國立高師大附中104學年度第2學期第一次段考高三數學科自然組試題

國立高師大附中104學年度第2學期第一次段考高三數學科自然組試題

(考試時間：80分鐘，應考班級：高三仁~信，共5個班)

1、 多重選擇題(每題6分，共3題，合計18分。每題均有五個選項，其中至少有一個選項是正 確的。答錯一個選項給4分，答錯兩個選項給2分，答錯三個選項或錯三個以上的選項不 給分)

1. 下列敘述哪些是正確的？

(1) 若 lim ( )

( )

x a

f x g x

 存在，且

lim ( ) 0

x ag x

 

，則

lim ( ) 0

x a f x

 

(2) 若^{lim( ( )x a f x g x( ))}存在，則^{lim ( )x a f x} 及^{lim ( )x a g x} 也存在 (3) 若 ^{f x( )}在^{x a} 處不連續，則^{lim ( )x a f x} 不存在

(4) 若 ^{f a( )}有意義且^{lim ( )x a f x} 存在，則^{f x( )}在^{x a} 處連續 (5) 若^lim  

x a f x

 存在，則^lim  

x af x

 也存在。

2. 下列各敘述哪些正確？

(1) 若

 a_n 與

 b_n

皆為收斂數列，則^{ }

n n

a

b 必為收斂數列

(2) 若^{ an} 為無窮數列﹐且對所有自然數ⁿ都有^{an1an0}，則^nliman不存在

(3) 若對所有自然數ⁿ，恆有anbncn，且^{ }an 與 cn 皆為收斂數列，則^{ }bn 也是收斂數列 (4) 若^{ }an 與^{ }bn 皆為發散數列，則數列  a bn n 可能為收斂數列

(5) 若兩數列  an bn 與  an bn 均為收斂數列，則^{ }an 與^{ }bn 皆為收斂數列。

3. 下列各敘述哪些正確？ (1) ¹

lim 1 0

x x

  

(2) ¹

lim 1 1 1

x

x x



 

 (3) ^lim_x2^{x 1} ¹

(4) ^lim_x0^{x  1} ^{x 1}^0 ₍₅₎ ^lim_x1^{x x 1}

2、 填充題(每題5分，共13題，共計65分) 1. 求下列各式的極限值：

(1) ^{2 2 2}

1 1

lim( )

3 2 5 6

x^ x x  x x 

    。 (2)

2 3

| 5 | 1

lim^x 3 x x

x



  

 ＝ 。

(3)

4 1 2

(1 )( 1)

lim^x ( 1) x x x



 

 ___________。 (4)

10 2

3 2 1

6 6 3 lim 5 3

n n

n n

n



 



  

 _________。

【背面尚有試題】

2. 三次多項式 f x( )

滿足：^{limx 1 ( )}1 ¹⁰ f x x

 

 ，且^{limx 2 ( )}2 ⁵ f x x

  

 ，則^{limx 3 ( )}3 f x x

 

 __________。

3. 若^{1 2 3   ⋯ n}^{23n32n a n }





，則^{limn 4 n 3} a n n

 

 _______。

4.若 , , a b c

為實數，設

 

2

, 3 , 3

3, 3 3

ax b x f x bx c x x cx

x x

  

  

  

 

 

 為一個連續函數，則

a b c 

＝　 。 5. 函數 f x( ) 7 6 x x ² ，設 ( )f x 的定義域為x a x b x R^|   ^,  ，值域為

^{f x c( ) |  f x( )d}_，則^{a b c d   }_{________。}

6. 無窮級數¹3 3²² 3^{53 2}3

n n

n

   ⋯ ⋯的值為 。

7. 已知    

 

2

2 2

3 3 1

3 1 3

ax a x

f x ax a x a

  

    ，若

1

 

3

lim

x

f x k





，且 0 k

，則數對

 

。 8. 設無窮等比數列：¹，^{log x3} ，





9. 設^{Sn 1 3 2 41  1  ⋯ n n}





10 3

S S n  ^ 時，

n

最小為 。

10. 已知   ^{2 5}

2

a x b

f x x

  

 ，

, a b R

。若

 

lim 1

x f x

 

，

2

 

limx f x k

 

，則數對





。 3、 證明題(共2題，總計17分)

1. 若數列

 a_n

滿足：

1 1

2 3 4 , 1

n n

a

a_ a n

 

   

 。

(1)請證明：數列^{ an} 為收斂數列(8分) (2)試求^nliman之值(3分)

2. 已知 ^{f x} ^2x55x_{ ，}^{3 g x} ^5x4  ，請證明：存在^{x 3 a R} ，且^{0 a 1}，使得

    ²

f a g a  。(6分)

【試題結束】

國立高師大附中104學年度第2學期第一次段考高三自然組數學科答案卷

班 號姓名

1、 多選題(每題6分，共3題，合計18分。每題均有五個選項，其中至少有一個選項是正確的

。答錯一個選項給4分，答錯兩個選項給2分，答錯三個或三個以上選項不給分)

題號 1 2 3

答案 1 45 1

2、 填充題(每題5分，共13題，共計65分) 題

號 1(1) 1(2) 1(3) 1(4) 2

答

案 2 5 1

8 2 10

題

號 3 4 5 6 7

答 案

1 4

34

9 2 5

4

1,3 9

 

 

  題

號 8 9 10

答 案

1 3 3 x

， 1 x

31 2

1,3,3

 

 

  3、 證明題(共2題，總計17分)

1.

(1)證明有上界(數學歸納法)……4%

證明遞增……4%

(2) ^{nliman 4}……4%

2.