勾股定理證明-G249

(1)

勾股定理證明-G249

【作輔助圖】

1. 分別以直角三角形ABC 的三邊為正方形的邊，向外作正方形 ABDE 、正方形 BCFG 及正方形 ACHI 。

2. 在 CA 延伸線上取一點 J 使得 AJ 與 BC 等長，並連 JE 。

3. 過 E 作 JE 的垂直線，並在線上取一點 L 使得 EL 與 AC 等長，連LD 。並延伸 IA 與 LE 交於 K 。

4. 在 CH 延伸線上取一點 M 使得 HM 與 BC 等長，連 MI 。

5. 連FH ，並延伸 FH 與 MI 相交於 Q 。再延伸 HF ，並在其延伸線上取一點 N 使得 FN 與 HQ 等長，連 NG 。

6. 接著連 CL ，並延伸 CL 與 AB 及 ED 分別交於 O 及 P 。最後延伸 DL 與 CJ 交於 R 。

A B

C

D E

F

G H

I

J

K L M

N

O

P Q

R

【求證過程】

先以適當的輔助線將直角三角形 ABC 及三邊上的正方形包進五邊形 BCJED 及六 邊形 ACBGNQI 中。其中這個五邊形面積與六邊形面積是相等的。並且五邊形面積為 大正方形面積加上兩個直角三角形，而六邊形面積則為兩個小正方形面積加上兩個同樣的直角三角形面積，因此可以證明出大正方形面積為兩個小正方形面積的和，也就

(2)

是畢氏定理的關係式。

1. 可以從圖中看出ABC,IMH,HFC,EAJ,AEK,EDL為全等的直角三角形，以下我們給出它們的證明：

其中ABC,EAJ是因為

( ),

AB AE 正方形的邊並且

, AJ BC 以及

90 ,

CBA CAB JAE

     

所以

ABC EAJ

   (SAS 全等).

再來看ABC,EDL這一組，是因為

( ),

ABED 正方形的邊並且

, AC EL 以及

( )

90 ,

CAB AEJ ABC EAJ AEL

LED

     

  

  所以

ABC EDL

   (SAS 全等).

下一組是ABC,IMH , 因為

( ),

ACIH 正方形的邊並且

, CBHM 以及

90 ,

ACB IHM

   

所以

ABC IMH

   (SAS 全等).

再下一組是ABC,HFC, 因為

( ),

CACH 正方形的邊並且

( ),

CBCF 正方形的邊以及

90 ,

ACB HCF

   

所以

ABC HFC

   (SAS 全等).

(3)

接著考慮ABC,AEK的全等：

因為

( ),

AB AE 正方形的邊並且

90 ,

CAB BAK EAK

     

以及

90 ,

ACB AKE

   

所以

ABC AEK

   (AAS 全等).

2. 我們也可以證明CEJ,FIA為全等三角形：

其中因為

( )

( ),

IA AC

EJ ABC EAJ



   

正方形的邊

並且

90 ,

FAI CJE

   

以及

( )

, CJ CA AJ

AC CF EAJ HFC AF

 

    

 所以有

CEJ FIA

   (SAS 全等).

3. 而因為ACEL( ABC  EDL)且 AC 平行於 EL , 所以四邊形 ACLE 為平行四邊 形, 故有 AE 與 CL 平行且等長. 而因為 AE 與CL 平行且等長, 且AE BD 亦為平行且, 等長, 則CL BD 也是行平且等長. 所以四邊形 BCLD 是平行四邊形. 因為CP 平行於,

BD , 所以

180 ( )

180 90 90 .

CPD BDP

   

 



同側內角互補

4. 同樣地可以看出HMQ,FGN,LDP三個三角形也是全等的三角形，以下是證明：

其中HMQ,FGN是因為

, HQFN 並且

( )

, FG BC

HM



正方形的邊

以及

(4)

( ) 90

, MHQ FHC

HFC GFN

  

  

 

對頂角相等

所以

HMQ FGN

   (SAS 全等).

另一組HMQ,LDP則是因為

, HM LD 並且

( ),

HMQ LDP IMH EDL

     

以及

90 ,

HQM LPD

   

所以

HMQ LDP

   (AAS 全等).

5. 考慮FIQ,CEP亦為全等的三角形，同樣地給出它的證明：

其中因為

( ),

FI CE FIA CEJ 並且

90 ,

CPE FQI

   

以及

( )

, FQ FH HQ

AE LP HFC AEK HMQ LDP

CL LP ACLE

CP

 

       

 



且平行四邊形所以

FIQ CEP

   (RHS 全等).

6. 所以就可以證明正方形BCFG 面積等於平行四邊形 BCLD 面積：

其中因為

, BCFGBC BC 又有

, BCLDBC CR 而其中

( )

, CR CJ RJ

CJ CA ELRJ AJ

BC

 



四邊形為正方形

所以

(5)

. BCLD BCFG 7. 最後我們推導面積關係式：

( )

,

ABDE CBDEJ EAJ ABC

CEJ CEP BCLD LDP EAJ ABC FIA FIQ BCFG FGN EAJ ABC

AFQI BCFG FGN EAJ ABC

ACHI BCFG HFC IHQ FGN EAJ ABC ACHI BCFG

    

          

       

           

 

五邊形

四邊形

此即為畢氏定理關係式

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：此證明來自 Joseph Zelson 在 1939 年交給 Loomis，而 Loomis 也將它放在

《勾股定理》一書中的幾何篇的編號第249 號。

2. 心得：此證明使用到的是面積的割補證法，證明由斜邊上的正方形面積等於兩股上的正方形面積之和，這證明的作者Joseph 多採用這樣的方式來證明畢氏定理。我們看這次的過程當中的缺點同樣在於沒有完全使用全等的拼片以拼圖式證明來說明面積的等式，其中一處用到了平行四邊形與正方形面積的相等。若我們在另一邊的平行四邊形與正方形面積上也做了同理地證明相等後，事實上就可以更直接地得到面積等式。這種證明方式的不一致性在教學上我想應該要避免以免學生有理解上的困難。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

● ●

4. 補充：在數學能力指標中，有這麼幾項：

S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。

以及

N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。

此證明正是利用圖形的分割，以及三角形的全等來推理出畢氏定理關係式。