國立高師大附中102學年度第一學期第二次期中考高一數學科試題

(1)

國立高師大附中102學年度第一學期第二次期中考高一數學科試題

1、多重選擇題

（每題6分，錯一個選項得3分，錯兩個選項以上不得分；不作答不得分。共30分。）

1. 設三次實係數多項式 ( )f x 除以^x^¹,^x^²,^x^³所得餘式分別為1, 2, 4 ，且設二次多項式 ( 2)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 2)

( ) 2 4

(1 2)(1 3) (2 1)(2 3) (3 1)(3 2)

x x x x x x

g x           

      。請選出正確的選項？

(1) (1)f g(1) (2) (5)f g(5) (3) ( )f x 除以^x^⁴的餘式為7

(4) ( )f x 除以 ( 1)(x x 的餘式為 x (5) ( )2) f x 除以 ( 1)(x x2)(x 的餘式為 ( )3) g x 2. 關於整係數三次函數 f x( )a x³ ³a x² ²a x a¹  的敘述﹐下列選項何者正確？⁰

(1) 若²^x^⁴是 f x( )

的因式﹐則2 a 且³ 4 a⁰

(2) 方程式 ( ) 0f x  至少有一有理根 (3) 方程式 f x( ) 0³  至少有一實根 (4) 若 (1f  2) 0 ﹐則 (2f  2) 0

(5) 若 (1f  2) 0 則函數 ( )f x 的圖形與x

軸恰有一交點

3. 若 ( )f x 為五次實係數多項式﹐且i 2為方程式 ( ) 0f x  之一根﹐下列敘述何者正確 (1) (f i 2) 0 (2) 若 (2 3 ) 2f  i  i 5﹐則 (2 3 )f  i  2i 5

(3) 存在實數 x ﹐滿足 ( ) 10f x  (4) 若 ( ) 0f x  在1與2之間有實根﹐則 (1) (2) 0f f  (5) 若 (1)f  f(2) 0 ﹐則 ( ) 0f x  在1與2之間沒有實根

4. 關於複數 a b的運算性質﹐下列敘述何者正確？

(1) 若 a a ﹐則 a 為實數 (2) 若a²b²  ﹐則0 ^{a b}^{ }⁰

(3) 若^{a bi}^{  }^{3 4}ⁱ﹐則^a^³ ^b^{ }⁴ (4) 若a²  ﹐則b² a²b² 0 (5) 若a²b²  ﹐則0 a² b²

5. 已知實係數多項式函數 f x( )ax⁴bx³cx²dx e 的圖形與 x 軸恰交於( 1 0) (2 0) 兩點﹐如圖所示下列敘述何者正確？

(1) a0 (2) e0 (3) a b c d e    0

(4) 方程式 ( ) 0f x  有二實根二共軛虛根 (5)不等式 ( ) 0f x  的解為^x^{ }¹

2、填充題

（不限題號，答對前9格每格6分，其餘4格每格4分，共70分。全對才給分）

1. 設 ^{f x}^{( )}為一多項式﹐若⁽^x^^{1) ( )}^{f x} 除以x² x 1的餘式為²^x^¹﹐則 ^{f x}^{( )}除以x² x 1的餘式為________

2. 若 f x( )x⁴16x²32x28 則 (3.01)f 的近似值四捨五入取至小數點後第二位為 ________

3. 若 ^{f x}^{( )}^^x² ^{g x}^{( )}^^{a x}⁽ ^¹⁾²^^{b x}⁽ ^²⁾²^^{c x}⁽ ^³⁾²﹐若 ^f⁽⁵⁾^^g⁽⁵⁾ ^f^{( 2)}^^g^{( 2)} ( ) ( )

f  g  ﹐則序組^{( , , )}^{a b c} ^________

4. 多項式 ^{f x}^{( )}除以x² 的餘式為1 ³^x^²，多項式^{g x}^{( )}除以x²2x 的餘式為3 ⁴^x^³，則 (x 3) f x( ) (2 x 1) g x( )除以^x^¹的餘式為________

(2)

5. 設 f x( )x¹²⁵ 則 f(x)除以x²   的餘式為________x 1

6. 設 ^{f x}^{( )}為三次實係數多項式，已知 (1)f  f(2  且 (0) 15i) 5 f  ，則 ( )f x  ________

7. 設a

為實數，^a^⁰，且二次方程式(1 )i x² (a 2 )i x3(3  有實根，則方程式的兩i) 0 根為________

8. 設 f x( )x³ax²bx c 為整係數多項式，若 ( ) 0f x  的三根均為有理根，且 (0) 0f  ( 3) 0

f  f( 5) 0 f( ) 0  則序組 ( , , )a b c  ________

9. 若方程式x³2x²3x  的三根為 , ,1 0    則(      )(  )(  ) ________

10. 設三次實係數方程式 f x( )x³7x²ax b  有兩複數根0 ^{2 ci}^ 與^{d i}^ ，其中 ,c d 為實 數且^cd ^⁰，則 ^{f x}^{( ) 0}^ 的解為________

11. 設實係數函數 f x( )ax³bx²cx d 其中^a^⁰ 若^{f x}^{( ) 0}^ 的解為^{  }² ^x ¹或^x^³﹐則 (2 1) 0

f x  的解為________

12. 不等式

3 2 2

( 1) ( 2) ( 2)

( 3) 0

x x x x

x

     

 的解為________

13. 設 a

為實數，若對任意實數 x

，不等式

2 2

2 1

4 2 2 x ax a

x x

  

  恆成立，則

a

的範圍為________