polynomial time)

 因此證明某問題為 NP-complete 某種程度上也證明了它非常難解 ( 或甚至無法解 )

 近似演算法 / 針對特別 condition

(7)

key concepts in

showing a problem to be NP-complete

 Decision problems

 Reductions

 A first NP-complete problem

(8)

v.s.

optimization problem

 Decision problem:

輸出是 yes/no (1/0) ( 可不可以找到答案 )

 Optimization problem:

輸出是最好的解 ( 可以的答案中找出最好的那個 )

(9)

Decision problem

 NP-Complete 只適用於 decision problems

 怎麼將 optimization problem 轉換成 decisio n problem 呢 ?

 對要 optimize 的值設定一個 bound

 將 Shortest path 轉換成 decision problem:

 例子 : Shortest path v.s. Path

 給定 graph G, vertices u & v, integer k, 有沒有從 u 到 v 的路徑使用少於 k 個 edge?

(10)

 存在 instances of A  instances of B

的 polynomial-time reduction algorithm

 假設 A 沒有 polynomial-time algorithm exis t

 則 B 也沒有 polynomial-time algorithm 可以解

 使用反證法 , 假設 B 有矛盾 . 所以 B 也沒有 .  則 A 也有